4. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为
$(44-x)(20+5x)=1600$
。答案：4. $(44-x)(20+5x)=1600$
解析：
【分析】
解决这类销售利润问题，核心要抓住“总利润=单件利润×销售总数量”这一基本等量关系。我们可以分两步推导所需的量：第一步先确定降价x元后每件服装的盈利，第二步确定降价x元后每天的总销售量，最后根据总盈利为1600元，把两个量相乘即可列出方程，题目中“降价幅度不超过10元”是后续解方程时验根的依据，列方程时暂不需要代入。
【解析】
解：根据销售利润的基本等量关系逐步推导：
1. 计算降价后的单件利润：原本每件盈利44元，降价x元后，单件盈利为$(44 - x)$元；
2. 计算降价后的总销售量：原本每天销售20件，每降价1元可多售5件，降价x元后多售$5x$件，因此总销售量为$(20 + 5x)$件；
3. 结合总盈利为1600元的条件，根据“总利润=单件利润×销售总数量”，即可列出方程。
【答案】
$(44-x)(20+5x)=1600$
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，解题关键是准确找到总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和总销售量，题干中的降价限制条件是解方程后取舍根的重要依据，列方程阶段无需体现。
【难度系数】
0.8
解决这类销售利润问题，核心要抓住“总利润=单件利润×销售总数量”这一基本等量关系。我们可以分两步推导所需的量：第一步先确定降价x元后每件服装的盈利，第二步确定降价x元后每天的总销售量，最后根据总盈利为1600元，把两个量相乘即可列出方程，题目中“降价幅度不超过10元”是后续解方程时验根的依据，列方程时暂不需要代入。
【解析】
解：根据销售利润的基本等量关系逐步推导：
1. 计算降价后的单件利润：原本每件盈利44元，降价x元后，单件盈利为$(44 - x)$元；
2. 计算降价后的总销售量：原本每天销售20件，每降价1元可多售5件，降价x元后多售$5x$件，因此总销售量为$(20 + 5x)$件；
3. 结合总盈利为1600元的条件，根据“总利润=单件利润×销售总数量”，即可列出方程。
【答案】
$(44-x)(20+5x)=1600$
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，解题关键是准确找到总利润的等量关系，正确表示出降价后的单件利润和总销售量，题干中的降价限制条件是解方程后取舍根的重要依据，列方程阶段无需体现。
【难度系数】
0.8
5. 把下列方程整理成一元二次方程的一般形式,并分别指出二次项系数、一次项系数和常数项:
(1) $3x^2 -7=5x$;
(2) $2x^2=9$;
(3) $4x(x+1)-x(x-2)=2$;
(4) $(3x-2)(x+1)=8$.
(1) $3x^2 -7=5x$;
(2) $2x^2=9$;
(3) $4x(x+1)-x(x-2)=2$;
(4) $(3x-2)(x+1)=8$.
答案：5. (1) $3x^2 -5x -7=0; 3,-5,-7$.
(2) $2x^2 -9=0;2,0,-9$.
(3) $3x^2 +6x -2=0;3,6,-2$.
(4) $3x^2 +x -10=0;3,1,-10$.
(2) $2x^2 -9=0;2,0,-9$.
(3) $3x^2 +6x -2=0;3,6,-2$.
(4) $3x^2 +x -10=0;3,1,-10$.
解析：
【分析】
解题的核心是先明确一元二次方程的一般形式为$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：①对含括号的方程先去括号；②将所有项移到等号左侧，右侧化为0，移项注意变号；③合并同类项，将左侧整理为按$x$降幂排列的整式；④对应提取二次项系数、一次项系数、常数项即可，注意系数要包含前面的符号，无一次项时一次项系数为0。
【解析】
(1) 对$3x^2 -7=5x$移项，将$5x$移到左侧变号，整理得一般形式$3x^2 -5x -7=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-7。
(2) 对$2x^2=9$移项，将9移到左侧变号，整理得一般形式$2x^2 -9=0$，该方程无一次项，对应二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-9。
(3) 先对$4x(x+1)-x(x-2)=2$去括号得$4x^2+4x -x^2+2x=2$，合并同类项后移项整理得一般形式$3x^2 +6x -2=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为-2。
(4) 先对$(3x-2)(x+1)=8$展开左侧得$3x^2+3x-2x-2=8$，合并同类项后移项整理得一般形式$3x^2 +x -10=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为-10。
【答案】
(1) $3x^2 -5x -7=0; 3,-5,-7$
(2) $2x^2 -9=0;2,0,-9$
(3) $3x^2 +6x -2=0;3,6,-2$
(4) $3x^2 +x -10=0;3,1,-10$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，易错点为移项时忘记变号、去括号时符号出错，以及忽略缺项的系数为0，整理时注意系数要包含对应的正负号。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确一元二次方程的一般形式为$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：①对含括号的方程先去括号；②将所有项移到等号左侧，右侧化为0，移项注意变号；③合并同类项，将左侧整理为按$x$降幂排列的整式；④对应提取二次项系数、一次项系数、常数项即可，注意系数要包含前面的符号，无一次项时一次项系数为0。
【解析】
(1) 对$3x^2 -7=5x$移项，将$5x$移到左侧变号，整理得一般形式$3x^2 -5x -7=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-7。
(2) 对$2x^2=9$移项，将9移到左侧变号，整理得一般形式$2x^2 -9=0$，该方程无一次项，对应二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-9。
(3) 先对$4x(x+1)-x(x-2)=2$去括号得$4x^2+4x -x^2+2x=2$，合并同类项后移项整理得一般形式$3x^2 +6x -2=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为-2。
(4) 先对$(3x-2)(x+1)=8$展开左侧得$3x^2+3x-2x-2=8$，合并同类项后移项整理得一般形式$3x^2 +x -10=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为-10。
【答案】
(1) $3x^2 -5x -7=0; 3,-5,-7$
(2) $2x^2 -9=0;2,0,-9$
(3) $3x^2 +6x -2=0;3,6,-2$
(4) $3x^2 +x -10=0;3,1,-10$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
3. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，易错点为移项时忘记变号、去括号时符号出错，以及忽略缺项的系数为0，整理时注意系数要包含对应的正负号。
【难度系数】
0.8
6. 用方程描述下列问题中数量之间的相等关系：
（1）两个连续偶数的积是624.设较小的偶数为$ x $，可得方程
（2）一个直角三角形的斜边长为13 cm，两条直角边相差7 cm.设较短的直角边长为$ x $ cm，可得方程
（3）把长为10 m的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方.设较短一段的长为$ x $ m，可得方程
（1）两个连续偶数的积是624.设较小的偶数为$ x $，可得方程
$x(x+2)=624$
；（2）一个直角三角形的斜边长为13 cm，两条直角边相差7 cm.设较短的直角边长为$ x $ cm，可得方程
$x^2+(x+7)^2=13^2$
；（3）把长为10 m的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方.设较短一段的长为$ x $ m，可得方程
$10x=(10-x)^2$
。答案：6. (1) $x(x+2)=624$；(2) $x^2+(x+7)^2=13^2$；(3) $10x=(10-x)^2$
解析：
【分析】
本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题时先根据设出的未知数表示出其他相关量，再找准题干给出的等量关系代入即可：
（1）连续偶数的差为2，已知较小偶数为x，可先表示出较大的偶数，再根据“两数乘积为624”列方程；
（2）直角三角形满足勾股定理，已知较短直角边为x，先表示出较长直角边，再根据“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；
（3）已知木条总长10m，较短段长为x，先表示出较长段的长度，再根据“较短段长×全长=较长段长的平方”列方程。
【解析】
（1）设较小的偶数为x，相邻两个偶数相差2，因此较大的偶数为$x+2$，根据两个连续偶数的积是624，可列方程：$x(x+2)=624$；
（2）设较短的直角边长为$x$ cm，两条直角边相差7 cm，因此较长的直角边长为$(x+7)$ cm，根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），斜边长为13 cm，可列方程：$x^2+(x+7)^2=13^2$；
（3）设较短一段的长为$x$ m，木条总长为10 m，因此较长一段的长为$(10-x)$ m，根据“较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方”，可列方程：$10x=(10-x)^2$。
【答案】
(1) $x(x+2)=624$；(2) $x^2+(x+7)^2=13^2$；(3) $10x=(10-x)^2$
【知识点】
列一元二次方程；偶数的性质；勾股定理
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，核心是正确用未知数表示出关联量，精准匹配题干给出的等量关系，这类题型是后续学习一元二次方程实际应用的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题时先根据设出的未知数表示出其他相关量，再找准题干给出的等量关系代入即可：
（1）连续偶数的差为2，已知较小偶数为x，可先表示出较大的偶数，再根据“两数乘积为624”列方程；
（2）直角三角形满足勾股定理，已知较短直角边为x，先表示出较长直角边，再根据“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；
（3）已知木条总长10m，较短段长为x，先表示出较长段的长度，再根据“较短段长×全长=较长段长的平方”列方程。
【解析】
（1）设较小的偶数为x，相邻两个偶数相差2，因此较大的偶数为$x+2$，根据两个连续偶数的积是624，可列方程：$x(x+2)=624$；
（2）设较短的直角边长为$x$ cm，两条直角边相差7 cm，因此较长的直角边长为$(x+7)$ cm，根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），斜边长为13 cm，可列方程：$x^2+(x+7)^2=13^2$；
（3）设较短一段的长为$x$ m，木条总长为10 m，因此较长一段的长为$(10-x)$ m，根据“较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方”，可列方程：$10x=(10-x)^2$。
【答案】
(1) $x(x+2)=624$；(2) $x^2+(x+7)^2=13^2$；(3) $10x=(10-x)^2$
【知识点】
列一元二次方程；偶数的性质；勾股定理
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，核心是正确用未知数表示出关联量，精准匹配题干给出的等量关系，这类题型是后续学习一元二次方程实际应用的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 根据题意列出关于 $ x $ 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式（不必解方程）：
（1）一个矩形的面积是 $ 21 \ \mathrm{cm}^2 $，它的宽比长少 $ 4 \ \mathrm{cm} $，求这个矩形的宽 $ x $；
$\underline{\hspace{8cm}}$.
（2）在边长为 $ 20 \ \mathrm{cm} $ 的正方形纸片四角剪去四个边长都为 $ x \ \mathrm{cm} $ 的正方形，做成一个表面积为 $ 300 \ \mathrm{cm}^2 $ 的无盖纸盒，求剪去的小正方形的边长 $ x $.
$\underline{\hspace{8cm}}$.
（1）一个矩形的面积是 $ 21 \ \mathrm{cm}^2 $，它的宽比长少 $ 4 \ \mathrm{cm} $，求这个矩形的宽 $ x $；
$\underline{\hspace{8cm}}$.
（2）在边长为 $ 20 \ \mathrm{cm} $ 的正方形纸片四角剪去四个边长都为 $ x \ \mathrm{cm} $ 的正方形，做成一个表面积为 $ 300 \ \mathrm{cm}^2 $ 的无盖纸盒，求剪去的小正方形的边长 $ x $.
$\underline{\hspace{8cm}}$.
答案：7. (1) $x^2 +4x -21=0$；(2) $x^2 -25=0$
解析：
【分析】
（1）已知矩形的宽为$x$，由宽比长少$4\ \mathrm{cm}$可得长为$(x+4)\ \mathrm{cm}$，根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）无盖纸盒的表面积等于原正方形纸片的总面积减去四个剪去的小正方形的总面积，据此等量关系列方程，再化简为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
（1）设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+4)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：$x(x+4)=21$
展开并移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 +4x -21=0$
（2）原正方形纸片的面积为$20×20=400\ \mathrm{cm}^2$，四个剪去的小正方形总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据无盖纸盒表面积的等量关系列方程：$400-4x^2=300$
移项得$4x^2=100$，两边同时除以4整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 -25=0$
【答案】
（1）$x^2 +4x -21=0$；（2）$x^2 -25=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；图形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确找到题目中的等量关系，熟记常见图形的面积公式，整理方程时遵守整式运算和等式变形的规则，最终化为标准的一元二次方程一般形式即可。
【难度系数】
0.8
（1）已知矩形的宽为$x$，由宽比长少$4\ \mathrm{cm}$可得长为$(x+4)\ \mathrm{cm}$，根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）无盖纸盒的表面积等于原正方形纸片的总面积减去四个剪去的小正方形的总面积，据此等量关系列方程，再化简为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
（1）设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+4)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式列方程：$x(x+4)=21$
展开并移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 +4x -21=0$
（2）原正方形纸片的面积为$20×20=400\ \mathrm{cm}^2$，四个剪去的小正方形总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据无盖纸盒表面积的等量关系列方程：$400-4x^2=300$
移项得$4x^2=100$，两边同时除以4整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 -25=0$
【答案】
（1）$x^2 +4x -21=0$；（2）$x^2 -25=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；图形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题核心是准确找到题目中的等量关系，熟记常见图形的面积公式，整理方程时遵守整式运算和等式变形的规则，最终化为标准的一元二次方程一般形式即可。
【难度系数】
0.8
1. 若关于$x$的一元二次方程$(a+1)x^2 + x + a^2 -1 =0$的一个根是0，则$a$的值为（
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.0
A
）A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.0
答案：1. A
解析：
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解出a的所有可能值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
已知方程的一个根是0，将x=0代入原方程，得：
$(a+1)×0^2 + 0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
又因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
综上，$a$的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接错选C，解答此类题时要注意先明确题目中的隐含限制条件，再进行计算和取值筛选。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求解出a的所有可能值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值进行筛选，排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
已知方程的一个根是0，将x=0代入原方程，得：
$(a+1)×0^2 + 0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
又因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a+1≠0$，解得$a≠-1$。
综上，$a$的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接错选C，解答此类题时要注意先明确题目中的隐含限制条件，再进行计算和取值筛选。
【难度系数】
0.7
2. 已知$x^2 - 2x -5=0$的一个解为$a$，求代数式$a(2a-3)+a(1-a)$的值.
答案：2. 5
解析：
【分析】
本题是已知一元二次方程的根求代数式值的基础题型，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，把根a代入原方程，可得到关系式$a^2-2a=5$；第二步，先对所求代数式去括号、合并同类项完成化简，观察化简结果可发现其正好对应前面得到的$a^2-2a$，最后采用整体代入的方法计算即可，无需算出a的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 - 2x -5=0$的一个解
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2a -5=0$，即$a^2 - 2a=5$
化简所求代数式：
$\begin{aligned}a(2a-3)+a(1-a)&=2a^2 -3a +a -a^2\\&=a^2 -2a\end{aligned}$
将$a^2 -2a=5$代入化简后的式子，可得原式的值为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查对一元二次方程根的定义的理解和整式运算的能力，运用整体代入思想可避免求解a的具体值，降低运算量，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的根求代数式值的基础题型，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，把根a代入原方程，可得到关系式$a^2-2a=5$；第二步，先对所求代数式去括号、合并同类项完成化简，观察化简结果可发现其正好对应前面得到的$a^2-2a$，最后采用整体代入的方法计算即可，无需算出a的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 - 2x -5=0$的一个解
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2a -5=0$，即$a^2 - 2a=5$
化简所求代数式：
$\begin{aligned}a(2a-3)+a(1-a)&=2a^2 -3a +a -a^2\\&=a^2 -2a\end{aligned}$
将$a^2 -2a=5$代入化简后的式子，可得原式的值为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查对一元二次方程根的定义的理解和整式运算的能力，运用整体代入思想可避免求解a的具体值，降低运算量，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.8