1. 如图，AB，AC是$\odot O$的切线，B，C为切点，$∠ A=50°$，点P是圆上异于B，C两点，且在$\overset{\frown}{BMC}$上的动点，则$∠ BPC$的度数是（
A.$65°$
B.$115°$
C.$115°$或$65°$
D.$130°$或$65°$
（第1题）
A
）A.$65°$
B.$115°$
C.$115°$或$65°$
D.$130°$或$65°$
（第1题）答案：1. A.
解析：
【分析】
解题时首先依据切线的性质连接辅助线OB、OC，得到两个直角；再利用四边形内角和为360°计算出圆心角∠BOC的度数；最后结合圆周角定理，结合点P在优弧$\overset{\frown}{BMC}$上的限定条件，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵AB、AC是$\odot O$的切线，B、C为切点，
∴$OB⊥ AB$，$OC⊥ AC$，即$∠ ABO=∠ ACO=90°$，
∵四边形ABOC的内角和为$360°$，且$∠ A=50°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ ABO-∠ ACO-∠ A=360°-90°-90°-50°=130°$，
∵点P在$\overset{\frown}{BMC}$（优弧BC）上，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题关键是正确作出辅助线求出圆心角的度数，审题时要注意动点P所在的弧的位置，避免误判为多解问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先依据切线的性质连接辅助线OB、OC，得到两个直角；再利用四边形内角和为360°计算出圆心角∠BOC的度数；最后结合圆周角定理，结合点P在优弧$\overset{\frown}{BMC}$上的限定条件，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：连接OB、OC，
∵AB、AC是$\odot O$的切线，B、C为切点，
∴$OB⊥ AB$，$OC⊥ AC$，即$∠ ABO=∠ ACO=90°$，
∵四边形ABOC的内角和为$360°$，且$∠ A=50°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ ABO-∠ ACO-∠ A=360°-90°-90°-50°=130°$，
∵点P在$\overset{\frown}{BMC}$（优弧BC）上，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题关键是正确作出辅助线求出圆心角的度数，审题时要注意动点P所在的弧的位置，避免误判为多解问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D，若$PA=8$，则$△ PCD$的周长为（
A.8
B.12
C.16
D.20
C
）A.8
B.12
C.16
D.20
答案：2. C.
解析：
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。本题要求△PCD的周长，即PC+CD+PD，我们可以利用切线长定理将CD拆分为CE+DE后，把CE、DE替换为PA、PB上的对应相等线段，将三角形周长转化为PA与PB的和，再结合已知PA的长度即可求解。第一步先明确PA和PB的长度关系，第二步明确CA与CE、DB与DE的长度关系，第三步代入周长公式转化计算。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B
∴根据切线长定理可得：$PB=PA=8$
又
∵CD切$\odot O$于点E，分别交PA、PB于C、D
∴根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DB=DE$
∴$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD$
$=PC+CE+DE+PD$
将$CE=CA$，$DE=DB$代入上式得：
$△ PCD$的周长$=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8+8=16$
【答案】C
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，核心是利用切线长相等完成线段的等量代换，将未知三角形周长转化为已知切线长的和，解题时注意找准从同一点引出的两条切线对应的相等线段即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。本题要求△PCD的周长，即PC+CD+PD，我们可以利用切线长定理将CD拆分为CE+DE后，把CE、DE替换为PA、PB上的对应相等线段，将三角形周长转化为PA与PB的和，再结合已知PA的长度即可求解。第一步先明确PA和PB的长度关系，第二步明确CA与CE、DB与DE的长度关系，第三步代入周长公式转化计算。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B
∴根据切线长定理可得：$PB=PA=8$
又
∵CD切$\odot O$于点E，分别交PA、PB于C、D
∴根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DB=DE$
∴$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD$
$=PC+CE+DE+PD$
将$CE=CA$，$DE=DB$代入上式得：
$△ PCD$的周长$=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8+8=16$
【答案】C
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，核心是利用切线长相等完成线段的等量代换，将未知三角形周长转化为已知切线长的和，解题时注意找准从同一点引出的两条切线对应的相等线段即可。
【难度系数】
0.8
3. 以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为 （
A.12
B.13
C.14
D.15
（第3题）
C
）A.12
B.13
C.14
D.15
（第3题）答案：3. C.
解析：
【分析】
解题时先利用切线长定理进行线段等量转换，先通过△CDE的周长求出正方形的边长，再借助勾股定理求出AE的长度，最后累加直角梯形各边长度得到周长。第一步：回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得AE=EF、CB=CF，将CE拆分为EF+CF代入△CDE周长公式，可消去未知量AE直接求出正方形边长；第二步：△CDE是直角三角形，用勾股定理列方程求出AE的长度；第三步：汇总梯形各边长度得到结果。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=x$。
1. 根据切线长定理：
点E是半圆O外一点，EA、EF均为半圆切线，故$EF=AE=x$；
点C是半圆O外一点，CB、CF均为半圆切线，故$CF=CB=a$。
2. 求正方形边长：
$DE=AD-AE=a-x$，$CD=a$，$CE=EF+CF=x+a$
△CDE的周长为$DE+CD+CE=(a-x)+a+(x+a)=3a$
已知△CDE周长为12，因此$3a=12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
3. 求AE的长度：
在Rt△CDE中，由勾股定理得$DE^2+CD^2=CE^2$
代入$DE=4-x$，$CD=4$，$CE=4+x$得：
$(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$
展开化简：$16-8x+x^2+16=16+8x+x^2$，解得$x=1$，即$AE=1$。
4. 计算直角梯形ABCE的周长：
周长$=AB+BC+CE+AE=4+4+(4+1)+1=14$。
【答案】C
【知识点】切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题将圆的切线性质、正方形性质和勾股定理结合考查，解题的核心是利用切线长定理完成线段的等量转换，先求出正方形边长再逐步推导未知线段长度。
【难度系数】0.65
解题时先利用切线长定理进行线段等量转换，先通过△CDE的周长求出正方形的边长，再借助勾股定理求出AE的长度，最后累加直角梯形各边长度得到周长。第一步：回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得AE=EF、CB=CF，将CE拆分为EF+CF代入△CDE周长公式，可消去未知量AE直接求出正方形边长；第二步：△CDE是直角三角形，用勾股定理列方程求出AE的长度；第三步：汇总梯形各边长度得到结果。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=x$。
1. 根据切线长定理：
点E是半圆O外一点，EA、EF均为半圆切线，故$EF=AE=x$；
点C是半圆O外一点，CB、CF均为半圆切线，故$CF=CB=a$。
2. 求正方形边长：
$DE=AD-AE=a-x$，$CD=a$，$CE=EF+CF=x+a$
△CDE的周长为$DE+CD+CE=(a-x)+a+(x+a)=3a$
已知△CDE周长为12，因此$3a=12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
3. 求AE的长度：
在Rt△CDE中，由勾股定理得$DE^2+CD^2=CE^2$
代入$DE=4-x$，$CD=4$，$CE=4+x$得：
$(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$
展开化简：$16-8x+x^2+16=16+8x+x^2$，解得$x=1$，即$AE=1$。
4. 计算直角梯形ABCE的周长：
周长$=AB+BC+CE+AE=4+4+(4+1)+1=14$。
【答案】C
【知识点】切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题将圆的切线性质、正方形性质和勾股定理结合考查，解题的核心是利用切线长定理完成线段的等量转换，先求出正方形边长再逐步推导未知线段长度。
【难度系数】0.65
4. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，若$PA=8$，则PB的长为
8
答案：4. 8.
解析：
【分析】
首先观察图形可知，PA、PB都是从圆外同一点P向⊙O引出的切线，要求PB的长度，可联想切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线的长度相等。已知PA的长度，直接应用该定理即可求出PB的长度。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点P为圆外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB=PA，
又
∵PA=8，
∴PB=8。
【答案】
8
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知，PA、PB都是从圆外同一点P向⊙O引出的切线，要求PB的长度，可联想切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线的长度相等。已知PA的长度，直接应用该定理即可求出PB的长度。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点P为圆外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB=PA，
又
∵PA=8，
∴PB=8。
【答案】
8
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如图，P是$\odot O$外一点，PA，PB分别和$\odot O$相切于点A，B，点C是AB上任意一点，过点C作$\odot O$的切线分别交PA，PB于点D，E，若$PA=20$，则$△ PDE$的周长为
40
。答案：5. 40.
解析：
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线的长度相等。本题中PA、PB、DE均为⊙O的切线，我们可以先得到PA=PB，再将△PDE的周长拆分，通过切线长相等做等量替换，最终将周长转化为PA与PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：根据切线长定理可得：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA = PB = 20
∵DE是⊙O的切线，切点为C，D在PA上，E在PB上
∴DA = DC，EB = EC
△PDE的周长 = PD + DE + PE
将DE拆分为DC+CE，代入得：
周长 = PD + DC + CE + PE
将DC替换为DA，CE替换为EB，可得：
周长 = PD + DA + EB + PE = (PD+DA) + (PE+EB) = PA + PB
代入PA=20，PB=20，得周长=20+20=40
【答案】
40
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题属于切线长定理的基础应用题型，解题的核心是利用切线长相等对三角形的周长做等量转化，无需单独求解各边长度即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线的长度相等。本题中PA、PB、DE均为⊙O的切线，我们可以先得到PA=PB，再将△PDE的周长拆分，通过切线长相等做等量替换，最终将周长转化为PA与PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：根据切线长定理可得：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA = PB = 20
∵DE是⊙O的切线，切点为C，D在PA上，E在PB上
∴DA = DC，EB = EC
△PDE的周长 = PD + DE + PE
将DE拆分为DC+CE，代入得：
周长 = PD + DC + CE + PE
将DC替换为DA，CE替换为EB，可得：
周长 = PD + DA + EB + PE = (PD+DA) + (PE+EB) = PA + PB
代入PA=20，PB=20，得周长=20+20=40
【答案】
40
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题属于切线长定理的基础应用题型，解题的核心是利用切线长相等对三角形的周长做等量转化，无需单独求解各边长度即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7