4. 如图，扇形OBC，OAD的半径之间的关系是$OB=\frac{1}{2}OA$，则弧BC的长是弧AD长的
$\dfrac{1}{2}$
.答案：4. $\dfrac{1}{2}$.
解析：
【分析】
解题时首先明确两个扇形OBC和OAD的圆心角为同一个角，度数相等，再回忆弧长计算公式：弧长与圆心角度数、半径长度均成正比。我们可以先设出圆心角度数和OA的长度，分别表示出两段弧的长度，再求两者的比值即可得到结果。
【解析】
设∠O的度数为$n°$，$OA=R$，由$OB=\frac{1}{2}OA$可得$OB=\frac{1}{2}R$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
弧AD的长$l_{AD}=\frac{nπ R}{180}$，
弧BC的长$l_{BC}=\frac{nπ · \frac{1}{2}R}{180}=\frac{1}{2}·\frac{nπ R}{180}=\frac{1}{2}l_{AD}$。
因此弧BC的长是弧AD长的$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
弧长计算公式，比例运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查弧长公式的应用，解题的突破口是发现两个扇形的圆心角相同，此时弧长的比值等于对应半径的比值，熟记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个扇形OBC和OAD的圆心角为同一个角，度数相等，再回忆弧长计算公式：弧长与圆心角度数、半径长度均成正比。我们可以先设出圆心角度数和OA的长度，分别表示出两段弧的长度，再求两者的比值即可得到结果。
【解析】
设∠O的度数为$n°$，$OA=R$，由$OB=\frac{1}{2}OA$可得$OB=\frac{1}{2}R$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
弧AD的长$l_{AD}=\frac{nπ R}{180}$，
弧BC的长$l_{BC}=\frac{nπ · \frac{1}{2}R}{180}=\frac{1}{2}·\frac{nπ R}{180}=\frac{1}{2}l_{AD}$。
因此弧BC的长是弧AD长的$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
弧长计算公式，比例运算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查弧长公式的应用，解题的突破口是发现两个扇形的圆心角相同，此时弧长的比值等于对应半径的比值，熟记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,正方形ABCD内接于$\odot O$,PA,PD分别与$\odot O$相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E.已知$AB=2$,则图中阴影部分的面积为
（第5题）
$5-π$
.（第5题）答案：5. $5-π$.
解析：
【分析】
本题可通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差求解：首先根据正方形和切线的性质，确定相关三角形的形状与边长、圆的半径和扇形的圆心角；再分别计算各规则图形的面积；最后将两部分阴影面积相加，注意两个扇形的圆心角和为180°，可合并为半圆简化计算。
解题步骤：1. 由正方形边长求出内接圆的半径、正方形中心角的度数及相关三角形的面积；2. 利用切线性质判断△PAD为等腰直角三角形，求出其面积；3. 结合角度关系判断△CDE为等腰直角三角形，求出其面积；4. 计算两个扇形的面积和（即半圆面积），再根据阴影面积=两个三角形面积和+两个圆心三角形面积和-半圆面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，$AB=2$，
∴$AD=CD=2$，$\odot O$的半径$r=\frac{\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\sqrt{2}$，正方形的中心角$∠ AOD=∠ COD=90°$，$S_{△ AOD}=S_{△ COD}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×2×2=1$。
∵$PA$、$PD$分别与$\odot O$相切于点$A$、$D$，
∴$OA⊥ PA$，$OD⊥ PD$，
又
∵$∠ OAD=∠ ODA=45°$，
∴$∠ PAD=∠ PDA=90°-45°=45°$，即$△ PAD$为等腰直角三角形，$AD$边上的高为1，
∴$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
∵$∠ ADC=90°$，$∠ PDA=45°$，
∴$∠ CDE=180°-90°-45°=45°$，
又
∵$∠ DCE=90°$，
∴$△ CDE$为等腰直角三角形，$CD=CE=2$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×2×2=2$。
扇形$AOD$和扇形$COD$的圆心角和为$90°+90°=180°$，因此两个扇形面积和为半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\sqrt{2})^2=π$。
阴影部分面积为两部分阴影之和：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(S_{△ PAD}-S_{弓形AD})+(S_{△ CDE}-S_{弓形CD})\\&=S_{△ PAD}+S_{△ CDE}-(S_{扇形AOD}+S_{扇形COD})+(S_{△ AOD}+S_{△ COD})\\&=1+2-π+1+1\\&=5-π\end{aligned}$
【答案】
$5-π$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题重点考察不规则图形面积的计算，核心是将阴影面积转化为三角形、扇形等规则图形的面积和差，熟练掌握切线性质和正方形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题可通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差求解：首先根据正方形和切线的性质，确定相关三角形的形状与边长、圆的半径和扇形的圆心角；再分别计算各规则图形的面积；最后将两部分阴影面积相加，注意两个扇形的圆心角和为180°，可合并为半圆简化计算。
解题步骤：1. 由正方形边长求出内接圆的半径、正方形中心角的度数及相关三角形的面积；2. 利用切线性质判断△PAD为等腰直角三角形，求出其面积；3. 结合角度关系判断△CDE为等腰直角三角形，求出其面积；4. 计算两个扇形的面积和（即半圆面积），再根据阴影面积=两个三角形面积和+两个圆心三角形面积和-半圆面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，$AB=2$，
∴$AD=CD=2$，$\odot O$的半径$r=\frac{\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\sqrt{2}$，正方形的中心角$∠ AOD=∠ COD=90°$，$S_{△ AOD}=S_{△ COD}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×2×2=1$。
∵$PA$、$PD$分别与$\odot O$相切于点$A$、$D$，
∴$OA⊥ PA$，$OD⊥ PD$，
又
∵$∠ OAD=∠ ODA=45°$，
∴$∠ PAD=∠ PDA=90°-45°=45°$，即$△ PAD$为等腰直角三角形，$AD$边上的高为1，
∴$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}×2×1=1$。
∵$∠ ADC=90°$，$∠ PDA=45°$，
∴$∠ CDE=180°-90°-45°=45°$，
又
∵$∠ DCE=90°$，
∴$△ CDE$为等腰直角三角形，$CD=CE=2$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×2×2=2$。
扇形$AOD$和扇形$COD$的圆心角和为$90°+90°=180°$，因此两个扇形面积和为半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\sqrt{2})^2=π$。
阴影部分面积为两部分阴影之和：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(S_{△ PAD}-S_{弓形AD})+(S_{△ CDE}-S_{弓形CD})\\&=S_{△ PAD}+S_{△ CDE}-(S_{扇形AOD}+S_{扇形COD})+(S_{△ AOD}+S_{△ COD})\\&=1+2-π+1+1\\&=5-π\end{aligned}$
【答案】
$5-π$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题重点考察不规则图形面积的计算，核心是将阴影面积转化为三角形、扇形等规则图形的面积和差，熟练掌握切线性质和正方形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
6. 如图,半圆的直径$AB=10$,$P$为$AB$上一点,点$C$,$D$为半圆的三等分点,则阴影部分的面积等于________(平方单位).
答案：6. $\dfrac{25}{6}π$.
解析：
【分析】
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过等积变换转化为规则图形求解。首先利用半圆三等分点的性质得到对应圆心角的度数，再连接辅助线OC、OD、CD，证明CD与AB平行，可得△PCD和△OCD同底等高、面积相等，因此阴影部分面积可转化为扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OD、CD。
∵点C、D为半圆的三等分点，
∴弧AC=弧CD=弧DB，
∴$∠ COD=180°÷3=60°$。
∵半圆直径$AB=10$，
∴半径$OC=OD=5$。
∵$OC=OD$，$∠ COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$∠ OCD=60°$，
又
∵$∠ AOC=60°$，
∴$∠ OCD=∠ AOC$，
∴$CD// AB$，
∴点P和点O到CD的距离相等，即$△ PCD$和$△ OCD$同底等高，
∴$S_{△ PCD}=S_{△ OCD}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形OCD}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=5$得：
$S_{阴影}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$。
【答案】
$\dfrac{25}{6}π$
【知识点】
扇形面积计算，等积变换，平行线的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过作辅助线利用平行线性质实现等积转化，将不规则图形面积转化为规则扇形面积，充分体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过等积变换转化为规则图形求解。首先利用半圆三等分点的性质得到对应圆心角的度数，再连接辅助线OC、OD、CD，证明CD与AB平行，可得△PCD和△OCD同底等高、面积相等，因此阴影部分面积可转化为扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OD、CD。
∵点C、D为半圆的三等分点，
∴弧AC=弧CD=弧DB，
∴$∠ COD=180°÷3=60°$。
∵半圆直径$AB=10$，
∴半径$OC=OD=5$。
∵$OC=OD$，$∠ COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$∠ OCD=60°$，
又
∵$∠ AOC=60°$，
∴$∠ OCD=∠ AOC$，
∴$CD// AB$，
∴点P和点O到CD的距离相等，即$△ PCD$和$△ OCD$同底等高，
∴$S_{△ PCD}=S_{△ OCD}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形OCD}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=5$得：
$S_{阴影}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$。
【答案】
$\dfrac{25}{6}π$
【知识点】
扇形面积计算，等积变换，平行线的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过作辅助线利用平行线性质实现等积转化，将不规则图形面积转化为规则扇形面积，充分体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
7. 如图,分别以等边三角形的每个顶点为圆心、一边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{AC}$围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为$a$,则勒洛三角形的周长为
$π a$
.答案：7. $π a$.
解析：
【分析】
要计算勒洛三角形的周长，首先明确其周长由三段等长的圆弧组成。第一步先确定每段圆弧的圆心角和半径：圆弧以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径，圆心角等于等边三角形的内角；第二步利用弧长公式计算单段弧的长度；第三步将三段弧长相加得到总周长。
【解析】
已知等边三角形的边长为$a$，每个内角为$60°$。
单段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=a$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得一段弧的长度为：
$l_1=\frac{60×π× a}{180}=\frac{π a}{3}$
勒洛三角形由3段这样的等长圆弧围成，因此总周长为：
$L=3× l_1=3×\frac{π a}{3}=π a$
【答案】
$π a$
【知识点】
等边三角形的性质，弧长计算，组合图形周长求解
【点评】
本题核心是将不规则的勒洛三角形周长转化为三段规则弧长的和，解题的关键是准确判断每段弧的圆心角和半径，能够很好地考查学生对基础几何公式的应用和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.7
要计算勒洛三角形的周长，首先明确其周长由三段等长的圆弧组成。第一步先确定每段圆弧的圆心角和半径：圆弧以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径，圆心角等于等边三角形的内角；第二步利用弧长公式计算单段弧的长度；第三步将三段弧长相加得到总周长。
【解析】
已知等边三角形的边长为$a$，每个内角为$60°$。
单段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=a$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得一段弧的长度为：
$l_1=\frac{60×π× a}{180}=\frac{π a}{3}$
勒洛三角形由3段这样的等长圆弧围成，因此总周长为：
$L=3× l_1=3×\frac{π a}{3}=π a$
【答案】
$π a$
【知识点】
等边三角形的性质，弧长计算，组合图形周长求解
【点评】
本题核心是将不规则的勒洛三角形周长转化为三段规则弧长的和，解题的关键是准确判断每段弧的圆心角和半径，能够很好地考查学生对基础几何公式的应用和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，$AB=2$，点$D$为$AB$的中点，以点$D$为圆心作圆心角为$90°$的扇形$DEF$，点$C$恰在$\overset{\frown}{EF}$上，则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}$
。答案：8. $\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}$.
解析：
【分析】
求解不规则阴影面积通常采用转化法，将其转化为规则图形面积的和或差。首先连接CD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到线段和角的等量关系；再结合扇形圆心角为90°的条件，证明三角形全等，把扇形与三角形重叠的四边形面积转化为规则的三角形面积；最后用扇形面积减去重叠部分面积即可得到阴影面积。
【解析】
连接CD，
∵ 在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，D为AB中点，$AB=2$，
∴ $CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，$CD⊥ AB$，$∠ A=∠ DCF=45°$，$∠ ADC=90°$，
∵ 扇形DEF的圆心角为$90°$，即$∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADC=∠ EDF$，
∴ $∠ ADC-∠ EDC=∠ EDF-∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDF$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ DCF \\AD=CD \\∠ ADE=∠ CDF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF$（ASA），
∴ $S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
∴ 重叠部分四边形的面积$S_{四边形}=S_{△ CDG}+S_{△ CDF}=S_{△ CDG}+S_{△ ADE}=S_{△ ACD}$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
扇形DEF的面积：$S_{扇形}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{扇形}-S_{四边形}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过全等三角形将不规则的重叠面积转化为熟悉的三角形面积，结合扇形面积公式即可求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
求解不规则阴影面积通常采用转化法，将其转化为规则图形面积的和或差。首先连接CD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到线段和角的等量关系；再结合扇形圆心角为90°的条件，证明三角形全等，把扇形与三角形重叠的四边形面积转化为规则的三角形面积；最后用扇形面积减去重叠部分面积即可得到阴影面积。
【解析】
连接CD，
∵ 在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，D为AB中点，$AB=2$，
∴ $CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，$CD⊥ AB$，$∠ A=∠ DCF=45°$，$∠ ADC=90°$，
∵ 扇形DEF的圆心角为$90°$，即$∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADC=∠ EDF$，
∴ $∠ ADC-∠ EDC=∠ EDF-∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDF$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ DCF \\AD=CD \\∠ ADE=∠ CDF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF$（ASA），
∴ $S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
∴ 重叠部分四边形的面积$S_{四边形}=S_{△ CDG}+S_{△ CDF}=S_{△ CDG}+S_{△ ADE}=S_{△ ACD}$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
扇形DEF的面积：$S_{扇形}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{扇形}-S_{四边形}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过全等三角形将不规则的重叠面积转化为熟悉的三角形面积，结合扇形面积公式即可求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径,AC平分$∠ BAD$,$CD=2\sqrt{2}$,点E在BC的延长线上,连接DE.
(1) 求直径BD的长;
(2) 若$BE=5\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.
(1) 求直径BD的长;
(2) 若$BE=5\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.
答案：(1) 4; (2) 6.
解析：
【分析】
(1) 求直径BD的长度时，先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠BCD=90°，再结合角平分线的性质和同弧所对圆周角相等，推出△BCD是等腰直角三角形，最后用勾股定理计算BD即可。
(2) 求阴影部分面积时使用割补法：由弧BC和弧CD相等，可知两个弓形面积相等，可将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形CDE的面积，先求出CE的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵AC平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAC=∠ DAC$，
又
∵同弧所对的圆周角相等，$∠ DBC=∠ DAC$，$∠ BDC=∠ BAC$，
∴$∠ DBC=∠ BDC$，即$△ BCD$为等腰直角三角形，$BC=CD=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16}=4$。
(2) 已知$BE=5\sqrt{2}$，$BC=2\sqrt{2}$，则$CE=BE-BC=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
∵$∠ BCD=90°$，
∴$∠ DCE=180°-∠ BCD=90°$，即$△ DCE$是直角三角形。
由(1)可知弧$BC=$弧$CD$，因此弓形$BC$的面积=弓形$CD$的面积，
则阴影部分面积$=S_{弓形BC}+(S_{△ DCE}-S_{弓形CD})=S_{△ DCE}$，
代入数据计算：$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CD× CE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) $4$；(2) $6$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆周角的相关性质推导特殊三角形，再通过割补法将不规则阴影转化为规则图形求解，是圆和几何面积结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 求直径BD的长度时，先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠BCD=90°，再结合角平分线的性质和同弧所对圆周角相等，推出△BCD是等腰直角三角形，最后用勾股定理计算BD即可。
(2) 求阴影部分面积时使用割补法：由弧BC和弧CD相等，可知两个弓形面积相等，可将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形CDE的面积，先求出CE的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵AC平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAC=∠ DAC$，
又
∵同弧所对的圆周角相等，$∠ DBC=∠ DAC$，$∠ BDC=∠ BAC$，
∴$∠ DBC=∠ BDC$，即$△ BCD$为等腰直角三角形，$BC=CD=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{16}=4$。
(2) 已知$BE=5\sqrt{2}$，$BC=2\sqrt{2}$，则$CE=BE-BC=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
∵$∠ BCD=90°$，
∴$∠ DCE=180°-∠ BCD=90°$，即$△ DCE$是直角三角形。
由(1)可知弧$BC=$弧$CD$，因此弓形$BC$的面积=弓形$CD$的面积，
则阴影部分面积$=S_{弓形BC}+(S_{△ DCE}-S_{弓形CD})=S_{△ DCE}$，
代入数据计算：$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× CD× CE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
(1) $4$；(2) $6$
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆周角的相关性质推导特殊三角形，再通过割补法将不规则阴影转化为规则图形求解，是圆和几何面积结合的典型考法。
【难度系数】
0.6