1. 某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，每提高一个档次每件利润增加2元. 用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大.
答案：1. 第9档次利润最大。
解析：
【分析】
这是一道典型的利润最值类实际问题，解题思路可分为三步：首先确定自变量，我们可以设生产的产品档次为自变量；其次分别推导不同档次下的单件利润和日产量，根据“总利润=单件利润×日产量”的等量关系列出总利润关于档次的二次函数表达式；最后结合二次函数的最值性质，同时注意自变量只能取1到10之间的正整数，求出利润最大时对应的档次即可。
【解析】
设生产第$x$档次的产品（$1≤ x≤10$，且$x$为正整数），总利润为$y$元。
1. 计算单件利润：最低档次（第1档）利润8元，每提高1档利润加2元，因此第$x$档次的单件利润为$8 + 2(x-1) = 2x + 6$元。
2. 计算日产量：最低档次日产量60件，每提高1档少生产3件，因此第$x$档次的日产量为$60 - 3(x-1) = 63 - 3x$件。
3. 列总利润函数：
$y=(2x + 6)(63 - 3x)$
展开整理得：$y=-6x^2 + 108x + 378$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{108}{2×(-6)}=9$
$x=9$符合$1≤ x≤10$的取值要求，因此生产第9档次产品时利润最大。
【答案】
第9档次利润最大。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 二次函数的最值
3. 列代数式
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的常考题型，解题核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，同时要注意自变量的取值必须符合实际场景的要求，再结合二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的利润最值类实际问题，解题思路可分为三步：首先确定自变量，我们可以设生产的产品档次为自变量；其次分别推导不同档次下的单件利润和日产量，根据“总利润=单件利润×日产量”的等量关系列出总利润关于档次的二次函数表达式；最后结合二次函数的最值性质，同时注意自变量只能取1到10之间的正整数，求出利润最大时对应的档次即可。
【解析】
设生产第$x$档次的产品（$1≤ x≤10$，且$x$为正整数），总利润为$y$元。
1. 计算单件利润：最低档次（第1档）利润8元，每提高1档利润加2元，因此第$x$档次的单件利润为$8 + 2(x-1) = 2x + 6$元。
2. 计算日产量：最低档次日产量60件，每提高1档少生产3件，因此第$x$档次的日产量为$60 - 3(x-1) = 63 - 3x$件。
3. 列总利润函数：
$y=(2x + 6)(63 - 3x)$
展开整理得：$y=-6x^2 + 108x + 378$
这是开口向下的二次函数，其顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{108}{2×(-6)}=9$
$x=9$符合$1≤ x≤10$的取值要求，因此生产第9档次产品时利润最大。
【答案】
第9档次利润最大。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 二次函数的最值
3. 列代数式
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的常考题型，解题核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，同时要注意自变量的取值必须符合实际场景的要求，再结合二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件.如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元).设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（1）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
答案：2. (1) $y=-10x^2+100x+2\ 000$，$x$ 的取值范围是 $0≤ x≤ 12$ 且 $x$ 为整数；
(2) 每件商品的售价定为65元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2 250元。
(2) 每件商品的售价定为65元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2 250元。
解析：
【分析】
（1）第一问的核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列函数式：先求售价上涨x元后的单件利润（售价减进价），再求上涨x元后的月销售量，两者相乘即可得到y与x的函数关系；再结合售价不高于72元、x为非负整数、销售量不为负的限制，推导x的取值范围。
（2）第二问是求二次函数的最大值，该函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取最大值，先通过对称轴公式求出顶点对应的x值，验证其在取值范围内后，代入函数式求最大利润，再反推对应售价即可。
【解析】
（1）由题意得：
上涨x元后，每件商品的利润为：$60 + x - 50 = (10 + x)$元，
每月的销售量为：$(200 - 10x)$件，
因此总利润$y = (10 + x)(200 - 10x)$，
展开化简得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$。
求x的取值范围：
① 上涨幅度非负：$x ≥ 0$；
② 售价不高于72元：$60 + x ≤ 72$，解得$x ≤ 12$；
③ 销售量非负：$200 - 10x ≥ 0$，解得$x ≤ 20$，结合售价限制取上限12，且x为整数。
故x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 12$且x为整数。
（2）对于二次函数$y = -10x^2 + 100x + 2000$，$a = -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 × (-10)} = 5$，
x=5在$0 ≤ x ≤ 12$的范围内，符合要求，
将x=5代入得：$y = -10 × 5^2 + 100 × 5 + 2000 = 2250$，
此时售价为$60 + 5 = 65$元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+100x+2000$，$x$ 的取值范围是 $0≤ x≤ 12$ 且 $x$ 为整数；
(2) 每件商品的售价定为65元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。
【知识点】
销售利润计算，二次函数解析式求解，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的典型基础题，解题关键是找准单件利润、销售数量的表达式，列对函数解析式，求最值时需注意自变量的实际限制条件，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列函数式：先求售价上涨x元后的单件利润（售价减进价），再求上涨x元后的月销售量，两者相乘即可得到y与x的函数关系；再结合售价不高于72元、x为非负整数、销售量不为负的限制，推导x的取值范围。
（2）第二问是求二次函数的最大值，该函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取最大值，先通过对称轴公式求出顶点对应的x值，验证其在取值范围内后，代入函数式求最大利润，再反推对应售价即可。
【解析】
（1）由题意得：
上涨x元后，每件商品的利润为：$60 + x - 50 = (10 + x)$元，
每月的销售量为：$(200 - 10x)$件，
因此总利润$y = (10 + x)(200 - 10x)$，
展开化简得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$。
求x的取值范围：
① 上涨幅度非负：$x ≥ 0$；
② 售价不高于72元：$60 + x ≤ 72$，解得$x ≤ 12$；
③ 销售量非负：$200 - 10x ≥ 0$，解得$x ≤ 20$，结合售价限制取上限12，且x为整数。
故x的取值范围是$0 ≤ x ≤ 12$且x为整数。
（2）对于二次函数$y = -10x^2 + 100x + 2000$，$a = -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 × (-10)} = 5$，
x=5在$0 ≤ x ≤ 12$的范围内，符合要求，
将x=5代入得：$y = -10 × 5^2 + 100 × 5 + 2000 = 2250$，
此时售价为$60 + 5 = 65$元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+100x+2000$，$x$ 的取值范围是 $0≤ x≤ 12$ 且 $x$ 为整数；
(2) 每件商品的售价定为65元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。
【知识点】
销售利润计算，二次函数解析式求解，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的典型基础题，解题关键是找准单件利润、销售数量的表达式，列对函数解析式，求最值时需注意自变量的实际限制条件，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.7
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40~70元之间.市场调查发现,若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱;价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1) 写出平均每天销售量$ y $(箱)与每箱售价$ x $(元)之间的函数解析式(注明范围);
(2) 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润$ w $(元)与每箱牛奶的售价$ x $(元)之间的二次函数解析式(每箱利润=售价-进价);
(3) 求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求出当$ x=40 $和70时$ w $的值,在平面直角坐标系中画出函数图象的草图;
(4) 由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润是多少?
(1) 写出平均每天销售量$ y $(箱)与每箱售价$ x $(元)之间的函数解析式(注明范围);
(2) 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润$ w $(元)与每箱牛奶的售价$ x $(元)之间的二次函数解析式(每箱利润=售价-进价);
(3) 求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求出当$ x=40 $和70时$ w $的值,在平面直角坐标系中画出函数图象的草图;
(4) 由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润是多少?
答案：(1) 当 $40≤ x≤ 50$ 时,$y=90+3(50-x)=-3x+240$;当 $50＜x≤ 70$ 时,$y=90-3(x-50)=-3x+240$,即 $y=-3x+240(40≤ x≤ 70)$。
(2) 当每箱售价为 $x$ 元时,每箱利润为 $(x-40)$ 元,平均每天的利润为 $w=(240-3x)(x-40)=-3x^2+360x-9\ 600$。
(3) $w=-3x^2+360x-9\ 600=-3(x^2-120x+3\ 600-3\ 600)-9\ 600=-3(x-60)^2+1\ 200$.所以此二次函数图象的顶点坐标为 $(60,1\ 200)$.当 $x=40$ 时,$w=0$;当 $x=70$ 时,$w=900$.图略。
(4) 当 $x=60$(元)时,$w_{最大}=1\ 200$(元)。
(2) 当每箱售价为 $x$ 元时,每箱利润为 $(x-40)$ 元,平均每天的利润为 $w=(240-3x)(x-40)=-3x^2+360x-9\ 600$。
(3) $w=-3x^2+360x-9\ 600=-3(x^2-120x+3\ 600-3\ 600)-9\ 600=-3(x-60)^2+1\ 200$.所以此二次函数图象的顶点坐标为 $(60,1\ 200)$.当 $x=40$ 时,$w=0$;当 $x=70$ 时,$w=900$.图略。
(4) 当 $x=60$(元)时,$w_{最大}=1\ 200$(元)。
解析：
【分析】
(1) 求解销量与售价的函数关系时，分两种情况讨论：当售价在40~50元区间时，价格比50元越低，销量越高，每降1元多卖3箱，可结合基础销量90箱列出表达式；当售价在50~70元区间时，价格比50元越高，销量越低，每升1元少卖3箱，同样结合基础销量列表达式，整理后合并取值范围即可。
(2) 销售总利润=每箱利润×总销量，每箱利润为“售价-进价”即$(x-40)$元，代入第一问得到的销量表达式，展开整理即可得到利润关于售价的二次函数解析式。
(3) 用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；再分别将$x=40$、$x=70$代入解析式计算对应$w$值，画草图时注意自变量仅在$40≤ x≤70$范围内取点，抛物线开口向下。
(4) 二次函数开口向下，顶点处函数值最大，且顶点横坐标在售价允许的范围内，因此顶点对应的售价和利润即为所求的最大利润及对应售价。
【解析】
(1) ① 当$40≤ x≤50$时，售价较50元降低了$(50-x)$元，多销售$3(50-x)$箱，因此$y=90+3(50-x)=-3x+240$；
② 当$50＜x≤70$时，售价较50元升高了$(x-50)$元，少销售$3(x-50)$箱，因此$y=90-3(x-50)=-3x+240$；
综上，平均每天销售量与售价的函数解析式为$y=-3x+240(40≤ x≤70)$。
(2) 每箱利润为$(x-40)$元，总利润$w=$每箱利润×销量，代入$y$的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-40)(-3x+240)\\&=-3x^2+240x+120x-9600\\&=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤70)\end{aligned}$
(3) 对二次函数配方求顶点式：
$\begin{aligned}w&=-3x^2+360x-9600\\&=-3(x^2-120x+3600-3600)-9600\\&=-3(x-60)^2+10800-9600\\&=-3(x-60)^2+1200\end{aligned}$
因此顶点坐标为$(60,1200)$。
当$x=40$时，$w=-3×(40-60)^2+1200=0$；
当$x=70$时，$w=-3×(70-60)^2+1200=900$。
草图：取$40≤ x≤70$区间的抛物线部分，标记点$(40,0)$、$(60,1200)$、$(70,900)$，抛物线开口向下（图略）。
(4) 二次函数$w=-3(x-60)^2+1200$中，$a=-3＜0$，抛物线开口向下，且$x=60$在$40≤ x≤70$的取值范围内，因此当$x=60$时，$w$取得最大值，最大值为1200元。
【答案】
(1) $y=-3x+240(40≤ x≤ 70)$
(2) $w=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 70)$
(3) 顶点坐标为$(60,1200)$；当$x=40$时$w=0$，当$x=70$时$w=900$；图略
(4) 当牛奶售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润是1200元
【知识点】
一次函数应用；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是函数在销售利润问题中的典型应用，需要理清售价、销量、利润三者的数量关系，掌握二次函数一般式配顶点式的方法，解题时需注意自变量的实际取值范围对最值的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 求解销量与售价的函数关系时，分两种情况讨论：当售价在40~50元区间时，价格比50元越低，销量越高，每降1元多卖3箱，可结合基础销量90箱列出表达式；当售价在50~70元区间时，价格比50元越高，销量越低，每升1元少卖3箱，同样结合基础销量列表达式，整理后合并取值范围即可。
(2) 销售总利润=每箱利润×总销量，每箱利润为“售价-进价”即$(x-40)$元，代入第一问得到的销量表达式，展开整理即可得到利润关于售价的二次函数解析式。
(3) 用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；再分别将$x=40$、$x=70$代入解析式计算对应$w$值，画草图时注意自变量仅在$40≤ x≤70$范围内取点，抛物线开口向下。
(4) 二次函数开口向下，顶点处函数值最大，且顶点横坐标在售价允许的范围内，因此顶点对应的售价和利润即为所求的最大利润及对应售价。
【解析】
(1) ① 当$40≤ x≤50$时，售价较50元降低了$(50-x)$元，多销售$3(50-x)$箱，因此$y=90+3(50-x)=-3x+240$；
② 当$50＜x≤70$时，售价较50元升高了$(x-50)$元，少销售$3(x-50)$箱，因此$y=90-3(x-50)=-3x+240$；
综上，平均每天销售量与售价的函数解析式为$y=-3x+240(40≤ x≤70)$。
(2) 每箱利润为$(x-40)$元，总利润$w=$每箱利润×销量，代入$y$的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-40)(-3x+240)\\&=-3x^2+240x+120x-9600\\&=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤70)\end{aligned}$
(3) 对二次函数配方求顶点式：
$\begin{aligned}w&=-3x^2+360x-9600\\&=-3(x^2-120x+3600-3600)-9600\\&=-3(x-60)^2+10800-9600\\&=-3(x-60)^2+1200\end{aligned}$
因此顶点坐标为$(60,1200)$。
当$x=40$时，$w=-3×(40-60)^2+1200=0$；
当$x=70$时，$w=-3×(70-60)^2+1200=900$。
草图：取$40≤ x≤70$区间的抛物线部分，标记点$(40,0)$、$(60,1200)$、$(70,900)$，抛物线开口向下（图略）。
(4) 二次函数$w=-3(x-60)^2+1200$中，$a=-3＜0$，抛物线开口向下，且$x=60$在$40≤ x≤70$的取值范围内，因此当$x=60$时，$w$取得最大值，最大值为1200元。
【答案】
(1) $y=-3x+240(40≤ x≤ 70)$
(2) $w=-3x^2+360x-9600(40≤ x≤ 70)$
(3) 顶点坐标为$(60,1200)$；当$x=40$时$w=0$，当$x=70$时$w=900$；图略
(4) 当牛奶售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润是1200元
【知识点】
一次函数应用；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是函数在销售利润问题中的典型应用，需要理清售价、销量、利润三者的数量关系，掌握二次函数一般式配顶点式的方法，解题时需注意自变量的实际取值范围对最值的影响。
【难度系数】
0.7