【分析】
解题思路分三步：第一步根据平移规律“横坐标不变，纵坐标减3”求出线段MN的两个端点坐标；第二步计算抛物线经过M、N两个端点时对应的a的临界值；第三步结合二次函数开口向下、a的绝对值越大开口越窄的性质，分析不同a取值范围内抛物线与线段MN的交点个数，最终确定符合“只有一个公共点”的a的范围。
【解析】
1. 求线段MN的端点坐标：
线段AB向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减3，因此：
点$A(-1,-1)$平移后得$M(-1,-1-3)=(-1,-4)$，点$B(3,0)$平移后得$N(3,0-3)=(3,-3)$。
2. 计算抛物线过M、N时的临界a值：
① 当抛物线$y=ax^2+1$过$M(-1,-4)$时，代入得：$a×(-1)^2+1=-4$，解得$a=-5$；
② 当抛物线$y=ax^2+1$过$N(3,-3)$时，代入得：$a×3^2+1=-3$，解得$a=-\frac{4}{9}$。
3. 分析a的取值范围：
二次函数$y=ax^2+1(a＜0)$开口向下，a的绝对值越大，开口越窄：
若$a＜-5$：开口过窄，$x=-1$时$y=a+1＜-4$，$x=3$时$y=9a+1＜-3$，抛物线整体在MN下方，无交点，不符合；
若$a=-5$：抛物线过M点，联立抛物线与线段MN解析式可解得另一交点横坐标在$[-1,3]$内，有2个公共点，不符合；
若$-5＜a≤-\frac{4}{9}$：$x=-1$处抛物线$y=a+1＞-4$（在M点上方），$x=3$处抛物线$y=9a+1≤-3$（在N点下方或重合），此时抛物线与线段MN只有1个公共点，符合要求；
若$-\frac{4}{9}＜a＜0$：开口过宽，$x=3$处$y=9a+1＞-3$，$x=-1$处$y=a+1＞-4$，抛物线整体在MN上方，无交点，不符合。
综上，a的取值范围是$-5＜a≤-\frac{4}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；坐标平移；函数交点问题
【点评】
本题考查二次函数与线段交点的范围求解，核心是抓住平移后的端点临界值，结合二次函数开口变化规律分析交点个数，解题时要注意验证端点处的交点个数是否符合要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先明确顶点式各参数的含义：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，再逐一验证四个选项的正误，最后选出说法错误的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：二次函数$y=-2(x-3)^2$中，二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 选项B：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=h$，本题中$h=3$，所以对称轴是直线$x=3$，B说法正确，不符合题意；
3. 选项C：由于抛物线开口向下，顶点为图象最高点，顶点坐标为$(3,0)$，因此函数的最大值为0，C说法正确，不符合题意；
4. 选项D：求函数与y轴的交点时，令$x=0$，代入解析式得$y=-2×(0-3)^2=-18$，即函数与y轴交点为$(0,-18)$，二者是相交的，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数基础性质的常考题，需熟练掌握顶点式各参数对应的图象特征，掌握求函数与坐标轴交点的方法，解题时注意题干要求选择不正确的选项，避免粗心失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确题干给出的是二次函数的顶点式，需结合二次函数顶点式$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $的性质求解：第一步先确定参数$ a $的符号，判断开口方向；第二步将给定函数变形为标准顶点式的形式，匹配得到参数$ h、k $的取值，进而确定对称轴和顶点坐标，注意变形时不要弄错$ h $的符号。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $，其性质如下：
1. 当$ a＞0 $时，抛物线开口向上；当$ a＜0 $时，抛物线开口向下；
2. 对称轴为直线$ x=h $；
3. 顶点坐标为$ (h,k) $。
将题干中的函数$ y=-3(x+2)^2 $变形为标准顶点式：$ y=-3[x-(-2)]^2+0 $，可得$ a=-3＜0 $，$ h=-2 $，$ k=0 $。
因此：函数图象开口向下，对称轴是直线$ x=-2 $，顶点坐标为$ (-2,0) $。
【答案】
向下；直线$ x=-2 $；$ (-2,0) $
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数开口方向判断；二次函数对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，解题时$ h $的符号是易错点，熟练掌握性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题需要掌握二次函数图象平移的核心规律：①抛物线平移时，开口方向和大小不变，即二次项系数a保持不变；②左右平移遵循“左加右减”的原则，该原则是对自变量x单独进行操作：向左平移m个单位，就将原式中的x替换为(x+m)；向右平移n个单位，就将原式中的x替换为(x-n)。按照这个规律代入计算即可得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
1. 求$y=-5x^2$向左平移2个单位后的解析式：
平移不改变二次项系数，向左平移2个单位，将x替换为$x+2$，代入得：
$y=-5(x+2)^2$
2. 求$y=5x^2$向右平移4个单位后的解析式：
平移不改变二次项系数，向右平移4个单位，将x替换为$x-4$，代入得：
$y=5(x-4)^2$
【答案】
$y = - 5 ( x + 2 )^2$；$y = 5 ( x - 4 )^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“左加右减”平移原则的理解，注意平移操作是针对自变量x单独进行的，不要混淆加减方向即可轻松解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题思路如下：首先明确抛物线平移时，形状和开口方向不变，即二次项系数a保持不变，仅改变图象的位置；其次回忆平移口诀“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x本身进行操作：向左平移m个单位，就把原式中的x替换为x+m；向右平移m个单位，就把原式中的x替换为x-m。本题是向右平移5个单位，因此只需将原抛物线解析式中的x替换为x-5，再化简即可得到平移后的解析式。
【解析】
解：二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，且平移前后二次项系数a不变。
原抛物线解析式为$y=-5(x+6)^2$，将其向右平移5个单位，需将解析式中的$x$替换为$x-5$，代入得：
$y=-5[(x-5)+6]^2$
化简括号内的式子：$(x-5)+6=x+1$
因此平移后得到的抛物线解析式为$y=-5(x+1)^2$。
【答案】
$y=-5(x+1)^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是准确掌握平移规则，尤其要注意左右平移是对自变量x本身进行加减操作，不要混淆规律导致出错。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题需要绘制三个二次函数的图象并分析其性质，三个函数均为$y=a(x-h)^2$型的顶点式二次函数，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$均相等，仅横坐标平移参数$h$不同。解题思路如下：第一步先列表取值，优先选取各函数对称轴附近的整数$x$，代入解析式计算对应的$y$值，方便后续描点；第二步使用描点法作图，描出对应点后用平滑曲线顺次连接得到三条抛物线；第三步结合顶点式的性质，分别分析每个函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再根据开口方向和对称轴判断增减性和最值，也可结合绘制的图象验证性质是否正确。
【解析】
1. 列表：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$ | $\dots$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $18$ | $\dots$ |
| $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ | $\dots$ | $18$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $\dots$ |
2. 描点、连线：在平面直角坐标系中描出各组对应点，用平滑曲线顺次连接各点，得到三条开口向上的抛物线。
3. 性质分析：
（1）函数$y=\frac{1}{2}x^2$
开口方向：向上；
对称轴：直线$x=0$（y轴）；
顶点坐标：$(0,0)$；
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：当$x=0$时，$y$有最小值$0$，无最大值。
（2）函数$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$
开口方向：向上；
对称轴：直线$x=-2$；
顶点坐标：$(-2,0)$；
增减性：当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：当$x=-2$时，$y$有最小值$0$，无最大值。
（3）函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
开口方向：向上；
对称轴：直线$x=2$；
顶点坐标：$(2,0)$；
增减性：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：当$x=2$时，$y$有最小值$0$，无最大值。
【答案】
列表见解析，图象为三条开口向上的抛物线；
$y=\frac{1}{2}x^2$：开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标$(0,0)$，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，最小值为0，无最大值；
$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$：开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标$(-2,0)$，$x＜-2$时$y$随$x$增大而减小，$x＞-2$时$y$随$x$增大而增大，最小值为0，无最大值；
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$：开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标$(2,0)$，$x＜2$时$y$随$x$增大而减小，$x＞2$时$y$随$x$增大而增大，最小值为0，无最大值。
【知识点】
二次函数顶点式性质、描点法画函数图象、二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题，通过对比三个仅平移参数不同的二次函数，能加深对二次函数顶点式各参数意义的理解，掌握“左加右减”的平移规律，只要熟悉顶点式的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8