1. 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果，设该厂加工干果质量的月平均增长率为$ x $，根据题意可列方程为 （
A.$ 10(1+x)^2=13 $
B.$ 10(1-x)^2=13 $
C.$ 10(1+x\%)^2=13 $
D.$ 10(1-x\%)^2=13 $
A
）A.$ 10(1+x)^2=13 $
B.$ 10(1-x)^2=13 $
C.$ 10(1+x\%)^2=13 $
D.$ 10(1-x\%)^2=13 $
答案：1. A.
解析：
【分析】
本题是平均增长率类的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先确定初始量、增长次数和最终量，回忆平均增长率的通用公式：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = 第n次增长后的量。本题中初始量是九月份的10吨，从九月到十一月共经过2次增长，最终量是十一月份的13吨，且题目已直接设月平均增长率为x，不需要额外换算百分号，代入公式即可得到对应方程，再排除错误选项即可。
【解析】
第一步：确定各量：初始量（九月份加工量）为10吨，月平均增长率为x，增长次数为2次（九月→十月为第1次增长，十月→十一月为第2次增长），最终量（十一月份加工量）为13吨。
第二步：计算每次增长后的量：
十月份加工量 = 九月份加工量×(1+增长率) = 10(1+x) 吨
十一月份加工量 = 十月份加工量×(1+增长率) = 10(1+x)×(1+x) = 10(1+x)² 吨
第三步：根据十一月份加工量为13吨列方程，可得10(1+x)²=13。
错误选项分析：B为平均下降率的表达式，不符合题意；C是当增长率设为x%时的表达式，本题已设增长率为x，无需加百分号；D同时误用下降率和百分号，均错误。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，解题核心是找准增长的初始量、增长次数和最终量，注意题干对未知数的设定，避免混淆增长率与下降率、x与x%的表达式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先确定初始量、增长次数和最终量，回忆平均增长率的通用公式：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = 第n次增长后的量。本题中初始量是九月份的10吨，从九月到十一月共经过2次增长，最终量是十一月份的13吨，且题目已直接设月平均增长率为x，不需要额外换算百分号，代入公式即可得到对应方程，再排除错误选项即可。
【解析】
第一步：确定各量：初始量（九月份加工量）为10吨，月平均增长率为x，增长次数为2次（九月→十月为第1次增长，十月→十一月为第2次增长），最终量（十一月份加工量）为13吨。
第二步：计算每次增长后的量：
十月份加工量 = 九月份加工量×(1+增长率) = 10(1+x) 吨
十一月份加工量 = 十月份加工量×(1+增长率) = 10(1+x)×(1+x) = 10(1+x)² 吨
第三步：根据十一月份加工量为13吨列方程，可得10(1+x)²=13。
错误选项分析：B为平均下降率的表达式，不符合题意；C是当增长率设为x%时的表达式，本题已设增长率为x，无需加百分号；D同时误用下降率和百分号，均错误。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，解题核心是找准增长的初始量、增长次数和最终量，注意题干对未知数的设定，避免混淆增长率与下降率、x与x%的表达式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
2. 某公司第一季度生产a件产品，第二季度比第一季度增产10%，第二季度生产
$a(1+10\%)$
件产品。答案：2. $a(1+10\%)$.
解析：
【分析】
本题考查增长率相关的代数式列写，解题时首先明确单位“1”为第一季度的产量a，第二季度比第一季度增产10%，说明第二季度的产量是第一季度产量的（1+10%），用单位“1”的量乘以对应的占比即可得到第二季度的产量。
【解析】
已知第一季度生产a件产品，将第一季度产量看作单位“1”，第二季度比第一季度增产10%，则第二季度产量占第一季度产量的比例为(1+10%)，因此第二季度的产量为：
$a×(1+10\%)=a(1+10\%)$
【答案】
$a(1+10\%)$
【知识点】
增长率问题、列代数式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是找准单位“1”，理清增长比例对应的基数，即可快速列出对应的代数式。
【难度系数】
0.9
本题考查增长率相关的代数式列写，解题时首先明确单位“1”为第一季度的产量a，第二季度比第一季度增产10%，说明第二季度的产量是第一季度产量的（1+10%），用单位“1”的量乘以对应的占比即可得到第二季度的产量。
【解析】
已知第一季度生产a件产品，将第一季度产量看作单位“1”，第二季度比第一季度增产10%，则第二季度产量占第一季度产量的比例为(1+10%)，因此第二季度的产量为：
$a×(1+10\%)=a(1+10\%)$
【答案】
$a(1+10\%)$
【知识点】
增长率问题、列代数式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是找准单位“1”，理清增长比例对应的基数，即可快速列出对应的代数式。
【难度系数】
0.9
3. 某商品八折后的售价为a元，则该商品的原价为
$\frac{5a}{4}$
元。答案：3. $\frac{5a}{4}$.
解析：
【分析】
解决本题首先要明确折扣问题的核心等量关系：商品的售价 = 商品原价 × 折扣率。八折对应的折扣率为80%（即0.8），题目已知打折后的售价为a元，要求原价，只需将等量关系变形为“原价 = 售价 ÷ 折扣率”，代入数据后化简计算即可。
【解析】
设该商品的原价为$ x $元。
八折是指按原价的80%销售，根据售价与原价、折扣率的关系可列方程：
$ 80\% · x = a $
即$ 0.8x = a $
解方程得：
$ x = a ÷ 0.8 = a ÷ \frac{4}{5} = \frac{5a}{4} $
【答案】
$\frac{5a}{4}$
【知识点】
销售折扣问题；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类常考基础题，重点考察对折扣概念的理解和基础的代数式运算，只要理清原价、折扣、售价三者的数量关系，即可快速求解，计算时注意小数与分数的转换规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确折扣问题的核心等量关系：商品的售价 = 商品原价 × 折扣率。八折对应的折扣率为80%（即0.8），题目已知打折后的售价为a元，要求原价，只需将等量关系变形为“原价 = 售价 ÷ 折扣率”，代入数据后化简计算即可。
【解析】
设该商品的原价为$ x $元。
八折是指按原价的80%销售，根据售价与原价、折扣率的关系可列方程：
$ 80\% · x = a $
即$ 0.8x = a $
解方程得：
$ x = a ÷ 0.8 = a ÷ \frac{4}{5} = \frac{5a}{4} $
【答案】
$\frac{5a}{4}$
【知识点】
销售折扣问题；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类常考基础题，重点考察对折扣概念的理解和基础的代数式运算，只要理清原价、折扣、售价三者的数量关系，即可快速求解，计算时注意小数与分数的转换规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.9
4. 某商品的利润率为20%，若该商品的进价为80元，则售价为
96
元。答案：4. 96.
解析：
【分析】
解决本题首先要明确销售问题中售价、进价、利润率三者的等量关系：利润率=（售价-进价）÷进价×100%，将该公式变形可得到售价的计算公式：售价=进价×(1+利润率)。已知本题中进价和利润率的数值，直接将已知量代入变形后的公式，即可快速求出售价。
【解析】
根据销售问题的数量关系计算：
第一步，明确公式：售价 = 进价 ×（1 + 利润率）
第二步，代入已知条件：进价为80元，利润率为20%，则
售价 = 80 × (1 + 20%) = 80 × 1.2 = 96（元）
【答案】
96
【知识点】
利润率公式应用、销售售价计算
【点评】
本题属于销售类基础计算题，主要考查对利润率相关数量关系的理解与运用，熟记售价、进价、利润率三者的换算公式即可快速解题，是后续解决复杂销售类应用题的基础。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确销售问题中售价、进价、利润率三者的等量关系：利润率=（售价-进价）÷进价×100%，将该公式变形可得到售价的计算公式：售价=进价×(1+利润率)。已知本题中进价和利润率的数值，直接将已知量代入变形后的公式，即可快速求出售价。
【解析】
根据销售问题的数量关系计算：
第一步，明确公式：售价 = 进价 ×（1 + 利润率）
第二步，代入已知条件：进价为80元，利润率为20%，则
售价 = 80 × (1 + 20%) = 80 × 1.2 = 96（元）
【答案】
96
【知识点】
利润率公式应用、销售售价计算
【点评】
本题属于销售类基础计算题，主要考查对利润率相关数量关系的理解与运用，熟记售价、进价、利润率三者的换算公式即可快速解题，是后续解决复杂销售类应用题的基础。
【难度系数】
0.9
问题 为了节约用水,某自来水厂规定:某单元居民如果一个月的用水量不超过$x$吨,那么这个月该单元居民只缴10元水费.若超过$x$吨,则这个月除了仍要缴的10元水费外,超过的部分按每吨$\frac{x}{100}$元缴费.
(1) 该单元居民8月份用水80吨,超过了规定的$x$吨,则超过部分应缴水费多少元?(用含$x$的代数式表示)
(2) 下表是该单元居民9月份、10月份的用水情况和缴费情况:
| 月份 | 用水量/吨 | 缴费总数/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| 9月份 |
| 25 |
| 10月份 | 50 | 10 |
根据上表的数据,求该自来水厂规定的用水量吨数$x$.
名师指导
(1) 找到关键描述语,列出相关的式子.超过的用水量为$(80-x)$吨,所以,超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元.(2) 根据表格提供的数据,可以知道$x≥50$,根据9月份用水情况可以列出方程$10+\frac{x}{100}(85-x)=25$,然后解这个方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
(1) 该单元居民8月份用水80吨,超过了规定的$x$吨,则超过部分应缴水费多少元?(用含$x$的代数式表示)
(2) 下表是该单元居民9月份、10月份的用水情况和缴费情况:
| 月份 | 用水量/吨 | 缴费总数/元 |
| ---- | ---- | ---- |
| 9月份 |
| 25 || 10月份 | 50 | 10 |
根据上表的数据,求该自来水厂规定的用水量吨数$x$.
名师指导
(1) 找到关键描述语,列出相关的式子.超过的用水量为$(80-x)$吨,所以,超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元.(2) 根据表格提供的数据,可以知道$x≥50$,根据9月份用水情况可以列出方程$10+\frac{x}{100}(85-x)=25$,然后解这个方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
(1) 8月份用水超过规定$x$吨的部分为$(80-x)$吨，
因此超过部分应缴水费为$\frac{x}{100}(80-x)$元。
(2) 由10月份用水量为50吨，缴费10元，可得$x\ge50$。
根据9月份的用水和缴费情况列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85-x) = 25$
整理得：
$x^2 - 85x + 1500 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得：$x_1=60$，$x_2=25$。
因为$x\ge50$，所以$x=25$不符合题意，舍去。
答：(1) 超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元；(2) 该自来水厂规定的用水量吨数$x$为60吨。
(1) 8月份用水超过规定$x$吨的部分为$(80-x)$吨，
因此超过部分应缴水费为$\frac{x}{100}(80-x)$元。
(2) 由10月份用水量为50吨，缴费10元，可得$x\ge50$。
根据9月份的用水和缴费情况列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85-x) = 25$
整理得：
$x^2 - 85x + 1500 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得：$x_1=60$，$x_2=25$。
因为$x\ge50$，所以$x=25$不符合题意，舍去。
答：(1) 超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元；(2) 该自来水厂规定的用水量吨数$x$为60吨。
解析：
【分析】
(1) 第一问先计算超过规定用水量的部分：总用水量80吨减去规定的x吨，得到超出量为$(80-x)$吨，再用超出量乘以超过部分的每吨收费$\frac{x}{100}$元，即可得到超过部分应缴的水费。
(2) 第二问首先根据10月份的缴费情况判断：10月份用50吨水仅缴10元，说明50吨未超过规定用水量，即$x\ge50$；再根据9月份缴费25元（超过基础费用10元），可知9月份85吨用水量超过了x吨，依据“基础费用10元+超过部分的费用=总缴费25元”列一元二次方程，解方程后结合$x\ge50$的范围舍去不符合条件的根，即可得到x的取值。
【解析】
(1) 8月份超过规定用水量的部分为$(80-x)$吨，超过部分每吨收费$\frac{x}{100}$元，
因此超过部分应缴水费为$\frac{x}{100}(80-x)$元。
(2) 由10月份用水量50吨、缴费10元，可得$x\ge50$。
根据9月份的用水和缴费情况列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85-x) = 25$
整理得：
$x^2 - 85x + 1500 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得$x_1=60$，$x_2=25$。
因为$x\ge50$，所以$x=25$不符合题意，舍去，即$x=60$。
【答案】
(1) 超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元；
(2) 该自来水厂规定的用水量吨数$x$为60吨。
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，方程根的取舍
【点评】
本题结合生活中阶梯水费的实际场景命题，解题关键是读懂收费规则，找准等量关系列方程，要注意结合实际限制条件对方程的根进行取舍，是方程实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先计算超过规定用水量的部分：总用水量80吨减去规定的x吨，得到超出量为$(80-x)$吨，再用超出量乘以超过部分的每吨收费$\frac{x}{100}$元，即可得到超过部分应缴的水费。
(2) 第二问首先根据10月份的缴费情况判断：10月份用50吨水仅缴10元，说明50吨未超过规定用水量，即$x\ge50$；再根据9月份缴费25元（超过基础费用10元），可知9月份85吨用水量超过了x吨，依据“基础费用10元+超过部分的费用=总缴费25元”列一元二次方程，解方程后结合$x\ge50$的范围舍去不符合条件的根，即可得到x的取值。
【解析】
(1) 8月份超过规定用水量的部分为$(80-x)$吨，超过部分每吨收费$\frac{x}{100}$元，
因此超过部分应缴水费为$\frac{x}{100}(80-x)$元。
(2) 由10月份用水量50吨、缴费10元，可得$x\ge50$。
根据9月份的用水和缴费情况列方程：
$10 + \frac{x}{100}(85-x) = 25$
整理得：
$x^2 - 85x + 1500 = 0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得$x_1=60$，$x_2=25$。
因为$x\ge50$，所以$x=25$不符合题意，舍去，即$x=60$。
【答案】
(1) 超过部分应缴水费$\frac{x}{100}(80-x)$元；
(2) 该自来水厂规定的用水量吨数$x$为60吨。
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，方程根的取舍
【点评】
本题结合生活中阶梯水费的实际场景命题，解题关键是读懂收费规则，找准等量关系列方程，要注意结合实际限制条件对方程的根进行取舍，是方程实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7