16. (6分)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，高AD经过圆心O.
(1) 求证:$AB=AC$；
(2) 若$BC=8$，$\odot O$的半径为5，求$△ ABC$的面积.
(1) 求证:$AB=AC$；
(2) 若$BC=8$，$\odot O$的半径为5，求$△ ABC$的面积.
答案：
16. (1) 证明:
∵ OD⊥BC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
∴ AB=AC；
(2) 解:连接OB,
∵ OD⊥BC,BC=8,
∴ BD=DC
= $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4. 在 Rt△ODB 中, OD =
$\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴ AD=5+3=8,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×8×8=32$.
16. (1) 证明:
∵ OD⊥BC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
∴ AB=AC；
(2) 解:连接OB,
∵ OD⊥BC,BC=8,
∴ BD=DC
= $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4. 在 Rt△ODB 中, OD =
$\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴ AD=5+3=8,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×8×8=32$.
解析：
【分析】
(1) 要证$AB=AC$，可利用圆中“等弧对等弦”的性质推导：已知AD是$△ ABC$的高且过圆心，因此$AD⊥ BC$，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，即可得到$AB=AC$。
(2) 求$△ ABC$的面积，已知底$BC=8$，只需算出BC边上的高AD即可：AD由半径AO和OD两部分组成，AO长已知为5，因此只需求OD的长度。连接OB构造直角三角形ODB，OB为半径等于5，根据垂径定理可得BD为BC的一半即4，用勾股定理算出OD后即可得到AD的长度，最终代入面积公式求解。
【解析】
(1) 证明:
∵ AD是$△ ABC$的高，
∴ $OD⊥ BC$，
由垂径定理可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
根据等弧对等弦，
∴ $AB=AC$；
(2) 解:连接OB,
∵ $OD⊥ BC$，$BC=8$，
由垂径定理可得$BD=DC$= $\frac{1}{2}$ $BC$ = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4，
$\odot O$的半径为5，故$OB=OA=5$，
在 Rt△ODB 中, 由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $AD=AO+OD=5+3=8$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AC$；(2) $△ ABC$的面积为32。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规基础题，解题关键是熟练运用垂径定理，通过连接半径构造直角三角形求线段长度是圆类题型的常用思路，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AB=AC$，可利用圆中“等弧对等弦”的性质推导：已知AD是$△ ABC$的高且过圆心，因此$AD⊥ BC$，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，即可得到$AB=AC$。
(2) 求$△ ABC$的面积，已知底$BC=8$，只需算出BC边上的高AD即可：AD由半径AO和OD两部分组成，AO长已知为5，因此只需求OD的长度。连接OB构造直角三角形ODB，OB为半径等于5，根据垂径定理可得BD为BC的一半即4，用勾股定理算出OD后即可得到AD的长度，最终代入面积公式求解。
【解析】
(1) 证明:
∵ AD是$△ ABC$的高，
∴ $OD⊥ BC$，
由垂径定理可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
根据等弧对等弦，
∴ $AB=AC$；
(2) 解:连接OB,
∵ $OD⊥ BC$，$BC=8$，
由垂径定理可得$BD=DC$= $\frac{1}{2}$ $BC$ = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4，
$\odot O$的半径为5，故$OB=OA=5$，
在 Rt△ODB 中, 由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $AD=AO+OD=5+3=8$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32$。
【答案】
(1) 证明成立，$AB=AC$；(2) $△ ABC$的面积为32。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规基础题，解题关键是熟练运用垂径定理，通过连接半径构造直角三角形求线段长度是圆类题型的常用思路，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
17. (6分)如图(1)是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为$240°$，它的喷灌区是一个扇形.小明同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图.如图(2)，A，B两点的距离为18 m，求这种装置能够喷灌的草坪面积.
答案：
17. 解:过点O作OC⊥AB于点C.
∵ OC⊥AB,AB=18,
∴ AC=$\frac{1}{2}$AB=9.
∵ OA=
OB,∠AOB = 360° − 240° = 120°,
∴ ∠AOC =
$\frac{1}{2}$∠AOB=60°. 在 Rt△OAC 中,$OA^2=OC^2+AC^2$,
又
∵ OC=$\frac{1}{2}OA$,
∴ r=OA=$6\sqrt{3}$.
∴ S=$\frac{240}{360}π r^2$=
$72π(m^2)$.
17. 解:过点O作OC⊥AB于点C.
∵ OC⊥AB,AB=18,
∴ AC=$\frac{1}{2}$AB=9.
∵ OA=
OB,∠AOB = 360° − 240° = 120°,
∴ ∠AOC =
$\frac{1}{2}$∠AOB=60°. 在 Rt△OAC 中,$OA^2=OC^2+AC^2$,
又
∵ OC=$\frac{1}{2}OA$,
∴ r=OA=$6\sqrt{3}$.
∴ S=$\frac{240}{360}π r^2$=
$72π(m^2)$.
解析：
【分析】
要计算喷灌的草坪面积，即求圆心角为240°的扇形面积，扇形面积公式为$S=\frac{n}{360}πr^2$，已知圆心角n=240°，因此只需先求出扇形半径r即可。首先根据周角求出∠AOB的度数，结合OA=OB可知△OAB是等腰三角形，过O作AB的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质得到AC的长度和∠AOC的度数，再在直角三角形中用勾股定理求出半径，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OC⊥AB，AB=18 m，
∴ AC=$\frac{1}{2}$AB=9 m。
∵ OA=OB，∠AOB = 360° − 240° = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
在Rt△OAC中，∠OAC=30°，因此$OC=\frac{1}{2}OA$，
由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得$OA^2=(\frac{1}{2}OA)^2 + 9^2$，
解得$r=OA=6\sqrt{3}$ m。
∴ 喷灌草坪面积$S=\frac{240}{360}π r^2=\frac{2}{3}π×(6\sqrt{3})^2=72π(m^2)$。
【答案】
$72π \ \mathrm{m}^2$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题以生活中的喷灌装置为背景，考查几何知识的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形求出扇形半径，侧重考查学生对基础几何知识的灵活运用能力和将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算喷灌的草坪面积，即求圆心角为240°的扇形面积，扇形面积公式为$S=\frac{n}{360}πr^2$，已知圆心角n=240°，因此只需先求出扇形半径r即可。首先根据周角求出∠AOB的度数，结合OA=OB可知△OAB是等腰三角形，过O作AB的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质得到AC的长度和∠AOC的度数，再在直角三角形中用勾股定理求出半径，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OC⊥AB，AB=18 m，
∴ AC=$\frac{1}{2}$AB=9 m。
∵ OA=OB，∠AOB = 360° − 240° = 120°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
在Rt△OAC中，∠OAC=30°，因此$OC=\frac{1}{2}OA$，
由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得$OA^2=(\frac{1}{2}OA)^2 + 9^2$，
解得$r=OA=6\sqrt{3}$ m。
∴ 喷灌草坪面积$S=\frac{240}{360}π r^2=\frac{2}{3}π×(6\sqrt{3})^2=72π(m^2)$。
【答案】
$72π \ \mathrm{m}^2$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题以生活中的喷灌装置为背景，考查几何知识的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形求出扇形半径，侧重考查学生对基础几何知识的灵活运用能力和将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
18. (8分)玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物.据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔.结合图(1)“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径$d=2h$.图(2)是一枚破损的汉代玉环，为修复器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸.如图(3)，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为$\overset{\frown}{AB}$，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，测得$\overset{\frown}{AB}$所对的弦长$AB$为6 cm，半径$OC ⊥ AB$于点$D$，点$D$为$OC$的中点，连接$OB$，求该玉环的中孔半径的长.
答案：18. 解:
∵ OC⊥AB,
∴ AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=
$\frac{1}{2}×6=3$(cm).设 OB=OC=r cm,由题意 OD=CD
=$\frac{r}{2}$.
∵ $OB^2=OD^2+BD^2$,
∴ $r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$,
∴ $r=2\sqrt{3}$,
∴ 玉环的中孔半径的长为$\sqrt{3}$.答:该玉环的中孔半径的长为$\sqrt{3}$ cm.
∵ OC⊥AB,
∴ AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=
$\frac{1}{2}×6=3$(cm).设 OB=OC=r cm,由题意 OD=CD
=$\frac{r}{2}$.
∵ $OB^2=OD^2+BD^2$,
∴ $r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$,
∴ $r=2\sqrt{3}$,
∴ 玉环的中孔半径的长为$\sqrt{3}$.答:该玉环的中孔半径的长为$\sqrt{3}$ cm.
解析：
【分析】
要求玉环的中孔半径，需先求出玉环外圆的半径：
1. 首先观察几何模型，OC垂直于弦AB，满足垂径定理的应用条件，可先求出弦AB一半的长度；
2. 结合D是OC中点的条件，设外圆半径为r，用含r的式子表示出直角三角形ODB的未知边长；
3. 利用勾股定理列方程求解得到外圆半径r；
4. 再根据题目给出的“肉好若一”即$d=2h$的数量关系，推导中孔半径和外圆半径的关系，最终求出中孔半径。
【解析】
∵ $OC⊥AB$，$AB=6\mathrm{cm}$，
∴ 由垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$。
设外圆半径$OB=OC=r\mathrm{cm}$，
∵ 点D为OC的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入边长得：$r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$，
整理得$\frac{3}{4}r^2=9$，解得$r=2\sqrt{3}$（半径为正数，舍去负根）。
根据题意“肉好若一”即中孔直径$d=2h$，其中边宽$h=r-\frac{d}{2}$，代入得$d=2(r-\frac{d}{2})$，化简得$d=r$，
∴ 中孔半径为$\frac{d}{2}=\frac{r}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以传统玉器修复为背景，将实际问题转化为几何模型，考查了圆的性质和勾股定理的综合应用，解题关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，通过列方程求解半径，能较好考查学生的知识应用能力和模型构建能力。
【难度系数】
0.7
要求玉环的中孔半径，需先求出玉环外圆的半径：
1. 首先观察几何模型，OC垂直于弦AB，满足垂径定理的应用条件，可先求出弦AB一半的长度；
2. 结合D是OC中点的条件，设外圆半径为r，用含r的式子表示出直角三角形ODB的未知边长；
3. 利用勾股定理列方程求解得到外圆半径r；
4. 再根据题目给出的“肉好若一”即$d=2h$的数量关系，推导中孔半径和外圆半径的关系，最终求出中孔半径。
【解析】
∵ $OC⊥AB$，$AB=6\mathrm{cm}$，
∴ 由垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$。
设外圆半径$OB=OC=r\mathrm{cm}$，
∵ 点D为OC的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入边长得：$r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$，
整理得$\frac{3}{4}r^2=9$，解得$r=2\sqrt{3}$（半径为正数，舍去负根）。
根据题意“肉好若一”即中孔直径$d=2h$，其中边宽$h=r-\frac{d}{2}$，代入得$d=2(r-\frac{d}{2})$，化简得$d=r$，
∴ 中孔半径为$\frac{d}{2}=\frac{r}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以传统玉器修复为背景，将实际问题转化为几何模型，考查了圆的性质和勾股定理的综合应用，解题关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，通过列方程求解半径，能较好考查学生的知识应用能力和模型构建能力。
【难度系数】
0.7