已知:由函数$y=x^2-2x-2$的图象知道,当$x=0$时,$y＜0$,当$x=-1$时,$y＞0$,所以方程$x^2-2x-2=0$有一个根在-1和0之间.
(1) 参考上面的方法,求方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在哪两个连续整数之间;
(2) 若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间,求$c$的取值范围.
(1) 参考上面的方法,求方程$x^2-2x-2=0$的另一个根在哪两个连续整数之间;
(2) 若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间,求$c$的取值范围.
答案：解:(1) 利用函数$y=x^2-2x-2$的图象可知,当$x=2$时,$y＜0$,当$x=3$时,$y＞0$,所以方程的另一个根在2和3之间. (2) 函数$y=x^2-2x+c$的图象的对称轴为直线$x=1$,由题意,得$\begin{cases} c＞0, \\ 1-2+c＜0, \end{cases}$解得$0＜c＜1$.
解析：
【分析】
（1）要找方程$x^2-2x-2=0$的另一个根所在的连续整数区间，可参考题中给出的方法：计算二次函数$y=x^2-2x-2$在两个连续整数处的函数值，若两个函数值异号，说明这两个整数之间必有一个$x$使得$y=0$，即方程的根在此区间内。结合二次函数对称轴为直线$x=1$，已知一个根在-1和0之间，可推测另一个根在对称轴右侧2到3附近，代入计算验证即可。
（2）对于方程$x^2-2x+c=0$有根在0和1之间的问题，先对应到二次函数$y=x^2-2x+c$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间0到1上函数单调递减。若区间内存在根，则端点处的函数值必然异号，据此列出关于$c$的不等式组，求解即可得到$c$的取值范围。
【解析】
（1）对于二次函数$y=x^2-2x-2$：
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$。
根据二次函数的连续性，当两个连续整数处的函数值异号时，方程$x^2-2x-2=0$的根在这两个整数之间，因此方程的另一个根在2和3之间。
（2）设二次函数$y=x^2-2x+c$，其图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，因此在$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则函数$y=x^2-2x+c$在$x=0$和$x=1$处的函数值异号，即：
$\begin{cases}当x=0时，y=0^2-2×0+c＞0 \\当x=1时，y=1^2-2×1+c＜0\end{cases}$
整理得$\begin{cases}c＞0 \\ 1-2+c＜0\end{cases}$，解得$0＜c＜1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；(2) $0＜c＜1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值符号判断对应一元二次方程根的分布区间，解题核心是理解连续的二次函数在区间端点处函数值异号时，区间内必有对应方程的根，结合二次函数的对称轴、增减性分析可快速定位计算的区间端点，同时需要掌握不等式组的求解方法来确定参数范围。
【难度系数】
0.7
（1）要找方程$x^2-2x-2=0$的另一个根所在的连续整数区间，可参考题中给出的方法：计算二次函数$y=x^2-2x-2$在两个连续整数处的函数值，若两个函数值异号，说明这两个整数之间必有一个$x$使得$y=0$，即方程的根在此区间内。结合二次函数对称轴为直线$x=1$，已知一个根在-1和0之间，可推测另一个根在对称轴右侧2到3附近，代入计算验证即可。
（2）对于方程$x^2-2x+c=0$有根在0和1之间的问题，先对应到二次函数$y=x^2-2x+c$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此在区间0到1上函数单调递减。若区间内存在根，则端点处的函数值必然异号，据此列出关于$c$的不等式组，求解即可得到$c$的取值范围。
【解析】
（1）对于二次函数$y=x^2-2x-2$：
当$x=2$时，$y=2^2-2×2-2=-2＜0$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-2=1＞0$。
根据二次函数的连续性，当两个连续整数处的函数值异号时，方程$x^2-2x-2=0$的根在这两个整数之间，因此方程的另一个根在2和3之间。
（2）设二次函数$y=x^2-2x+c$，其图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，因此在$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小。
若方程$x^2-2x+c=0$有一个根在0和1之间，则函数$y=x^2-2x+c$在$x=0$和$x=1$处的函数值异号，即：
$\begin{cases}当x=0时，y=0^2-2×0+c＞0 \\当x=1时，y=1^2-2×1+c＜0\end{cases}$
整理得$\begin{cases}c＞0 \\ 1-2+c＜0\end{cases}$，解得$0＜c＜1$。
【答案】
(1) 方程的另一个根在2和3之间；(2) $0＜c＜1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值符号判断对应一元二次方程根的分布区间，解题核心是理解连续的二次函数在区间端点处函数值异号时，区间内必有对应方程的根，结合二次函数的对称轴、增减性分析可快速定位计算的区间端点，同时需要掌握不等式组的求解方法来确定参数范围。
【难度系数】
0.7
1. 有一长方形条幅，长为2 m，宽为1 m，四周镶上宽度均为x(m)的花边，则剩余面积 S(m²)与花边宽度 x(m)之间的函数关系式为
S=4x²−6x+2
，自变量x的取值范围为0＜x＜1/2
。答案：1. S=4x²−6x+2；自变量x的取值范围为0＜x＜1/2。
解析：
【分析】
解题时首先明确剩余部分为长方形，需先推导剩余长方形的长和宽：原长方形长2m、宽1m，四周花边宽度为x，因此左右两侧各占x，剩余长为2-2x；上下两侧各占x，剩余宽为1-2x。再根据矩形面积公式列关系式，展开后得到函数式。自变量取值范围需结合实际意义：花边宽度必须大于0，且剩余长方形的长和宽都必须为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
1. 求函数关系式：
镶花边后，剩余长方形的长为$(2 - 2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(1 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S=(2-2x)(1-2x)$
展开计算：
$S=2×1 - 2×2x - 2x×1 + 4x^2 = 4x^2 -6x +2$
2. 求自变量x的取值范围：
由实际意义可知：
① 花边宽度为正，即$x＞0$；
② 剩余长方形的长为正：$2-2x＞0$，解得$x＜1$；
③ 剩余长方形的宽为正：$1-2x＞0$，解得$x＜\frac{1}{2}$。
取三个不等式的公共解集，得$0＜x＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$S=4x^2-6x+2$；$0＜x＜\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数结合几何实际的基础题型，解题核心是准确表示出剩余图形的边长，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑，避免忽略边长为正的限制条件导致取值范围写错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确剩余部分为长方形，需先推导剩余长方形的长和宽：原长方形长2m、宽1m，四周花边宽度为x，因此左右两侧各占x，剩余长为2-2x；上下两侧各占x，剩余宽为1-2x。再根据矩形面积公式列关系式，展开后得到函数式。自变量取值范围需结合实际意义：花边宽度必须大于0，且剩余长方形的长和宽都必须为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
1. 求函数关系式：
镶花边后，剩余长方形的长为$(2 - 2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(1 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S=(2-2x)(1-2x)$
展开计算：
$S=2×1 - 2×2x - 2x×1 + 4x^2 = 4x^2 -6x +2$
2. 求自变量x的取值范围：
由实际意义可知：
① 花边宽度为正，即$x＞0$；
② 剩余长方形的长为正：$2-2x＞0$，解得$x＜1$；
③ 剩余长方形的宽为正：$1-2x＞0$，解得$x＜\frac{1}{2}$。
取三个不等式的公共解集，得$0＜x＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$S=4x^2-6x+2$；$0＜x＜\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数结合几何实际的基础题型，解题核心是准确表示出剩余图形的边长，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑，避免忽略边长为正的限制条件导致取值范围写错。
【难度系数】
0.8
2. 用长为20 cm的铁丝围成一个矩形，若矩形的一边长为x cm，面积为y cm²，则y与x之间的函数关系式为
y=−x²+10x
。当x=5
时，矩形的面积最大，$y_{\mathrm{max}}=$25
。答案：2. y=−x²+10x；当x=5时，矩形的面积最大，$y_{\mathrm{max}}=25$。
解析：
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据矩形的周长计算出已知边长x的邻边长度，再利用矩形面积公式推导y与x的函数关系式；第二步，判断得到的函数是开口向下的二次函数，其顶点处为最大值，根据二次函数顶点横坐标公式求出对应的x值，再代入函数式计算出最大面积即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知铁丝总长为20cm，即矩形周长为20cm，若一边长为x cm，则其邻边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$cm。
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得$y=x(10-x)$，整理得$y=-x^2+10x$。
2. 求面积最大值：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，当$a＜0$时，图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=-x^2+10x$中，$a=-1＜0$，$b=10$，代入得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$。
将$x=5$代入函数式，得$y_{max}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；$5$；$25$
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是先结合矩形的周长性质表示出各边长，再利用面积公式构建二次函数模型，最后结合二次函数的性质求解最值，考查基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据矩形的周长计算出已知边长x的邻边长度，再利用矩形面积公式推导y与x的函数关系式；第二步，判断得到的函数是开口向下的二次函数，其顶点处为最大值，根据二次函数顶点横坐标公式求出对应的x值，再代入函数式计算出最大面积即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
已知铁丝总长为20cm，即矩形周长为20cm，若一边长为x cm，则其邻边长为$\frac{20}{2}-x=(10-x)$cm。
根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可得$y=x(10-x)$，整理得$y=-x^2+10x$。
2. 求面积最大值：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，当$a＜0$时，图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=-x^2+10x$中，$a=-1＜0$，$b=10$，代入得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$。
将$x=5$代入函数式，得$y_{max}=-5^2+10×5=25$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；$5$；$25$
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；矩形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是先结合矩形的周长性质表示出各边长，再利用面积公式构建二次函数模型，最后结合二次函数的性质求解最值，考查基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是
9 cm²
.答案：3. 9 cm²。
解析：
【分析】
要解决这个动点求最大面积的问题，首先我们可以设运动时间为参数t，结合P、Q的运动速度，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度，再根据直角三角形面积公式得到面积关于t的函数关系式，最后利用二次函数的性质求最大值即可，注意要先确定t的取值范围，保证P、Q在对应边上运动。
【解析】
设P、Q的运动时间为t s，根据题意可得：
AP = t cm，BQ = 2t cm，
∵ AB=6 cm，
∴ PB = AB - AP = (6 - t) cm，
由点P在AB上运动、点Q在BC上运动，可得：
$\begin{cases}6 - t ≥ 0 \\2t ≤ 8\end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
∵ ∠B=90°，
∴ △PBQ的面积：
$S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$
这是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$，在$0 ≤ t ≤ 4$的范围内，
将t=3代入得：$S_{max} = -3^2 + 6×3 = 9$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的最值；直角三角形面积计算；动点问题建模
【点评】
本题是动点结合二次函数的典型应用题，解题核心是通过设运动时间为参数，将几何中的边长转化为含参数的代数式，进而构造面积的函数表达式，求解时要注意参数的取值范围需符合实际运动情况，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
要解决这个动点求最大面积的问题，首先我们可以设运动时间为参数t，结合P、Q的运动速度，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度，再根据直角三角形面积公式得到面积关于t的函数关系式，最后利用二次函数的性质求最大值即可，注意要先确定t的取值范围，保证P、Q在对应边上运动。
【解析】
设P、Q的运动时间为t s，根据题意可得：
AP = t cm，BQ = 2t cm，
∵ AB=6 cm，
∴ PB = AB - AP = (6 - t) cm，
由点P在AB上运动、点Q在BC上运动，可得：
$\begin{cases}6 - t ≥ 0 \\2t ≤ 8\end{cases}$，解得$0 ≤ t ≤ 4$。
∵ ∠B=90°，
∴ △PBQ的面积：
$S = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$
这是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$，在$0 ≤ t ≤ 4$的范围内，
将t=3代入得：$S_{max} = -3^2 + 6×3 = 9$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$9\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的最值；直角三角形面积计算；动点问题建模
【点评】
本题是动点结合二次函数的典型应用题，解题核心是通过设运动时间为参数，将几何中的边长转化为含参数的代数式，进而构造面积的函数表达式，求解时要注意参数的取值范围需符合实际运动情况，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
问题 如图,某农场要盖一排三间的长方形羊圈,打算一面利用长为16 m的旧墙,其余各面用木材围成栅栏,计划用木材围成总长24 m的栅栏.设每间羊圈与墙垂直的一边长AB为x(m),三间羊圈的总面积为S(m²).
(1)求S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)当x取何值时所围成的羊圈面积最大?最大值是多少?
(3)若墙的最大可用长度AD为8 m,求围成羊圈的最大面积.
名师指导
这是二次函数应用的面积问题,它一般用常见图形的面积公式、勾股定理或利用面积割补等,找到二次函数的关系式,再求最值.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
(1)求S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)当x取何值时所围成的羊圈面积最大?最大值是多少?
(3)若墙的最大可用长度AD为8 m,求围成羊圈的最大面积.
名师指导
这是二次函数应用的面积问题,它一般用常见图形的面积公式、勾股定理或利用面积割补等,找到二次函数的关系式,再求最值.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
(1) 由题意可知，三间羊圈中与旧墙平行的边BC的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$，
则总面积 $S = x(24-4x) = -4x^2 +24x$。
由边长的限制条件列不等式组：
$\begin{cases}24-4x ＞ 0 \\ 24-4x ≤ 16\end{cases}$
解得 $2 ≤ x ＜ 6$，
即S与x的函数关系式为$\boldsymbol{S=-4x^2+24x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{2 ≤ x ＜ 6}$。
(2) 对于二次函数$S=-4x^2+24x$，其中$a=-4＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
又$2≤ x＜6$，$x=3$在取值范围内，故当$x=3$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×3^2 +24×3=36$。
即当$x=3$时，围成的羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$。
(3) 由墙的最大可用长度AD为8 m，可得$24-4x ≤ 8$，
解得$x ≥ 4$，结合$24-4x＞0$即$x＜6$，得此时自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
因为$a=-4＜0$，函数在对称轴$x=3$右侧，S随x的增大而减小，
所以当$x=4$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×4^2 +24×4=32$。
即此时围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
答：(1) S与x的函数关系式为$S=-4x^2+24x$，自变量取值范围是$2≤ x＜6$；(2) 当x取3时，羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$；(3) 墙的最大可用长度为8m时，围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意可知，三间羊圈中与旧墙平行的边BC的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$，
则总面积 $S = x(24-4x) = -4x^2 +24x$。
由边长的限制条件列不等式组：
$\begin{cases}24-4x ＞ 0 \\ 24-4x ≤ 16\end{cases}$
解得 $2 ≤ x ＜ 6$，
即S与x的函数关系式为$\boldsymbol{S=-4x^2+24x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{2 ≤ x ＜ 6}$。
(2) 对于二次函数$S=-4x^2+24x$，其中$a=-4＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
又$2≤ x＜6$，$x=3$在取值范围内，故当$x=3$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×3^2 +24×3=36$。
即当$x=3$时，围成的羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$。
(3) 由墙的最大可用长度AD为8 m，可得$24-4x ≤ 8$，
解得$x ≥ 4$，结合$24-4x＞0$即$x＜6$，得此时自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
因为$a=-4＜0$，函数在对称轴$x=3$右侧，S随x的增大而减小，
所以当$x=4$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×4^2 +24×4=32$。
即此时围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
答：(1) S与x的函数关系式为$S=-4x^2+24x$，自变量取值范围是$2≤ x＜6$；(2) 当x取3时，羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$；(3) 墙的最大可用长度为8m时，围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
解析：
【分析】
(1) 先确定各边长度：与墙垂直的边长为x m，观察图形可知垂直于墙的栅栏共4段，因此平行于墙的边长为栅栏总长减去4段垂直边的长度，即(24-4x)m，再根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系式；再结合实际意义列不等式：平行边长度为正，且不超过旧墙长度16m，解不等式组即可得到自变量取值范围。
(2) 求二次函数最值时，先判断开口方向，再求出对称轴，判断对称轴是否在自变量取值范围内，若在则顶点处函数值为最值。
(3) 当墙最大可用长度变为8m时，重新列出平行边长度≤8的不等式，得到新的自变量取值范围，结合二次函数单调性，判断新范围内函数何时取最大值即可。
【解析】
(1) 由题意可知，三间羊圈中与旧墙平行的边的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$，
则总面积 $S = x(24-4x) = -4x^2 +24x$。
由边长的实际限制列不等式组：
$\begin{cases}24-4x ＞ 0 \\ 24-4x ≤ 16\end{cases}$
解得 $2 ≤ x ＜ 6$。
(2) 对于二次函数$S=-4x^2+24x$，其中$a=-4＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
$\because 2≤ x＜6$，$x=3$在自变量取值范围内，
$\therefore$ 当$x=3$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×3^2 +24×3=36$。
(3) 由墙的最大可用长度AD为8 m，可得$24-4x ≤ 8$，
解得$x ≥ 4$，结合$24-4x＞0$即$x＜6$，得此时自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
$\because a=-4＜0$，函数在对称轴$x=3$右侧，S随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=4$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×4^2 +24×4=32$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+24x$，自变量x的取值范围是$2 ≤ x ＜ 6$；
(2) 当$x=3$时，所围成的羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$；
(3) 墙的最大可用长度为8m时，围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数的性质、不等式组求解
【点评】
本题是二次函数解决实际面积最值的典型题型，解题核心是结合实际场景正确确定自变量的取值范围，求最值时需结合函数单调性和自变量范围判断，避免直接取顶点值导致错误，能有效考查学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先确定各边长度：与墙垂直的边长为x m，观察图形可知垂直于墙的栅栏共4段，因此平行于墙的边长为栅栏总长减去4段垂直边的长度，即(24-4x)m，再根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系式；再结合实际意义列不等式：平行边长度为正，且不超过旧墙长度16m，解不等式组即可得到自变量取值范围。
(2) 求二次函数最值时，先判断开口方向，再求出对称轴，判断对称轴是否在自变量取值范围内，若在则顶点处函数值为最值。
(3) 当墙最大可用长度变为8m时，重新列出平行边长度≤8的不等式，得到新的自变量取值范围，结合二次函数单调性，判断新范围内函数何时取最大值即可。
【解析】
(1) 由题意可知，三间羊圈中与旧墙平行的边的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$，
则总面积 $S = x(24-4x) = -4x^2 +24x$。
由边长的实际限制列不等式组：
$\begin{cases}24-4x ＞ 0 \\ 24-4x ≤ 16\end{cases}$
解得 $2 ≤ x ＜ 6$。
(2) 对于二次函数$S=-4x^2+24x$，其中$a=-4＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
$\because 2≤ x＜6$，$x=3$在自变量取值范围内，
$\therefore$ 当$x=3$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×3^2 +24×3=36$。
(3) 由墙的最大可用长度AD为8 m，可得$24-4x ≤ 8$，
解得$x ≥ 4$，结合$24-4x＞0$即$x＜6$，得此时自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
$\because a=-4＜0$，函数在对称轴$x=3$右侧，S随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=4$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-4×4^2 +24×4=32$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+24x$，自变量x的取值范围是$2 ≤ x ＜ 6$；
(2) 当$x=3$时，所围成的羊圈面积最大，最大值为$36\ \mathrm{m}^2$；
(3) 墙的最大可用长度为8m时，围成羊圈的最大面积为$32\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数的性质、不等式组求解
【点评】
本题是二次函数解决实际面积最值的典型题型，解题核心是结合实际场景正确确定自变量的取值范围，求最值时需结合函数单调性和自变量范围判断，避免直接取顶点值导致错误，能有效考查学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6