4. 如图，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点.
（1）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上移动到什么位置时，满足$S_{△ PAB}=8$？求出此时点P的坐标.
（1）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上移动到什么位置时，满足$S_{△ PAB}=8$？求出此时点P的坐标.
答案：4. (1) 对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) $(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$.
(2) $(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$.
解析：
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，我们可以先将两点坐标代入抛物线解析式，求出未知系数b、c，得到完整的函数表达式，再通过配方法或者对称轴、顶点坐标公式求解对应结果；也可以直接利用抛物线的对称性，对称轴为两个交点横坐标的平均值，计算更简便。
（2）△PAB的底AB是固定长度，先算出AB的长，再结合面积为8的条件，可求出点P纵坐标的绝对值，分纵坐标为正、为负两种情况，代入抛物线解析式求解对应的横坐标，即可得到P点的所有符合条件的坐标，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$过$A(-1,0)$、$B(3,0)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}1-b+c=0 \\9+3b+c=0 \end{cases}$
两式相减得$8+4b=0$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$1-b+c=0$，解得$c=-3$。
∴抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$，配方得$y=(x-1)^2-4$。
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
（2）首先计算AB的长度：$AB=3-(-1)=4$。
设点P的纵坐标为$m$，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× |m|=8$，代入$AB=4$得：
$\frac{1}{2}×4×|m|=8$，解得$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$。
①当$m=4$时，代入抛物线解析式得$x^2-2x-3=4$，整理为$x^2-2x-7=0$，由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$，对应P点坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$、$(1-2\sqrt{2},4)$。
②当$m=-4$时，代入抛物线解析式得$x^2-2x-3=-4$，整理为$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，对应P点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) $(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了二次函数基本参数的求解和动点面积问题，解题的核心是抓住定底三角形的面积仅与动点到x轴的距离有关，求解时注意分类讨论纵坐标的正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，我们可以先将两点坐标代入抛物线解析式，求出未知系数b、c，得到完整的函数表达式，再通过配方法或者对称轴、顶点坐标公式求解对应结果；也可以直接利用抛物线的对称性，对称轴为两个交点横坐标的平均值，计算更简便。
（2）△PAB的底AB是固定长度，先算出AB的长，再结合面积为8的条件，可求出点P纵坐标的绝对值，分纵坐标为正、为负两种情况，代入抛物线解析式求解对应的横坐标，即可得到P点的所有符合条件的坐标，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$过$A(-1,0)$、$B(3,0)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}1-b+c=0 \\9+3b+c=0 \end{cases}$
两式相减得$8+4b=0$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$1-b+c=0$，解得$c=-3$。
∴抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$，配方得$y=(x-1)^2-4$。
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
（2）首先计算AB的长度：$AB=3-(-1)=4$。
设点P的纵坐标为$m$，根据三角形面积公式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× |m|=8$，代入$AB=4$得：
$\frac{1}{2}×4×|m|=8$，解得$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$。
①当$m=4$时，代入抛物线解析式得$x^2-2x-3=4$，整理为$x^2-2x-7=0$，由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$，对应P点坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$、$(1-2\sqrt{2},4)$。
②当$m=-4$时，代入抛物线解析式得$x^2-2x-3=-4$，整理为$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，对应P点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) $(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了二次函数基本参数的求解和动点面积问题，解题的核心是抓住定底三角形的面积仅与动点到x轴的距离有关，求解时注意分类讨论纵坐标的正负情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
在平面直角坐标系中,二次函数的表达式为 $ y=-x^2+(m-1)x+m $.
(1) 若二次函数的图象过点$(1,4)$.
① 求该二次函数的表达式；
② 当$-1≤ x≤ 2$时,此二次函数的最大值为$ p$,最小值为$ q$,求$ p-q$的值.
(2) 已知线段$ AB $的两个端点坐标分别为$ A(-1,0),B(3,0)$,当二次函数的图象与线段$ AB $有两个交点时,求$ m $的取值范围.
(1) 若二次函数的图象过点$(1,4)$.
① 求该二次函数的表达式；
② 当$-1≤ x≤ 2$时,此二次函数的最大值为$ p$,最小值为$ q$,求$ p-q$的值.
(2) 已知线段$ AB $的两个端点坐标分别为$ A(-1,0),B(3,0)$,当二次函数的图象与线段$ AB $有两个交点时,求$ m $的取值范围.
答案：解:(1) ① 把$x=1,y=4$代入,$4=-1+(m-1)+m,2m-2=4,\therefore m=3,\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
② $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,对称轴为直线$x=1$,开口向下,$x=1$时,$p=4$;$x=-1$时,$y=-1-2+3=0$;$x=2$时,$y=-4+4+3=3$,$\therefore q=0$,$\therefore p-q=4-0=4$.
(2) $y=-x^2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m)$,恒过定点$A(-1,0)$,且与$x$轴另一公共点为$(m,0)$.根据题意,要求另一交点落在线段$AB$上,则$-1＜m≤3$.
② $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,对称轴为直线$x=1$,开口向下,$x=1$时,$p=4$;$x=-1$时,$y=-1-2+3=0$;$x=2$时,$y=-4+4+3=3$,$\therefore q=0$,$\therefore p-q=4-0=4$.
(2) $y=-x^2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m)$,恒过定点$A(-1,0)$,且与$x$轴另一公共点为$(m,0)$.根据题意,要求另一交点落在线段$AB$上,则$-1＜m≤3$.
解析：
【分析】
(1)①已知二次函数图象过定点，将点的横纵坐标代入函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，即可得到二次函数的表达式。
(1)②先将求得的二次函数解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再结合给定的x的取值范围，判断出最大值、最小值对应的x取值，分别计算p、q后即可求出p-q的值。
(2)先将二次函数解析式因式分解，找到其与x轴的两个交点坐标，可发现函数恒过点A(-1,0)，要使函数图象与线段AB有两个交点，只需另一个x轴交点落在线段AB上且不与A重合，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)①把$x=1,y=4$代入二次函数表达式$y=-x^2+(m-1)x+m$，得：
$4=-1+(m-1)+m$
整理得$2m-2=4$，解得$m=3$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$
②将$y=-x^2+2x+3$化为顶点式：$y=-(x-1)^2+4$
可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$
∵$x=1$在区间$[-1,2]$内，
∴当$x=1$时，函数取最大值$p=4$
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)+3=0$
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$
比较得最小值$q=0$
∴$p-q=4-0=4$
(2)将二次函数解析式因式分解：$y=-x^2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m)$
令$y=0$，解得$x=-1$或$x=m$，即抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(m,0)$，可知抛物线恒过点$A(-1,0)$
线段AB的端点为$A(-1,0)$、$B(3,0)$，要使抛物线与线段AB有两个交点，则另一个交点$(m,0)$需落在线段AB上，且不与A点重合
∴$-1＜m≤3$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；②$\boldsymbol{4}$；(2)$\boldsymbol{-1＜ m≤ 3}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数区间最值；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了代入法求函数解析式、利用顶点式求给定区间最值、函数与线段交点的范围判断，解题时要注意结合函数图象性质分析，尤其是区间最值要优先判断对称轴与区间的位置关系，交点范围求解时要注意端点是否符合题意，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)①已知二次函数图象过定点，将点的横纵坐标代入函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，即可得到二次函数的表达式。
(1)②先将求得的二次函数解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再结合给定的x的取值范围，判断出最大值、最小值对应的x取值，分别计算p、q后即可求出p-q的值。
(2)先将二次函数解析式因式分解，找到其与x轴的两个交点坐标，可发现函数恒过点A(-1,0)，要使函数图象与线段AB有两个交点，只需另一个x轴交点落在线段AB上且不与A重合，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)①把$x=1,y=4$代入二次函数表达式$y=-x^2+(m-1)x+m$，得：
$4=-1+(m-1)+m$
整理得$2m-2=4$，解得$m=3$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$
②将$y=-x^2+2x+3$化为顶点式：$y=-(x-1)^2+4$
可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$
∵$x=1$在区间$[-1,2]$内，
∴当$x=1$时，函数取最大值$p=4$
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)+3=0$
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$
比较得最小值$q=0$
∴$p-q=4-0=4$
(2)将二次函数解析式因式分解：$y=-x^2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m)$
令$y=0$，解得$x=-1$或$x=m$，即抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(m,0)$，可知抛物线恒过点$A(-1,0)$
线段AB的端点为$A(-1,0)$、$B(3,0)$，要使抛物线与线段AB有两个交点，则另一个交点$(m,0)$需落在线段AB上，且不与A点重合
∴$-1＜m≤3$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；②$\boldsymbol{4}$；(2)$\boldsymbol{-1＜ m≤ 3}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数区间最值；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了代入法求函数解析式、利用顶点式求给定区间最值、函数与线段交点的范围判断，解题时要注意结合函数图象性质分析，尤其是区间最值要优先判断对称轴与区间的位置关系，交点范围求解时要注意端点是否符合题意，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -\dfrac{3}{2}$ 与 $x$ 轴的交点个数是
2个
。答案：1. 2个.
解析：
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的解，因此交点个数由一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。解题时先从抛物线解析式中提取a、b、c的值，代入判别式计算，根据结果符号即可判断交点个数。
【解析】
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -\dfrac{3}{2}$，令$y=0$，得到一元二次方程：
$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -\dfrac{3}{2}=0$
其中二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-\dfrac{3}{2}$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=(-2)^2 - 4×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{3}{2})$
$=4 - 3=1＞0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
【答案】
2个
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与抛物线和x轴交点个数的对应关系，熟练掌握该对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的解，因此交点个数由一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号决定：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。解题时先从抛物线解析式中提取a、b、c的值，代入判别式计算，根据结果符号即可判断交点个数。
【解析】
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -\dfrac{3}{2}$，令$y=0$，得到一元二次方程：
$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -\dfrac{3}{2}=0$
其中二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-\dfrac{3}{2}$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac=(-2)^2 - 4×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{3}{2})$
$=4 - 3=1＞0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
【答案】
2个
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与抛物线和x轴交点个数的对应关系，熟练掌握该对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=a(x-5)(x+3)$与$x$轴的交点坐标为
(5,0),(-3,0)
.答案：2. (5,0),(-3,0).
解析：
【分析】
要确定抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，求解对应的x的值，所得的x即为交点的横坐标，纵坐标为0。本题给出的抛物线是交点式，求解对应方程时可直接利用因式分解法快速得到根。
【解析】
∵x轴上的点的纵坐标为0，
∴求抛物线$y=a(x-5)(x+3)$与x轴的交点时，令$y=0$，代入解析式得：
$a(x-5)(x+3)=0$
∵该函数是抛物线，
∴二次项系数$a≠0$，等式两边同时除以a，得：
$(x-5)(x+3)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(5,0)$，$(-3,0)$
【答案】
(5,0),(-3,0)
【知识点】
x轴上点的坐标特征；二次函数与x轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征和二次函数交点式的特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，求解对应的x的值，所得的x即为交点的横坐标，纵坐标为0。本题给出的抛物线是交点式，求解对应方程时可直接利用因式分解法快速得到根。
【解析】
∵x轴上的点的纵坐标为0，
∴求抛物线$y=a(x-5)(x+3)$与x轴的交点时，令$y=0$，代入解析式得：
$a(x-5)(x+3)=0$
∵该函数是抛物线，
∴二次项系数$a≠0$，等式两边同时除以a，得：
$(x-5)(x+3)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-3$
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(5,0)$，$(-3,0)$
【答案】
(5,0),(-3,0)
【知识点】
x轴上点的坐标特征；二次函数与x轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征和二次函数交点式的特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 抛物线 $ y=2x^2 +7x +m $ 与x轴只有一个公共点，则 $ m= $
$\dfrac{49}{8}$
.答案：3. $\dfrac{49}{8}$.
解析：
【分析】
要解决抛物线与x轴交点个数的问题，需将二次函数和对应的一元二次方程结合分析。抛物线与x轴的公共点个数，等价于令y=0得到的一元二次方程的实根个数。本题中抛物线和x轴只有1个公共点，说明对应方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0，代入对应系数列方程求解m即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线 $ y=2x^2 +7x +m $ 与x轴只有一个公共点
∴ 令 $ y=0 $ 时，一元二次方程 $ 2x^2 +7x +m = 0 $ 有两个相等的实数根
∴ 根的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $
在方程 $ 2x^2 +7x +m = 0 $ 中，$ a=2 $，$ b=7 $，$ c=m $，代入判别式得：
$ 7^2 - 4×2× m = 0 $
$ 49 - 8m = 0 $
解得 $ m = \frac{49}{8} $
【答案】
$\dfrac{49}{8}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数相关的基础常考题型，解题核心是掌握抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记“只有一个公共点即Δ=0”的结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线与x轴交点个数的问题，需将二次函数和对应的一元二次方程结合分析。抛物线与x轴的公共点个数，等价于令y=0得到的一元二次方程的实根个数。本题中抛物线和x轴只有1个公共点，说明对应方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0，代入对应系数列方程求解m即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线 $ y=2x^2 +7x +m $ 与x轴只有一个公共点
∴ 令 $ y=0 $ 时，一元二次方程 $ 2x^2 +7x +m = 0 $ 有两个相等的实数根
∴ 根的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $
在方程 $ 2x^2 +7x +m = 0 $ 中，$ a=2 $，$ b=7 $，$ c=m $，代入判别式得：
$ 7^2 - 4×2× m = 0 $
$ 49 - 8m = 0 $
解得 $ m = \frac{49}{8} $
【答案】
$\dfrac{49}{8}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数相关的基础常考题型，解题核心是掌握抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记“只有一个公共点即Δ=0”的结论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 若二次函数$y=x^2 - 2x + m$的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是
$m＜1$
。答案：4. $m＜1$.
解析：
【分析】
遇到二次函数图象与x轴交点个数的问题，可结合二次函数与一元二次方程的关系求解：第一步，二次函数图象与x轴的交点对应y=0时的一元二次方程的根，图象有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根；第二步，一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0；第三步，代入方程对应系数得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2x + m$的图象与x轴有两个交点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2 - 2x + m=0$有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，此时$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$
代入判别式得：$(-2)^2 - 4 × 1 × m ＞ 0$
化简计算：$4 - 4m ＞ 0$
移项、系数化为1得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定 2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考点题型，重点考察二次函数与一元二次方程的对应关联，只要牢记判别式取值和方程根的个数、二次函数与x轴交点个数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到二次函数图象与x轴交点个数的问题，可结合二次函数与一元二次方程的关系求解：第一步，二次函数图象与x轴的交点对应y=0时的一元二次方程的根，图象有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根；第二步，一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＞0；第三步，代入方程对应系数得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2x + m$的图象与x轴有两个交点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2 - 2x + m=0$有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，此时$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$
代入判别式得：$(-2)^2 - 4 × 1 × m ＞ 0$
化简计算：$4 - 4m ＞ 0$
移项、系数化为1得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定 2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础考点题型，重点考察二次函数与一元二次方程的对应关联，只要牢记判别式取值和方程根的个数、二次函数与x轴交点个数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8