【分析】
遇到正多边形绕中心旋转后与自身重合的问题，首先要回忆正多边形的旋转对称性质：正n边形绕中心旋转的最小角度等于它的中心角，中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$。要满足旋转40°后重合，说明40°是最小旋转角的正整数倍；要求边数最少，即最小旋转角最大，因此取正整数倍为1，也就是最小旋转角等于40°，代入公式即可求出最小边数。
【解析】
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，正多边形绕中心旋转后与自身重合的条件是旋转角为中心角的正整数倍。
要使旋转40°后重合，且边数最少，则40°等于该正多边形的中心角（即最小旋转角），因此列等式：
$\frac{360°}{n}=40°$
解得$n=\frac{360°}{40°}=9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的旋转对称性、正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形旋转对称性质的基础应用，解题核心是明确正多边形的最小旋转角等于其中心角，结合旋转重合的条件列式计算即可，掌握相关基础概念就能快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到周长相等的正多边形求面积比的问题，可通过设公共参数简化计算，解题思路如下：1. 因为正三角形有3条边、正六边形有6条边，为避免边长出现分数，设二者的公共周长为6a，分别求出两个正多边形的边长；2. 利用正三角形面积公式计算正三角形的面积；3. 结合正六边形的结构特征，将其分割为6个边长等于自身边长的全等正三角形，进而求出正六边形的面积；4. 将两个面积作比，约掉公共参数后化简得到最终比值。
【解析】
解：设正三角形和正六边形的周长均为6a。
1. 求边长：
正三角形的边长：$ 6a ÷ 3 = 2a $
正六边形的边长：$ 6a ÷ 6 = a $
2. 计算正三角形的面积$ S_1 $：
正三角形面积公式为$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} × \mathrm{边长}^2 $，代入边长2a得：
$ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} × (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × 4a^2 = \sqrt{3}a^2 $
3. 计算正六边形的面积$ S_2 $：
正六边形可分割为6个边长为a的全等正三角形，单个小正三角形的面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，因此：
$ S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $
4. 求面积比：
$ S_1:S_2 = \sqrt{3}a^2 : \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 2:3 $
【答案】
2:3
【知识点】
正多边形周长计算、正三角形面积公式、正六边形的结构特征
【点评】
本题是正多边形相关计算的常考题型，解题核心是通过设公共周长简化运算，巧妙利用正六边形可分割为多个全等正三角形的特征降低面积计算难度，只要掌握正多边形的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决正多边形绕中心旋转后与原图形重合的最小角度问题，首先需明确：正多边形是旋转对称图形，其最小旋转角度等于自身的中心角度数。正n边形的中心角可以用周角360°除以边数n得到，本题中正十边形的边数n=10，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
正多边形绕其中心旋转后能与原图形重合的最小角度，等于该正多边形的中心角的度数。
正n边形的中心角计算公式为：$α=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数）
本题中是正十边形，即n=10，代入公式得：
$α=\frac{360°}{10}=36°$
因此正十边形绕中心至少旋转36°才能与原图形重合。
【答案】
36
【知识点】
正多边形的性质；旋转对称图形；中心角计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是理解正多边形最小旋转角与其中心角的关系，熟记中心角计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决正六边形的相关计算，需结合正多边形与圆的关系分步推导：1. 首先连接正六边形的中心和相邻两个顶点，构造中心三角形，正六边形的中心角为360°÷6=60°，结合两条半径相等的条件可判定中心三角形为等边三角形，直接得到边长等于半径；2. 正六边形有6条等长的边，周长为边长的6倍，可直接计算；3. 计算面积时，正六边形可拆分为6个全等的中心等边三角形，过中心作边的垂线得到边心距，用勾股定理求出边心距后，先计算单个三角形的面积，再乘6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OG⊥AB，垂足为G。
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，OA=OB=R，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ 边长$a = AB = OA = R$。
周长$C = 6a = 6R$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，OA=R，$AG = \frac{1}{2}AB = \frac{R}{2}$，
∴ 边心距$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{R}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴ 正六边形的面积$S = 6× S_{△ AOB} = 6×(\frac{1}{2}× AB × OG) = 6×(\frac{1}{2}× R × \frac{\sqrt{3}}{2}R) = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。
【答案】
边长$\boldsymbol{a=R}$，周长$\boldsymbol{C=6R}$，面积$\boldsymbol{S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是正多边形相关计算的典型基础题，解题核心是掌握正多边形的中心角、半径、边长、边心距之间的关系，通过拆分正多边形为多个全等的中心三角形，将复杂的多边形计算转化为熟悉的三角形计算问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算∠ABO的度数，首先明确解题步骤：1. 利用正多边形内角公式分别算出正五边形、正六边形的内角度数；2. 结合周角为360°，求出△AOB的顶角∠AOB的度数；3. 由两个正多边形边长相等可知OA=OB，即△AOB为等腰三角形，最后根据等腰三角形内角和性质即可求出底角∠ABO的度数。
【解析】
根据正多边形内角公式：正$n$边形的每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
1. 计算正五边形的每个内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
2. 计算正六边形的每个内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$；
3. 计算$∠ AOB$的度数：周角为$360°$，因此$∠ AOB=360° - 108° - 120°=132°$；
4. 已知正五边形和正六边形边长相等，因此$OA=OB$，$△ AOB$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质：
$∠ ABO=\frac{180° - ∠ AOB}{2}=\frac{180° - 132°}{2}=24°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算，等腰三角形的性质，周角的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，将正多边形的内角性质与等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是正确求出∠AOB的度数，熟练掌握正多边形内角公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分三步：第一步先明确已知条件，三个正多边形的外接圆半径均为2，需要分别求出它们的边心距；第二步根据得到的三条边的长度，判断新构成三角形的形状；第三步结合三角形形状计算面积。首先回忆正多边形边心距的计算方法：正n边形的边心距、外接圆半径、边长的一半构成直角三角形，其中外接圆半径与边心距的夹角为中心角的一半（即$\frac{180°}{n}$），可用三角函数或勾股定理计算边心距。得到三边长后，先验证是否满足勾股定理逆定理，若为直角三角形则直接用直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
已知外接圆半径$R=2$，分别计算三个正多边形的边心距：
1. 计算内接正三角形的边心距$d_1$：
正三角形中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，中心角的一半为$60°$，
在由边心距、半径、半边长组成的直角三角形中，$d_1 = R·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$；
2. 计算内接正方形的边心距$d_2$：
正方形中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，中心角的一半为$45°$，
$d_2 = R·\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$；
3. 计算内接正六边形的边心距$d_3$：
正六边形中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，
$d_3 = R·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$；
得到三角形三边长分别为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$，验证勾股定理：
$\because 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 = (\sqrt{3})^2$
$\therefore$ 该三角形是直角三角形，两条直角边长为$1$和$\sqrt{2}$，
则三角形面积$S = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查正多边形边心距的计算，需要熟练掌握特殊正多边形与外接圆半径的数量关系，结合勾股定理逆定理快速判断三角形形状即可顺利求解，计算时要注意特殊角三角函数值的准确性。
【难度系数】
0.65

【分析】
解题时首先结合已知条件OA=AB，以及OA、OB均为圆的半径，可判断△OAB为等边三角形，得到∠AOB=60°；再结合OC⊥AB，利用垂径定理得到弧相等、角相等的结论，最后结合正多边形和圆的关系、圆周角定理逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵OA=AB，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
选项A：圆内接正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，与∠AOB相等，因此弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，A结论正确，不符合题意；
选项C：
∵OC⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，C结论正确，不符合题意；
同时OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}∠AOB=30°$。
选项B：圆内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，与∠AOC相等，因此弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，B结论正确，不符合题意；
选项D：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC=30°，
∴$∠BAC=\frac{1}{2}×30°=15°≠30°$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础综合题，将垂径定理、圆周角定理和正多边形与圆的关系结合考查，解题的关键是先推导得出△OAB为等边三角形，再结合相关定理逐一验证选项，需要注意圆周角和圆心角的对应关系，避免计算角度时出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先明确正四边形即正方形，正方形的四个顶点都在其外接圆上，正方形的对角线交点就是外接圆的圆心，因此正方形的对角线长度等于外接圆的直径，要求外接圆半径，只需用对角线长度除以2即可。
【解析】
解：
∵正四边形是正方形，正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，
已知该正四边形对角线长为$2\sqrt{2}$，
∴外接圆的直径$d=2\sqrt{2}$，
∴外接圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 正多边形与圆的性质
2. 正方形的性质
【点评】
本题考查正多边形和其外接圆的对应关系，解题核心是明确正四边形的对角线与外接圆直径相等，是基础类题型，掌握正多边形外接圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9