【分析】
这是一道结合实际情境的增长率列方程问题，解题思路如下：首先回忆增长率问题的基本计算规律：若初始数值为a，年均增长率为x，则经过n年增长后的最终数值为$a(1+x)^n$。解题时先找准对应量：初始GDP为99亿元，增长率为x，增长时间是3年，最终GDP为125亿元，注意题干中“三年后该镇GDP约达125亿元”指的是增长3年后的单年GDP数值，不是三年GDP的总和，代入公式即可列出方程。
【解析】
已知2025年该镇初始GDP为99亿元，年增长率为$x$：
1. 增长1年后的GDP为：$99(1+x)$亿元；
2. 增长2年后的GDP为：$99(1+x) × (1+x) = 99(1+x)^2$亿元；
3. 增长3年后的GDP为：$99(1+x)^2 × (1+x) = 99(1+x)^3$亿元。
根据题意，三年后GDP为125亿元，因此可列方程：$99(1+x)^3=125$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 增长率问题
2. 实际问题列方程
【点评】
本题属于增长率问题的基础考查题，易错点是容易错判增长的年数、或是将最终GDP误认为是三年GDP的总和选错D选项，掌握增长后量的计算规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题有两种思路：思路一，先将方程变形为标准一元二次方程形式，用直接开平方法求出两个根，再相加即可；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接代入两根之和公式计算，更简便。观察方程$x^2=57$没有一次项，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
先将方程整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - 57 = 0$。
方法1：直接开平方法求解
对$x^2=57$开平方得：$x = \pm\sqrt{57}$，即两根为$x_1=\sqrt{57}$，$x_2=-\sqrt{57}$。
则$x_1+x_2 = \sqrt{57} + (-\sqrt{57}) = 0$。
方法2：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=0$，代入得：$x_1+x_2=-\frac{0}{1}=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的和的计算，两种解法都容易掌握，解题时注意不要漏记负根即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
观察方程的结构，含有$(x-1)$的平方项，无单独的一次项，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先将常数项移到等号右侧，再将平方项的系数化为1，然后对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，最后分别求解即可得到原方程的根，注意开平方后要保留正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：原方程移项，得
$3(x-1)^2=27$
两边同时除以3，得
$(x-1)^2=9$
开平方，得
$x-1=\pm 3$
即$x-1=3$或$x-1=-3$
分别解得：
当$x-1=3$时，$x=4$；
当$x-1=-3$时，$x=-2$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，选择直接开平方法可简化计算，解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，避免因漏掉负根导致出错。
【难度系数】
0.85

【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。我们将给定的二次三项式$x^2+4x+m$和完全平方式的结构做对应：平方项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；一次项$4x$对应$2ab$（这里符号为正），代入$a=x$可求出$b$的值，最后常数项$m$对应$b^2$，计算即可得到$m$的取值。
【解析】
根据完全平方公式：$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$，
对比二次三项式$x^2+4x+m$，可得一次项系数满足：$2b=4$，
解得$b=2$，
则常数项$m=b^2=2^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方式结构的理解，解题的关键是准确找到完全平方式各部分和给定多项式的对应关系，熟练掌握完全平方公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

【分析】
这6道一元二次方程都可整理为$A^2=B$（$B≥0$）的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将含未知数的平方项单独放在等号一侧，常数项放在另一侧，再根据平方根的性质对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意不要漏解负根。
【解析】
(1) 系数化为1，得$x^2=\frac{1}{9}$，
开平方，得$x=\pm\frac{1}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{3}$；
(2) 移项，得$81x^2=1$，
系数化为1，得$x^2=\frac{1}{81}$，
开平方，得$x=\pm\frac{1}{9}$，
$\therefore x_1=\frac{1}{9},x_2=-\frac{1}{9}$；
(3) 移项，得$(x-2)^2=25$，
开平方，得$x-2=\pm5$，
即$x-2=5$或$x-2=-5$，
解得$x_1=7,x_2=-3$；
(4) 系数化为1，得$(x-1)^2=1.44$，
开平方，得$x-1=\pm1.2$，
即$x-1=1.2$或$x-1=-1.2$，
解得$x_1=2.2,x_2=-0.2$；
(5) 移项，得$3(2x+3)^2=75$，
系数化为1，得$(2x+3)^2=25$，
开平方，得$2x+3=\pm5$，
即$2x+3=5$或$2x+3=-5$，
解得$x_1=1,x_2=-4$；
(6) 开平方，得$x+\sqrt{2}=\pm(1-\sqrt{2})$，
即$x+\sqrt{2}=1-\sqrt{2}$或$x+\sqrt{2}=-(1-\sqrt{2})$，
分别解得$x_1=1-2\sqrt{2},x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{3}$；
(2) $x_1=-\frac{1}{9},x_2=\frac{1}{9}$；
(3) $x_1=7,x_2=-3$；
(4) $x_1=2.2,x_2=-0.2$；
(5) $x_1=1,x_2=-4$；
(6) $x_1=-1,x_2=1-2\sqrt{2}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件和操作步骤，解题时注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题思路如下：第一步，利用直接开平方法分别求出两个一元二次方程的根，得到a、b的所有可能取值；第二步，估算$\sqrt{19}$的大致范围，判断a、b每个可能取值的正负性；第三步，根据$ab＜0$即a、b异号的条件，筛选出符合要求的a、b组合；第四步，将符合条件的a、b代入计算$a+b$的值，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 求解a的可能值：
对方程$(x-\sqrt{19})^2=81$开平方，得$x-\sqrt{19}=\pm9$，
移项得$x=\sqrt{19}\pm9$，即$a_1=\sqrt{19}+9$，$a_2=\sqrt{19}-9$。
∵$4＜\sqrt{19}＜5$，
∴$a_1=\sqrt{19}+9＞0$，$a_2=\sqrt{19}-9＜0$。
2. 求解b的可能值：
对方程$(y-4)^2=19$开平方，得$y-4=\pm\sqrt{19}$，
移项得$y=4\pm\sqrt{19}$，即$b_1=4+\sqrt{19}$，$b_2=4-\sqrt{19}$。
同理可得$b_1=4+\sqrt{19}＞0$，$b_2=4-\sqrt{19}＜0$。
3. 根据$ab＜0$分类讨论：
① 当a为正、b为负时：$a=\sqrt{19}+9$，$b=4-\sqrt{19}$，
则$a+b=(\sqrt{19}+9)+(4-\sqrt{19})=13$。
② 当a为负、b为正时：$a=\sqrt{19}-9$，$b=4+\sqrt{19}$，
则$a+b=(\sqrt{19}-9)+(4+\sqrt{19})=2\sqrt{19}-5=-5+2\sqrt{19}$。
综上，$a+b$的值为13或$-5+2\sqrt{19}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 代数式求值
3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程，注意开平方后存在正负两个根，需要结合题目给出的$ab＜0$的限制条件分类讨论，筛选出符合要求的根后代入计算，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题要求将二次三项式化为指定的完全平方式加常数的形式，核心考查配方法的运用。解题思路如下：首先明确配方法的规则，当二次项系数为1时，只需加上一次项系数一半的平方，再减去这个数保证代数式的值不变，将含x的项凑成完全平方形式，之后对比形式得到m和k的值，最后计算m+k即可。
【解析】
对代数式$x^2 - 2x - 3$进行配方：
第一步，处理含x的二次项和一次项：
$x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$
（一次项系数为-2，一半为-1，平方为1，因此加1再减1，保证代数式值不变）
第二步，将凑出的式子写成完全平方形式，合并常数项：
$=(x - 1)^2 - 4$
对比$(x - m)^2 + k$的形式，可得$m=1$，$k=-4$。
因此$m + k = 1 + (-4) = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，配方时注意增减相同的常数保证代数式的值不变，避免常数项计算出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断接力中哪位同学出错，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤，依次核对四位同学的计算：首先回忆配方法的核心步骤为移项、二次项系数化为1、配方、开方求解，逐个验证每一步的等式变形是否符合等式的基本性质即可。
【解析】
我们逐一对四位同学的步骤进行验证：
1. 验证甲的步骤：原方程为$2x^2+4x-1=0$，移项将常数项移到等号右侧，变号后得$2x^2+4x=1$，甲的计算正确。
2. 验证乙的步骤：接甲的结果$2x^2+4x=1$，要将二次项系数化为1，需给等式左右两边同时除以2，左边化简为$x^2+2x$，右边应得$\frac{1}{2}$，即正确结果为$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙漏给右侧除以2，写成了$x^2+2x=1$，因此乙的计算错误。
3. 验证丙的步骤：接乙给出的错误结果$x^2+2x=1$，配方时给等式两边同时加1，左边凑完全平方得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，右边为$1+1=2$，即$(x+1)^2=2$，丙的计算（基于乙的结果）是正确的。
4. 验证丁的步骤：接丙的结果$(x+1)^2=2$，开平方得$x+1=\pm\sqrt{2}$，移项后得$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$，丁的计算（基于丙的结果）是正确的。
综上，出现错误的同学是乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题核心考查配方法解方程的规范步骤，易错点是将二次项系数化为1时，漏给常数项除以二次项系数，解题时要注意等式变形时左右两边需进行相同运算，保证等式始终成立。
【难度系数】
0.8