已知抛物线 $ y_1 = a(x-1)^2 + 4 $ 与直线 $ y_2 = x+1 $ 的一个交点的横坐标是2.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 请在所给的平面直角坐标系中，画出函数 $ y_1 = a(x-1)^2 + 4 $ 与 $ y_2 = x+1 $ 的图象，并根据图象，直接写出 $ y_1 ≥ y_2 $ 时 $ x $ 的取值范围.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 请在所给的平面直角坐标系中，画出函数 $ y_1 = a(x-1)^2 + 4 $ 与 $ y_2 = x+1 $ 的图象，并根据图象，直接写出 $ y_1 ≥ y_2 $ 时 $ x $ 的取值范围.
答案：
解:(1) 当$x=2$时,$y_2=2+1=3$,所以交点的坐标为$(2,3)$,把交点坐标代入抛物线得,$a(2-1)^2+4=3$,解得$a=-1$.
(2) 函数图象如图所示,当$y_1≥y_2$时,$x$的取值范围为$-1≤x≤2$.
解:(1) 当$x=2$时,$y_2=2+1=3$,所以交点的坐标为$(2,3)$,把交点坐标代入抛物线得,$a(2-1)^2+4=3$,解得$a=-1$.
(2) 函数图象如图所示,当$y_1≥y_2$时,$x$的取值范围为$-1≤x≤2$.
解析：
【分析】
(1) 已知两个函数交点的横坐标为2，可先将x=2代入直线解析式求出对应的纵坐标，得到交点的完整坐标，再将交点坐标代入抛物线解析式，即可解出参数a的值。
(2) 画图像时，抛物线为顶点式，已知a=-1可得开口向下，顶点坐标为(1,4)，再找出抛物线与坐标轴的交点、与直线的交点等关键点描点连线；直线找两个点（如与x轴、y轴交点）描点连线即可。观察图像，y1≥y2对应抛物线图像在直线图像上方（含交点）的部分，读取该部分对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 把x=2代入直线解析式$y_2=x+1$，得$y_2=2+1=3$，因此两函数的交点坐标为$(2,3)$。
将$(2,3)$代入抛物线解析式$y_1=a(x-1)^2+4$，得：
$a×(2-1)^2+4=3$
化简得$a+4=3$，解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y_1=-(x-1)^2+4$，其顶点为$(1,4)$，开口向下，过点$(-1,0)$、$(0,3)$、$(2,3)$、$(3,0)$；直线$y_2=x+1$过点$(-1,0)$、$(0,1)$、$(2,3)$，描点连线画出图像。
观察图像可得，当抛物线在直线上方及两线交点处时，对应的x的取值范围是$-1≤x≤2$，即$y_1≥y_2$时x的取值范围为$-1≤x≤2$。
【答案】
(1) $a=-1$；
(2) 函数图象如下，$y_1≥y_2$时$x$的取值范围为$-1≤x≤2$。
【知识点】
二次函数参数求解；函数图像画法；数形结合解不等式
【点评】
本题侧重考查基础的二次函数性质应用，代入法求参数是常见基础考点，利用函数图像位置关系求解不等式体现了数形结合思想的应用，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 已知两个函数交点的横坐标为2，可先将x=2代入直线解析式求出对应的纵坐标，得到交点的完整坐标，再将交点坐标代入抛物线解析式，即可解出参数a的值。
(2) 画图像时，抛物线为顶点式，已知a=-1可得开口向下，顶点坐标为(1,4)，再找出抛物线与坐标轴的交点、与直线的交点等关键点描点连线；直线找两个点（如与x轴、y轴交点）描点连线即可。观察图像，y1≥y2对应抛物线图像在直线图像上方（含交点）的部分，读取该部分对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 把x=2代入直线解析式$y_2=x+1$，得$y_2=2+1=3$，因此两函数的交点坐标为$(2,3)$。
将$(2,3)$代入抛物线解析式$y_1=a(x-1)^2+4$，得：
$a×(2-1)^2+4=3$
化简得$a+4=3$，解得$a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y_1=-(x-1)^2+4$，其顶点为$(1,4)$，开口向下，过点$(-1,0)$、$(0,3)$、$(2,3)$、$(3,0)$；直线$y_2=x+1$过点$(-1,0)$、$(0,1)$、$(2,3)$，描点连线画出图像。
观察图像可得，当抛物线在直线上方及两线交点处时，对应的x的取值范围是$-1≤x≤2$，即$y_1≥y_2$时x的取值范围为$-1≤x≤2$。
【答案】
(1) $a=-1$；
(2) 函数图象如下，$y_1≥y_2$时$x$的取值范围为$-1≤x≤2$。
【知识点】
二次函数参数求解；函数图像画法；数形结合解不等式
【点评】
本题侧重考查基础的二次函数性质应用，代入法求参数是常见基础考点，利用函数图像位置关系求解不等式体现了数形结合思想的应用，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 对于二次函数$y=x^2 -4x +5$的图象，下列说法正确的是 （
A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.与$x$轴有两个交点
D.顶点坐标是$(2,1)$
D
）A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.与$x$轴有两个交点
D.顶点坐标是$(2,1)$
答案：1. D
解析：
【分析】
要解决这道题，我们需要结合二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质，逐一验证每个选项的正确性。首先明确函数中$a、b、c$的取值，再分别根据开口方向与$a$的关系、对称轴公式、根的判别式判断与x轴交点个数、顶点坐标的计算方法，逐个排查选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-4x+5$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=5$：
1. 判断选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，当$a＞0$时开口向上，本题$a=1＞0$，因此图象开口向上，A错误；
2. 判断选项B：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值可得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴是直线$x=2$，B错误；
3. 判断选项C：二次函数与x轴的交点个数由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，代入数值可得$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，因此函数图象与x轴没有交点，C错误；
4. 判断选项D：顶点的横坐标与对称轴一致为$x=2$，将$x=2$代入函数解析式得$y=2^2-4×2+5=1$，因此顶点坐标为$(2,1)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数基本性质，根的判别式，顶点与对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的基础知识点，属于常规基础题，只要熟练掌握相关公式，计算时注意符号不要出错，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要结合二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质，逐一验证每个选项的正确性。首先明确函数中$a、b、c$的取值，再分别根据开口方向与$a$的关系、对称轴公式、根的判别式判断与x轴交点个数、顶点坐标的计算方法，逐个排查选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-4x+5$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=5$：
1. 判断选项A：二次函数开口方向由$a$的符号决定，当$a＞0$时开口向上，本题$a=1＞0$，因此图象开口向上，A错误；
2. 判断选项B：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值可得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴是直线$x=2$，B错误；
3. 判断选项C：二次函数与x轴的交点个数由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，代入数值可得$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，因此函数图象与x轴没有交点，C错误；
4. 判断选项D：顶点的横坐标与对称轴一致为$x=2$，将$x=2$代入函数解析式得$y=2^2-4×2+5=1$，因此顶点坐标为$(2,1)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数基本性质，根的判别式，顶点与对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的基础知识点，属于常规基础题，只要熟练掌握相关公式，计算时注意符号不要出错，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=x^2 -2x -m^2$（$m$是常数）的顶点在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：2. D
解析：
【分析】
要判断抛物线顶点所在象限，首先需要求出顶点的横、纵坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断即可。求二次函数顶点坐标可以用配方法将一般式转化为顶点式，也可以直接用顶点坐标公式计算，两种方法都符合当前学段要求，算出坐标后判断横、纵坐标的正负，就能对应到所在象限。
【解析】
解法一：配方法
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-m^2=(x^2-2x+1)-1-m^2=(x-1)^2-(1+m^2)$
可得抛物线顶点坐标为$(1, -(1+m^2))$。
其中横坐标$1＞0$；
由于$m^2≥0$，因此$1+m^2≥1$，即纵坐标$-(1+m^2)≤-1＜0$。
横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此顶点在第四象限。
解法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1,b=-2,c=-m^2$，代入得：
横坐标：$-\frac{-2}{2×1}=1＞0$
纵坐标：$\frac{4×1×(-m^2)-(-2)^2}{4×1}=\frac{-4m^2-4}{4}=-m^2-1＜0$
横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此顶点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标，象限符号判断，配方法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点坐标的求解方法，以及平面直角坐标系中各象限点的符号特征，熟练掌握顶点坐标的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线顶点所在象限，首先需要求出顶点的横、纵坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断即可。求二次函数顶点坐标可以用配方法将一般式转化为顶点式，也可以直接用顶点坐标公式计算，两种方法都符合当前学段要求，算出坐标后判断横、纵坐标的正负，就能对应到所在象限。
【解析】
解法一：配方法
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-m^2=(x^2-2x+1)-1-m^2=(x-1)^2-(1+m^2)$
可得抛物线顶点坐标为$(1, -(1+m^2))$。
其中横坐标$1＞0$；
由于$m^2≥0$，因此$1+m^2≥1$，即纵坐标$-(1+m^2)≤-1＜0$。
横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此顶点在第四象限。
解法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1,b=-2,c=-m^2$，代入得：
横坐标：$-\frac{-2}{2×1}=1＞0$
纵坐标：$\frac{4×1×(-m^2)-(-2)^2}{4×1}=\frac{-4m^2-4}{4}=-m^2-1＜0$
横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此顶点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标，象限符号判断，配方法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点坐标的求解方法，以及平面直角坐标系中各象限点的符号特征，熟练掌握顶点坐标的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则$a,b,c$满足（
A.$a＜0,b＜0,c＜0$
B.$a＞0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＞0,c＞0$
D.$a＞0,b＜0,c＞0$
D
）A.$a＜0,b＜0,c＜0$
B.$a＞0,b＜0,c＜0$
C.$a＜0,b＞0,c＞0$
D.$a＞0,b＜0,c＞0$
答案：3. D
解析：
【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的符号，可按三步分析：①由抛物线开口方向判断$a$的符号：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；②由抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号：交点在$y$轴正半轴则$c＞0$，在负半轴则$c＜0$，过原点则$c=0$；③由对称轴的位置结合$a$的符号判断$b$的符号：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴在$y$轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a$的符号即可推出$b$的符号，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由图可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 判断$c$的符号：抛物线与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断$b$的符号：抛物线的对称轴在$y$轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＞0$，不等式两边同时乘$2a$（正数，不等号方向不变），可得$-b＞0$，即$b＜0$。
综上，$a＞0，b＜0，c＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口与$a$的关系
2. 二次函数与$y$轴交点和$c$的关系
3. 二次函数对称轴与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础题型，核心考查根据图象判断二次函数各项系数符号的能力，掌握“开口定$a$、$y$轴交点定$c$、对称轴位置结合$a$定$b$”的判断规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的符号，可按三步分析：①由抛物线开口方向判断$a$的符号：开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；②由抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号：交点在$y$轴正半轴则$c＞0$，在负半轴则$c＜0$，过原点则$c=0$；③由对称轴的位置结合$a$的符号判断$b$的符号：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴在$y$轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a$的符号即可推出$b$的符号，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由图可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 判断$c$的符号：抛物线与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断$b$的符号：抛物线的对称轴在$y$轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＞0$，不等式两边同时乘$2a$（正数，不等号方向不变），可得$-b＞0$，即$b＜0$。
综上，$a＞0，b＜0，c＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口与$a$的关系
2. 二次函数与$y$轴交点和$c$的关系
3. 二次函数对称轴与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础题型，核心考查根据图象判断二次函数各项系数符号的能力，掌握“开口定$a$、$y$轴交点定$c$、对称轴位置结合$a$定$b$”的判断规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
4. 若函数$y=-3x^2+12x+5$中，$y$随$x$的增大而增大，则$x$的取值范围是
$x＜2$
。答案：4. $x＜2$
解析：
【分析】
解决这道题的思路很清晰：首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，第一步先通过二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向；第二步利用对称轴公式计算出抛物线的对称轴；第三步结合开口方向判断y随x增大而增大的区间：开口向下的抛物线，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，据此即可求出x的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=-3x^2+12x+5$，
二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×(-3)}=2$，
因为开口向下的抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
所以当$x＜2$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$x＜2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是牢记开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题的思路很清晰：首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，第一步先通过二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向；第二步利用对称轴公式计算出抛物线的对称轴；第三步结合开口方向判断y随x增大而增大的区间：开口向下的抛物线，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，据此即可求出x的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=-3x^2+12x+5$，
二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×(-3)}=2$，
因为开口向下的抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
所以当$x＜2$时，y随x的增大而增大。
【答案】
$x＜2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是牢记开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 已知抛物线$y=x^2+(m-1)x-4$的顶点的横坐标是$-8$，则$m=$
$17$
。答案：5. 17
解析：
【分析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标等于其对称轴对应的x值，公式为$x=-\frac{b}{2a}$。本题已经给出顶点横坐标为-8，我们只需先确定抛物线解析式中a、b的对应取值，代入公式列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标（即对称轴）的计算公式为：
$x=-\frac{b}{2a}$
在抛物线$y=x^2+(m-1)x-4$中，$a=1$，$b=m-1$，已知顶点横坐标为$-8$，代入公式可得：
$-\frac{m-1}{2×1}=-8$
方程两边同时乘2，得：$-(m-1)=-16$
去括号、移项计算可得：$m=17$
【答案】
17
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数顶点横坐标（对称轴）公式的应用，只要熟练掌握公式，代入后正确求解一元一次方程即可得分。
【难度系数】
0.85
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标等于其对称轴对应的x值，公式为$x=-\frac{b}{2a}$。本题已经给出顶点横坐标为-8，我们只需先确定抛物线解析式中a、b的对应取值，代入公式列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标（即对称轴）的计算公式为：
$x=-\frac{b}{2a}$
在抛物线$y=x^2+(m-1)x-4$中，$a=1$，$b=m-1$，已知顶点横坐标为$-8$，代入公式可得：
$-\frac{m-1}{2×1}=-8$
方程两边同时乘2，得：$-(m-1)=-16$
去括号、移项计算可得：$m=17$
【答案】
17
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数顶点横坐标（对称轴）公式的应用，只要熟练掌握公式，代入后正确求解一元一次方程即可得分。
【难度系数】
0.85
6. 已知抛物线$y=-x^2+4x+m-2$的最大值为$-1$，则$m=$
$-3$
。答案：6. $-3$
解析：
【分析】
本题考查二次函数的最值相关知识，解题思路如下：首先观察二次项系数a=-1＜0，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；接下来可以通过配方法将函数解析式转化为顶点式，直接得到含m的最大值表达式，也可以利用顶点纵坐标公式求出最大值的表达式；最后令最大值等于-1，解关于m的一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x+m-2\\&=-(x^2-4x)+m-2\\&=-(x^2-4x+4-4)+m-2\\&=-(x-2)^2 + 4 + m -2\\&=-(x-2)^2 + m + 2\end{aligned}$
∵ 二次项系数-1＜0，
∴ 函数的最大值为顶点的纵坐标，即最大值为$m+2$。
根据题意函数最大值为-1，可得方程：
$m+2=-1$
解得：$m=-3$
方法二（顶点纵坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），当$a＜0$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=4$，$c=m-2$，代入得最大值为：
$\frac{4×(-1)×(m-2)-4^2}{4×(-1)}=\frac{-4m+8-16}{-4}=m+2$
由最大值为-1得：$m+2=-1$，解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数最值；配方法；一元一次方程求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，通过配方或顶点公式建立含参数的方程即可求解，计算量小，掌握基础性质就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值相关知识，解题思路如下：首先观察二次项系数a=-1＜0，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；接下来可以通过配方法将函数解析式转化为顶点式，直接得到含m的最大值表达式，也可以利用顶点纵坐标公式求出最大值的表达式；最后令最大值等于-1，解关于m的一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x+m-2\\&=-(x^2-4x)+m-2\\&=-(x^2-4x+4-4)+m-2\\&=-(x-2)^2 + 4 + m -2\\&=-(x-2)^2 + m + 2\end{aligned}$
∵ 二次项系数-1＜0，
∴ 函数的最大值为顶点的纵坐标，即最大值为$m+2$。
根据题意函数最大值为-1，可得方程：
$m+2=-1$
解得：$m=-3$
方法二（顶点纵坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），当$a＜0$时，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=4$，$c=m-2$，代入得最大值为：
$\frac{4×(-1)×(m-2)-4^2}{4×(-1)}=\frac{-4m+8-16}{-4}=m+2$
由最大值为-1得：$m+2=-1$，解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数最值；配方法；一元一次方程求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，通过配方或顶点公式建立含参数的方程即可求解，计算量小，掌握基础性质就能顺利作答。
【难度系数】
0.8