1. 在平面直角坐标系中，函数$y=-x+1$与$y=-\frac{3}{2}(x-1)^2$的图象大致是(
D
) 答案：1. D.
解析：
【分析】
解题时可采用排除法，先分别分析二次函数和一次函数的图象特征，再逐一筛选错误选项：第一步先根据二次函数的顶点式确定其顶点位置，排除顶点位置不符合的选项；第二步再根据一次函数的解析式确定其与坐标轴的交点，排除一次函数图象错误的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=-\frac{3}{2}(x-1)^2$的图象性质：
二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，即抛物线顶点在x轴正半轴上，且与x轴仅交于点$(1,0)$。观察选项，B、C中抛物线顶点在x轴负半轴，不符合特征，排除B、C。
2. 分析一次函数$y=-x+1$的图象性质：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此直线经过第一、二、四象限；令$y=0$，解得$x=1$，即直线与x轴交于点$(1,0)$；令$x=0$，解得$y=1$，即直线与y轴交于点$(0,1)$。观察剩余选项A、D：A中直线与x轴交于x轴负半轴，不符合一次函数交点特征，排除A。
3. 验证D选项：二次函数顶点、一次函数与x轴交点均为$(1,0)$，符合两个函数的所有图象特征，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；一次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象辨识的基础题型，解题核心是熟练掌握一次函数、二次函数的解析式与图象特征的对应关系，运用排除法可以快速得到结果，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时可采用排除法，先分别分析二次函数和一次函数的图象特征，再逐一筛选错误选项：第一步先根据二次函数的顶点式确定其顶点位置，排除顶点位置不符合的选项；第二步再根据一次函数的解析式确定其与坐标轴的交点，排除一次函数图象错误的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=-\frac{3}{2}(x-1)^2$的图象性质：
二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；该函数为顶点式，顶点坐标为$(1,0)$，即抛物线顶点在x轴正半轴上，且与x轴仅交于点$(1,0)$。观察选项，B、C中抛物线顶点在x轴负半轴，不符合特征，排除B、C。
2. 分析一次函数$y=-x+1$的图象性质：
一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=1＞0$，因此直线经过第一、二、四象限；令$y=0$，解得$x=1$，即直线与x轴交于点$(1,0)$；令$x=0$，解得$y=1$，即直线与y轴交于点$(0,1)$。观察剩余选项A、D：A中直线与x轴交于x轴负半轴，不符合一次函数交点特征，排除A。
3. 验证D选项：二次函数顶点、一次函数与x轴交点均为$(1,0)$，符合两个函数的所有图象特征，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；一次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题属于函数图象辨识的基础题型，解题核心是熟练掌握一次函数、二次函数的解析式与图象特征的对应关系，运用排除法可以快速得到结果，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=2(x-3)^2$，若$x$取$x_1,x_2$且$x_1≠x_2$时函数值$y_1=y_2$，则当$x=x_1+x_2$时，$y$的函数值为 （
A.0
B.3
C.18
D.20
C
）A.0
B.3
C.18
D.20
答案：2. C.
解析：
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数顶点式的对称性：对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其图象关于直线$x=h$对称，若两个不同自变量对应的函数值相等，则这两个自变量关于对称轴对称，即它们的平均数等于对称轴横坐标。据此我们可以先求出$x_1+x_2$的值，再代入函数计算对应的函数值即可。
【解析】
$\because$ 二次函数的解析式为$y=2(x-3)^2$
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=3$，开口向上
$\because$ 当$x$取$x_1,x_2$（$x_1≠ x_2$）时，函数值$y_1=y_2$
$\therefore$ $x_1$，$x_2$关于对称轴直线$x=3$对称
$\therefore$ $\frac{x_1+x_2}{2}=3$，解得$x_1+x_2=6$
将$x=6$代入$y=2(x-3)^2$得：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性，顶点式性质，函数值计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考察对二次函数对称性的理解，解题关键是熟练掌握顶点式二次函数对称轴的推导与应用，属于考试中常见的得分题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆二次函数顶点式的对称性：对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其图象关于直线$x=h$对称，若两个不同自变量对应的函数值相等，则这两个自变量关于对称轴对称，即它们的平均数等于对称轴横坐标。据此我们可以先求出$x_1+x_2$的值，再代入函数计算对应的函数值即可。
【解析】
$\because$ 二次函数的解析式为$y=2(x-3)^2$
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=3$，开口向上
$\because$ 当$x$取$x_1,x_2$（$x_1≠ x_2$）时，函数值$y_1=y_2$
$\therefore$ $x_1$，$x_2$关于对称轴直线$x=3$对称
$\therefore$ $\frac{x_1+x_2}{2}=3$，解得$x_1+x_2=6$
将$x=6$代入$y=2(x-3)^2$得：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性，顶点式性质，函数值计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考察对二次函数对称性的理解，解题关键是熟练掌握顶点式二次函数对称轴的推导与应用，属于考试中常见的得分题。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线$y=a(x-3)^2$过点$(2,-1)$。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
（4）从图象观察，当$x$取何值时，函数值$y$随$x$的增大而减小？
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
（4）从图象观察，当$x$取何值时，函数值$y$随$x$的增大而减小？
答案：3. (1) $y=-(x-3)^2$；
(2) 图略；
(3) 对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(4) $x＞3$.
(2) 图略；
(3) 对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(4) $x＞3$.
解析：
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知解析式为顶点式且过已知点，只需将点的坐标代入解析式，解关于a的一元一次方程求出a的值，即可得到完整解析式；
（2）画二次函数图像，可先根据顶点式确定顶点坐标、对称轴，再在对称轴两侧对称选取若干点计算对应函数值，描点后用平滑曲线连接即可；
（3）对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，直接对应解析式中h的取值即可得到结果；
（4）先根据a的正负判断抛物线开口方向，再结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向下时，对称轴右侧y随x的增大而减小，开口向上时规律相反。
【解析】
（1）将点$(2,-1)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$-1=a×(2-3)^2$
计算得$-1=a×1$，解得$a=-1$
因此抛物线的函数解析式为$y=-(x-3)^2$；
（2）①确定抛物线顶点为$(3,0)$，对称轴为直线$x=3$；
②取对称点：当$x=2$时$y=-1$，$x=4$时$y=-1$；$x=1$时$y=-4$，$x=5$时$y=-4$；
③在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到函数图象（图略）；
（3）由抛物线顶点式$y=-(x-3)^2$可得，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
（4）$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴右侧，即$x＞3$时，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
(1) $y=-(x-3)^2$；
(2) 图略；
(3) 对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(4) $x＞3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质，只要熟练掌握顶点式各参数的意义、二次函数图像画法和增减性规律就能快速解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
（1）求抛物线解析式时，已知解析式为顶点式且过已知点，只需将点的坐标代入解析式，解关于a的一元一次方程求出a的值，即可得到完整解析式；
（2）画二次函数图像，可先根据顶点式确定顶点坐标、对称轴，再在对称轴两侧对称选取若干点计算对应函数值，描点后用平滑曲线连接即可；
（3）对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，直接对应解析式中h的取值即可得到结果；
（4）先根据a的正负判断抛物线开口方向，再结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向下时，对称轴右侧y随x的增大而减小，开口向上时规律相反。
【解析】
（1）将点$(2,-1)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$-1=a×(2-3)^2$
计算得$-1=a×1$，解得$a=-1$
因此抛物线的函数解析式为$y=-(x-3)^2$；
（2）①确定抛物线顶点为$(3,0)$，对称轴为直线$x=3$；
②取对称点：当$x=2$时$y=-1$，$x=4$时$y=-1$；$x=1$时$y=-4$，$x=5$时$y=-4$；
③在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到函数图象（图略）；
（3）由抛物线顶点式$y=-(x-3)^2$可得，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
（4）$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴右侧，即$x＞3$时，函数值y随x的增大而减小。
【答案】
(1) $y=-(x-3)^2$；
(2) 图略；
(3) 对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(4) $x＞3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质，只要熟练掌握顶点式各参数的意义、二次函数图像画法和增减性规律就能快速解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
已知抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为$A$，抛物线与$y$轴交于点$B$，过点$B$作$x$轴的平行线交抛物线于另外一点$C$.
（1）求点$A$，$B$，$C$的坐标；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
（1）求点$A$，$B$，$C$的坐标；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案：
解:如图，
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为$A(5,0)$. 由$x=0$,则$y=5$,抛物线与$y$轴交点$B(0,5)$. 因为对称轴为直线$x=5$,所以点$C$的坐标为$(10,5)$.
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3) $\because AB=AC=5\sqrt{2},BC=10$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
解:如图，
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为$A(5,0)$. 由$x=0$,则$y=5$,抛物线与$y$轴交点$B(0,5)$. 因为对称轴为直线$x=5$,所以点$C$的坐标为$(10,5)$.
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3) $\because AB=AC=5\sqrt{2},BC=10$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
解析：
【分析】
本题围绕二次函数图像性质结合几何计算展开，解题思路如下：
（1）求点坐标：①顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，可直接得到A点坐标；②求y轴交点B，令$x=0$代入抛物线解析式计算y值即可；③BC平行x轴说明B、C纵坐标相同，结合抛物线对称轴的对称性即可求出C点坐标。
（2）求$△ ABC$面积：BC为平行于x轴的线段，长度为C、B横坐标的差，三角形的高为BC到x轴的距离，代入三角形面积公式计算即可。
（3）判断三角形形状：先通过勾股定理计算AB、AC、BC的长度，先判断是否为等腰三角形，再通过勾股定理逆定理判断是否存在直角，最终确定三角形形状。
【解析】
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$为顶点式，顶点A的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$代入解析式，得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此B点坐标为$(0,5)$；
抛物线对称轴为直线$x=5$，BC平行于x轴，B、C关于直线$x=5$对称，因此C点横坐标为$5+(5-0)=10$，纵坐标与B相同为5，即C点坐标为$(10,5)$。
(2) 线段BC的长度为$10-0=10$，点A到直线BC的距离为$5-0=5$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) 由勾股定理计算三边长度：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=5\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=5\sqrt{2}$，$BC=10$，
可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形；
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=100$，$BC^2=10^2=100$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，因此$∠ BAC=90°$，$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
解:如图，
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为$A(5,0)$. 由$x=0$,则$y=5$,抛物线与$y$轴交点$B(0,5)$. 因为对称轴为直线$x=5$,所以点$C$的坐标为$(10,5)$.
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3) $\because AB=AC=5\sqrt{2},BC=10$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
【知识点】
二次函数的图象性质，三角形面积计算，勾股定理及逆定理
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，既考察了二次函数顶点坐标、交点坐标、对称性等核心知识点，也考察了三角形面积计算和形状判定的基础几何能力，是该模块的典型入门题型。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数图像性质结合几何计算展开，解题思路如下：
（1）求点坐标：①顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，可直接得到A点坐标；②求y轴交点B，令$x=0$代入抛物线解析式计算y值即可；③BC平行x轴说明B、C纵坐标相同，结合抛物线对称轴的对称性即可求出C点坐标。
（2）求$△ ABC$面积：BC为平行于x轴的线段，长度为C、B横坐标的差，三角形的高为BC到x轴的距离，代入三角形面积公式计算即可。
（3）判断三角形形状：先通过勾股定理计算AB、AC、BC的长度，先判断是否为等腰三角形，再通过勾股定理逆定理判断是否存在直角，最终确定三角形形状。
【解析】
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$为顶点式，顶点A的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$代入解析式，得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此B点坐标为$(0,5)$；
抛物线对称轴为直线$x=5$，BC平行于x轴，B、C关于直线$x=5$对称，因此C点横坐标为$5+(5-0)=10$，纵坐标与B相同为5，即C点坐标为$(10,5)$。
(2) 线段BC的长度为$10-0=10$，点A到直线BC的距离为$5-0=5$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) 由勾股定理计算三边长度：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=5\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=5\sqrt{2}$，$BC=10$，
可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形；
又$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=100$，$BC^2=10^2=100$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，因此$∠ BAC=90°$，$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
解:如图，
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为$A(5,0)$. 由$x=0$,则$y=5$,抛物线与$y$轴交点$B(0,5)$. 因为对称轴为直线$x=5$,所以点$C$的坐标为$(10,5)$.
(2) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3) $\because AB=AC=5\sqrt{2},BC=10$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形.
【知识点】
二次函数的图象性质，三角形面积计算，勾股定理及逆定理
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，既考察了二次函数顶点坐标、交点坐标、对称性等核心知识点，也考察了三角形面积计算和形状判定的基础几何能力，是该模块的典型入门题型。
【难度系数】
0.7