【分析】
（1）解题思路：原来每件T恤盈利30元，降价x元后，每件的盈利直接用原利润减去降价金额即可；题目明确“销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件”，降价x元时多售出的件数就是x的4倍，直接代入即可得到对应代数式。
（2）解题思路：销售类问题的核心等量关系是“总利润=每件利润×总销售量”，我们已经用x表示出了降价后的每件利润、多售出的件数，总销售量就是原有40件加多售出的件数，让总利润等于1500即可列出一元二次方程，解出根后结合“尽快减少库存”的要求，降价越多销量越高，所以要取更大的x值作为最终结果。
（3）解题思路：求利润最大值时，先设总利润为y元，按照总利润的等量关系列出y关于x的函数表达式，判断为二次函数后将其配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，即可找到顶点对应的x值，也就是利润最大时的降价金额。
【解析】
（1）降价后每件T恤的利润为原利润减去降价金额，即$(30-x)$元；每降1元多售4件，降价x元则平均每天可多售出$4x$件。
（2）由总利润的等量关系列方程：
$(30-x)(40+4x)=1500$
展开整理得：$x^2-20x+75=0$
因式分解得$(x-15)(x-5)=0$，解得$x_1=15$，$x_2=5$
∵要尽快减少库存，降价幅度越大销量越高，库存减少越快，
∴选择更大的降价幅度，即$x=15$。
（3）设每天获得的总利润为$y$元，由题意得：
$y=(30-x)(40+4x)$
展开并配方得：$y=-4x^2+80x+1200=-4(x-10)^2+1600$
∵二次项系数$-4＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=10$，且$0≤ x≤30$符合实际销售逻辑
∴当$x=10$时，$y$取得最大值。
【答案】
(1) $(30-x)$，$4x$；
(2) 每件T恤衫应降价15元；
(3) 每件应降价10元才能使每天获得的利润最大。
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，二次函数最值应用
【点评】
本题是销售利润类常规应用题，考查了从实际问题中提取数量关系的能力，解题时要注意结合“减少库存”这类实际约束条件对解进行取舍，求最值时熟练运用二次函数顶点式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 第一问利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点代入抛物线解析式，解关于k的一元一次方程即可得到结果。
(2) 第二问有两种解题思路：①代数法：分别将两个点的横坐标代入解析式求出y₁、y₂的表达式，结合y₁＞y₂列不等式求解；②数形结合法：先求抛物线对称轴，已知抛物线开口向上时，点离对称轴越远函数值越大，据此列绝对值不等式求解即可。
(3) 第三问先将原抛物线配方为顶点式，根据“左加右减”的平移规律得到新抛物线解析式，再结合开口向上的性质，分对称轴在给定区间[1,2]左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论，分别求出对应情形下的最小值，令其等于-3/2，解方程后筛选符合条件的k值即可。
【解析】
(1) 把点$(1,k^2)$代入抛物线$y=x^2-2(k-1)x+k^2-\frac{5}{2}k$，得：
$k^2=1^2-2(k-1)+k^2-\frac{5}{2}k$
化简得：$0=3-\frac{9}{2}k$
解得 $k=\frac{2}{3}$。
(2) 法1：数形结合法
抛物线对称轴为直线 $x=k-1$，$\because a=1＞0$，$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远，$y$ 值越大，
$\because y_1＞y_2$，$\therefore |2k-(k-1)|＞|2-(k-1)|$，
即$|k+1|＞|3-k|$，平方后化简得$8k＞8$，解得 $k＞1$。
法2：代数法
把点 $(2k,y_1)$ 代入抛物线解析式，得 $y_1=(2k)^2-2(k-1)·2k+k^2-\frac{5}{2}k=k^2+\frac{3}{2}k$，
把点 $(2,y_2)$ 代入抛物线解析式，得 $y_2=2^2-2(k-1)×2+k^2-\frac{5}{2}k=k^2-\frac{13}{2}k+8$。
$\because y_1＞y_2$，$\therefore k^2+\frac{3}{2}k＞k^2-\frac{13}{2}k+8$，化简得$8k＞8$，解得 $k＞1$。
(3) 先将原抛物线配方得 $y=(x-k+1)^2-\frac{1}{2}k-1$，向右平移1个单位长度后得到新解析式为 $y=(x-k)^2-\frac{1}{2}k-1$，新抛物线对称轴为直线$x=k$，开口向上，分三种情况讨论：
①当 $k＜1$ 时，$1≤ x≤2$ 在对称轴右侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore x=1$ 时，$y_{\mathrm{最小}}=(1-k)^2-\frac{1}{2}k-1=k^2-\frac{5}{2}k$，
令$k^2-\frac{5}{2}k=-\frac{3}{2}$，解得 $k_1=1,k_2=\frac{3}{2}$，均不符合$k＜1$，全部舍去；
②当 $1≤ k≤2$ 时，对称轴在区间内，$y_{\mathrm{最小}}=-\frac{1}{2}k-1$，
令$-\frac{1}{2}k-1=-\frac{3}{2}$，解得 $k=1$，符合条件；
③当 $k＞2$ 时，$1≤ x≤2$ 在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore x=2$ 时，$y_{\mathrm{最小}}=(2-k)^2-\frac{1}{2}k-1=k^2-\frac{9}{2}k+3$，
令$k^2-\frac{9}{2}k+3=-\frac{3}{2}$，解得 $k_1=3,k_2=\frac{3}{2}$，其中$\frac{3}{2}$不符合$k＞2$舍去，保留$k=3$。
综上，$k=1$或$3$。
【答案】
(1) $k=\frac{2}{3}$
(2) $k＞1$
(3) $k=1$或$3$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数平移，含参二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，覆盖了点与函数图象的关系、函数值比较、图象平移、区间最值多个考点，解题时注意灵活选择方法，第三问需按对称轴位置分类讨论，同时要对求解结果进行合理性检验，避免出现不符合区间条件的解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 解题时先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，代入m=2得到$M_1$的坐标，再用待定系数法求出直线$AM_1$的解析式，其与y轴交点的纵坐标即为$OC_1$的长度；
(2) 先通过待定系数法分别求出直线$AM$、$BM$的解析式，得到两条直线与y轴交点的纵坐标，推导得出$d$的通用表达式，即可快速求出$(m+n)·d_2$的值；
(3) 先将第(2)问得出的$d_1=\frac{10}{m}$、$d_2=\frac{10}{m+n}$代入题干给出的两个等式，依次求出$n$、$m$的值，进而得到$M_2$、直线$AM_2$、$D_2$的坐标，结合几何性质即可求出$D_2$关于直线$AM_2$的对称点$P$的坐标。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}$，
$\because A(1,5)$ 在函数图象上，$\therefore k=1×5=5$，$\therefore$ 反比例函数解析式为 $y=\frac{5}{x}$。
当$m=2$时，$M_1$的横坐标为2，代入得$M_1(2,\frac{5}{2})$。
设直线 $AM_1$ 的解析式为 $y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，将$A(1,5)$、$M_1(2,\frac{5}{2})$代入得：
$\begin{cases}5=k_1+b_1\\\frac{5}{2}=2k_1+b_1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-\frac{5}{2}\\b_1=\frac{15}{2}\end{cases}$，
$\therefore$ 直线$AM_1$的解析式为$y=-\frac{5}{2}x+\frac{15}{2}$，
与y轴交点$C_1$的坐标为 $(0,\frac{15}{2})$，$\therefore OC_1=\frac{15}{2}$。
(2) 设直线 $AM_1$ 的解析式为 $y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，将$A(1,5)$、$M_1(m,\frac{5}{m})$代入，
解得$AM_1$的解析式为 $y=-\frac{5}{m}x+\frac{5}{m}+5$，与y轴交点纵坐标为$\frac{5}{m}+5$，即$OC_1=\frac{5}{m}+5$。
设直线 $BM_1$ 的解析式为 $y=k_2x+b_2(k_2≠0)$，$\because$ 点A、B关于原点对称，$\therefore B(-1,-5)$，
将$B(-1,-5)$、$M_1(m,\frac{5}{m})$代入，解得$BM_1$的解析式为 $y=\frac{5}{m}x+\frac{5}{m}-5$，
与y轴交点纵坐标为$\frac{5}{m}-5$，$\because \frac{5}{m}-5＜0$，$\therefore OD_1=5-\frac{5}{m}$，
$\therefore d_1=OC_1-OD_1=(\frac{5}{m}+5)-(5-\frac{5}{m})=\frac{10}{m}$。
同理可得，$d_2=\frac{10}{m+n}$，$\therefore (m+n)· d_2=(m+n)×\frac{10}{m+n}=10$。
(3) $\because m(d_1-d_2) = 2d_2$，整理得$md_1=(m+2)d_2$，
由(2)可知$md_1=10$，$(m+n)d_2=10$，$\therefore m+2=m+n$，解得$n=2$。
将$n=2$代入$3(d_1 + d_2) = 2n^3$得：$3(\frac{10}{m}+\frac{10}{m+2})=2×2^3=16$，
化简得$3m^2-11m-15=0$，解得$m=3$（$m＞1$，舍去负根）。
$\therefore M_2$的横坐标为$m+n=3+2=5$，代入反比例函数得$M_2(5,1)$，
可求得直线$AM_2$的解析式为$y=-x+6$，直线$BM_2$的解析式为$y=x-4$，
$\therefore D_2$坐标为$(0,-4)$，$C_2$坐标为$(0,6)$，
可得$△ C_2D_2M_2$为等腰直角三角形，直线$AM_2$垂直平分$D_2P$，
解得点$D_2$关于直线$AM_2$对称的点$P$的坐标为$(10,6)$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{15}{2}}$；(2) $\boxed{10}$；(3) $\boxed{(10,6)}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是代数几何综合题，以反比例函数为载体，结合一次函数、轴对称等知识点考查，梯度设置合理，既需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的基础技能，也需要具备代数推导找规律、数形结合分析几何性质的综合能力，解题时要善于利用前面小问得出的规律简化后续运算。
【难度系数】
0.3