6. 下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:如图,⊙O及⊙O外一点P. 求作:过点P的⊙O的切线.
作法:① 连接OP;② 以OP为直径作⊙M,交⊙O于点A,B;③作直线PA, PB;则直线PA,PB即为所求.
(1) 根据小明的设计,使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下,若AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,求∠APB的度数.
已知:如图,⊙O及⊙O外一点P. 求作:过点P的⊙O的切线.
作法:① 连接OP;② 以OP为直径作⊙M,交⊙O于点A,B;③作直线PA, PB;则直线PA,PB即为所求.
(1) 根据小明的设计,使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下,若AC是⊙O的直径,∠BAC=20°,求∠APB的度数.
答案：
6. 解:(1) $\odot O$ 的切线 $PA,PB$,
即为所求；
(2) 如图(2),$AC$ 是 $\odot O$ 的直径,$∠ BAC=20°$,连接 $OB$,则 $OA=OB$,$\therefore ∠ BAC=∠ OBA=20°$,$\therefore ∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=140°$. $\because PA,PB$ 是 $\odot O$ 的切线,$\therefore OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$,$\therefore ∠ OAP=∠ OBP=90°$,$\therefore ∠ APB=360°-∠ AOB-∠ OAP-∠ OBP=40°$.
6. 解:(1) $\odot O$ 的切线 $PA,PB$,
即为所求；(2) 如图(2),$AC$ 是 $\odot O$ 的直径,$∠ BAC=20°$,连接 $OB$,则 $OA=OB$,$\therefore ∠ BAC=∠ OBA=20°$,$\therefore ∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=140°$. $\because PA,PB$ 是 $\odot O$ 的切线,$\therefore OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$,$\therefore ∠ OAP=∠ OBP=90°$,$\therefore ∠ APB=360°-∠ AOB-∠ OAP-∠ OBP=40°$.
解析：
【分析】
(1) 作图题思路：按照题目给出的作法分步操作即可：首先用直尺连接OP；再作线段OP的垂直平分线找到OP中点M，以M为圆心、MO的长度为半径画圆，该圆与⊙O的交点就是A、B；最后连接PA、PB，保留所有作图痕迹。
(2) 求角度思路：要求∠APB，已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质可知∠OAP、∠OBP均为90°，只需要先求出圆心角∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°就能算出∠APB。求∠AOB时，OA和OB都是⊙O的半径，△OAB是等腰三角形，已知∠BAC=20°，可通过等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和求出∠AOB。
【解析】
(1) 补全图形步骤：①用直尺连接OP；②作OP的垂直平分线，交OP于点M；③以M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；④连接PA、PB，即为所求切线，保留所有作图痕迹。
(2) 解：连接OB，
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=20°，
在△OAB中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=180°-20°-20°=140°$，
∵PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为360°，因此：
$∠ APB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-140°=40°$。
【答案】
(1) $\odot O$ 的切线 $PA,PB$, 即为所求；
(2) $∠ APB=40°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题结合了尺规作图与圆的性质计算，既考查动手操作能力，又考查多个基础知识点的综合运用，是圆章节的典型基础题型，能够有效巩固相关核心知识。
【难度系数】
0.7
(1) 作图题思路：按照题目给出的作法分步操作即可：首先用直尺连接OP；再作线段OP的垂直平分线找到OP中点M，以M为圆心、MO的长度为半径画圆，该圆与⊙O的交点就是A、B；最后连接PA、PB，保留所有作图痕迹。
(2) 求角度思路：要求∠APB，已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质可知∠OAP、∠OBP均为90°，只需要先求出圆心角∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°就能算出∠APB。求∠AOB时，OA和OB都是⊙O的半径，△OAB是等腰三角形，已知∠BAC=20°，可通过等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和求出∠AOB。
【解析】
(1) 补全图形步骤：①用直尺连接OP；②作OP的垂直平分线，交OP于点M；③以M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于A、B两点；④连接PA、PB，即为所求切线，保留所有作图痕迹。
(2) 解：连接OB，
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=20°，
在△OAB中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ AOB=180°-∠ BAC-∠ OBA=180°-20°-20°=140°$，
∵PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为360°，因此：
$∠ APB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-140°=40°$。
【答案】
(1) $\odot O$ 的切线 $PA,PB$,
即为所求；(2) $∠ APB=40°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题结合了尺规作图与圆的性质计算，既考查动手操作能力，又考查多个基础知识点的综合运用，是圆章节的典型基础题型，能够有效巩固相关核心知识。
【难度系数】
0.7
如图，AB是$\odot O$的直径，过点A作$\odot O$的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作$BD// OP$，交$\odot O$于点D，连接PD.
（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）证明：PD是$\odot O$的切线.
（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）证明：PD是$\odot O$的切线.
答案：
(1) 解:图形如图所示:
(2) 证明:连接 $OD$,$\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$,$\therefore PA⊥ AB$,即 $∠ PAO=90°$. $\because OP// BD$,$\therefore ∠ DBO=∠ AOP$,$∠ BDO=∠ DOP$. $\because OD=OB$,$\therefore ∠ BDO=∠ DBO$,$\therefore ∠ DOP=∠ AOP$. 在 $△ AOP$ 和 $△ DOP$ 中,$\begin{cases} AO=DO,\\ ∠ AOP=∠ DOP,\\ PO=PO, \end{cases}$ $\therefore △ AOP≌ △ DOP(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ PDO=∠ PAO$. $\because ∠ PAO=90°$,$\therefore ∠ PDO=90°$,即 $OD⊥ PD$. $\because OD$ 为半径,$\therefore PD$ 是 $\odot O$ 的切线.
(1) 解:图形如图所示:
(2) 证明:连接 $OD$,$\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$,$\therefore PA⊥ AB$,即 $∠ PAO=90°$. $\because OP// BD$,$\therefore ∠ DBO=∠ AOP$,$∠ BDO=∠ DOP$. $\because OD=OB$,$\therefore ∠ BDO=∠ DBO$,$\therefore ∠ DOP=∠ AOP$. 在 $△ AOP$ 和 $△ DOP$ 中,$\begin{cases} AO=DO,\\ ∠ AOP=∠ DOP,\\ PO=PO, \end{cases}$ $\therefore △ AOP≌ △ DOP(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ PDO=∠ PAO$. $\because ∠ PAO=90°$,$\therefore ∠ PDO=90°$,即 $OD⊥ PD$. $\because OD$ 为半径,$\therefore PD$ 是 $\odot O$ 的切线.
解析：
【分析】
（1）补全图形思路：首先在射线AC上取动点P，连接OP，再通过尺规作角相等的方法构造BD平行于OP，使BD与⊙O交于点D，最后连接PD，保留作图痕迹即可。
（2）证明切线思路：要证明PD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明PD垂直于半径OD，因此先连接辅助线OD。首先利用切线的性质得到∠PAO=90°，再结合平行线的性质和等腰三角形等边对等角的特征，推出∠AOP=∠DOP，进而证明△AOP和△DOP全等，得到∠PDO=∠PAO=90°，即可证得OD⊥PD，从而得出PD是切线的结论。
【解析】
（1）按尺规作图要求完成作图：先确定射线AC上的点P，作∠OBD=∠AOP得到BD，BD交⊙O于点D，连接PD，保留作图痕迹即可。
（2）证明过程如下：
连接 $OD$，
$\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$\therefore PA⊥ AB$，即 $∠ PAO=90°$。
$\because OP// BD$，$\therefore ∠ DBO=∠ AOP$，$∠ BDO=∠ DOP$。
$\because OD=OB$，$\therefore ∠ BDO=∠ DBO$，
$\therefore ∠ DOP=∠ AOP$。
在 $△ AOP$ 和 $△ DOP$ 中，
$\begin{cases} AO=DO,\\ ∠ AOP=∠ DOP,\\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore △ AOP≌ △ DOP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ PDO=∠ PAO$。
$\because ∠ PAO=90°$，$\therefore ∠ PDO=90°$，即 $OD⊥ PD$。
$\because OD$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore PD$ 是 $\odot O$ 的切线。
【答案】
(1) 图形如图所示:
(2) PD是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明两个考点，既考查了基础作图能力，又考查了核心几何定理的应用，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，是典型的圆相关的基础综合题。
【难度系数】
0.7
（1）补全图形思路：首先在射线AC上取动点P，连接OP，再通过尺规作角相等的方法构造BD平行于OP，使BD与⊙O交于点D，最后连接PD，保留作图痕迹即可。
（2）证明切线思路：要证明PD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明PD垂直于半径OD，因此先连接辅助线OD。首先利用切线的性质得到∠PAO=90°，再结合平行线的性质和等腰三角形等边对等角的特征，推出∠AOP=∠DOP，进而证明△AOP和△DOP全等，得到∠PDO=∠PAO=90°，即可证得OD⊥PD，从而得出PD是切线的结论。
【解析】
（1）按尺规作图要求完成作图：先确定射线AC上的点P，作∠OBD=∠AOP得到BD，BD交⊙O于点D，连接PD，保留作图痕迹即可。
（2）证明过程如下：
连接 $OD$，
$\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$\therefore PA⊥ AB$，即 $∠ PAO=90°$。
$\because OP// BD$，$\therefore ∠ DBO=∠ AOP$，$∠ BDO=∠ DOP$。
$\because OD=OB$，$\therefore ∠ BDO=∠ DBO$，
$\therefore ∠ DOP=∠ AOP$。
在 $△ AOP$ 和 $△ DOP$ 中，
$\begin{cases} AO=DO,\\ ∠ AOP=∠ DOP,\\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore △ AOP≌ △ DOP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ PDO=∠ PAO$。
$\because ∠ PAO=90°$，$\therefore ∠ PDO=90°$，即 $OD⊥ PD$。
$\because OD$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore PD$ 是 $\odot O$ 的切线。
【答案】
(1) 图形如图所示:
(2) PD是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明两个考点，既考查了基础作图能力，又考查了核心几何定理的应用，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，是典型的圆相关的基础综合题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是 （
A.△BPA为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A，B都在以PO为直径的圆上
D.PC为△BPA的边AB上的中线
B
）A.△BPA为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A，B都在以PO为直径的圆上
D.PC为△BPA的边AB上的中线
答案：1. B
解析：
【分析】
解题时可结合切线长定理、等腰三角形性质、圆的判定知识逐一判断每个选项是否一定成立：首先由切线长定理得到两条切线长相等，先判断等腰三角形相关选项；再结合等腰三角形三线合一判断线段垂直平分关系；最后根据切线的性质得到直角，判断点共圆的结论即可。
【解析】
解：逐一分析各选项：
1. 选项A：
∵PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理，PA=PB，
∴△BPA是等腰三角形，该结论一定成立，不符合题意。
2. 选项B：由PA=PB，PO平分∠APB，根据等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB、AC=BC，即PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，只有存在特殊角度等额外条件时AB才平分PD，该结论不一定成立，符合题意。
3. 选项C：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定成立，不符合题意。
4. 选项D：由上述分析知AC=BC，且PC过点P，故PC是△BPA边AB上的中线，该结论一定成立，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等腰三角形三线合一；圆的判定
【点评】
本题属于切线性质的基础应用考题，需要同学们熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形的性质逐一排查选项，审题时注意题目要求选“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时可结合切线长定理、等腰三角形性质、圆的判定知识逐一判断每个选项是否一定成立：首先由切线长定理得到两条切线长相等，先判断等腰三角形相关选项；再结合等腰三角形三线合一判断线段垂直平分关系；最后根据切线的性质得到直角，判断点共圆的结论即可。
【解析】
解：逐一分析各选项：
1. 选项A：
∵PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理，PA=PB，
∴△BPA是等腰三角形，该结论一定成立，不符合题意。
2. 选项B：由PA=PB，PO平分∠APB，根据等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB、AC=BC，即PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，只有存在特殊角度等额外条件时AB才平分PD，该结论不一定成立，符合题意。
3. 选项C：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定成立，不符合题意。
4. 选项D：由上述分析知AC=BC，且PC过点P，故PC是△BPA边AB上的中线，该结论一定成立，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等腰三角形三线合一；圆的判定
【点评】
本题属于切线性质的基础应用考题，需要同学们熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形的性质逐一排查选项，审题时注意题目要求选“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7