1. 如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离 h(m)随时间 t(h)的变化满足函数关系 $h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$,且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离 h(m)随时间 t(h)的变化满足函数关系 $h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$,且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
答案：1. (1) $y=-\frac{3}{64}x^2+11$；
(2) 需32 h禁止船只通行。
(2) 需32 h禁止船只通行。
解析：
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线对称轴为y轴，顶点为C，因此优先设顶点式求解。首先确定顶点C坐标为(0,11)，再根据河道尺寸得到抛物线上点B的坐标为(8,8)，代入顶点式即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 先理解限制条件的含义：水面到顶点C的距离不大于5m，即水面高度h满足$11-h≤5$，得到h的取值下限。将h的下限代入给定的h与t的函数关系式，解出对应的两个时间点，两个时间点的差值就是禁止通行的时长。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+11$。
∵ $ED=16\ \mathrm{m}$，$AE=8\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的坐标为$(8,8)$。
将$B(8,8)$代入解析式得：
$8=a×8^2+11$
$64a=-3$
解得$a=-\frac{3}{64}$
∴ 抛物线的函数解析式为$y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
(2) 当水面到顶点C的距离不大于5 m时，有：
$11-h≤5$，解得$h≥6$。
将$h=6$代入$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$得：
$6=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$
整理得$(t-19)^2=256$
开方得$t-19=\pm16$
解得$t_1=3$，$t_2=35$。
∴ 禁止通行的时长为$35-3=32$（h）。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{64}x^2+11$；(2) 需32 h禁止船只通行。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取几何信息确定函数解析式，结合题意转化出对应函数值的范围，再求解实际问题，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线对称轴为y轴，顶点为C，因此优先设顶点式求解。首先确定顶点C坐标为(0,11)，再根据河道尺寸得到抛物线上点B的坐标为(8,8)，代入顶点式即可求出未知系数，得到解析式。
(2) 先理解限制条件的含义：水面到顶点C的距离不大于5m，即水面高度h满足$11-h≤5$，得到h的取值下限。将h的下限代入给定的h与t的函数关系式，解出对应的两个时间点，两个时间点的差值就是禁止通行的时长。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+11$。
∵ $ED=16\ \mathrm{m}$，$AE=8\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的坐标为$(8,8)$。
将$B(8,8)$代入解析式得：
$8=a×8^2+11$
$64a=-3$
解得$a=-\frac{3}{64}$
∴ 抛物线的函数解析式为$y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
(2) 当水面到顶点C的距离不大于5 m时，有：
$11-h≤5$，解得$h≥6$。
将$h=6$代入$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$得：
$6=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$
整理得$(t-19)^2=256$
开方得$t-19=\pm16$
解得$t_1=3$，$t_2=35$。
∴ 禁止通行的时长为$35-3=32$（h）。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{64}x^2+11$；(2) 需32 h禁止船只通行。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取几何信息确定函数解析式，结合题意转化出对应函数值的范围，再求解实际问题，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：
如图(1)，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽12 m，最大高度6 m.车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于$\frac{1}{3}$ m的空隙.你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图(2)，小东以点O为原点，地面OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，请你帮小东解决问题：
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求出通过隧道车辆的高度限制应为多少米；
（3）老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形ABCD的三条边AD-DC-CB组成的“支撑架”，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，如图(3).为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下.
如图(1)，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽12 m，最大高度6 m.车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于$\frac{1}{3}$ m的空隙.你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图(2)，小东以点O为原点，地面OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，请你帮小东解决问题：
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求出通过隧道车辆的高度限制应为多少米；
（3）老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形ABCD的三条边AD-DC-CB组成的“支撑架”，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，如图(3).为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下.
答案：2. (1) $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6(0≤ x≤ 12)$；
(2) 3米；
(3) 这个“支撑架”总长的最大值为15米。
(2) 3米；
(3) 这个“支撑架”总长的最大值为15米。
解析：
【分析】
（1）首先确定抛物线的顶点坐标和已知点坐标：隧道最大高度6m，底部宽12m，因此抛物线顶点为$(6,6)$，且过点$(0,0)$、$(12,0)$，选用顶点式设解析式，代入已知点求参数即可，自变量范围对应隧道底部宽度$0≤x≤12$。
（2）先确定车辆行驶的横坐标范围：距离边缘2m，因此行驶区域x的范围为$2≤x≤10$，抛物线开口向下，该区间内x=2和x=10处y值最小，求出该y值后减去要求的$\frac{1}{3}m$空隙，即可得到高度限制。
（3）设A点横坐标为a，利用抛物线对称性可得B点横坐标为$12-a$，分别表示出AD、DC、CB的长度，求和后得到关于a的二次函数，配方求最大值即可。
【解析】
（1）由题意可知抛物线顶点坐标为$(6,6)$，且过原点$(0,0)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，自变量x的取值范围为$0≤x≤12$。
（2）根据车辆行驶规则，车辆需距离道路边缘2m，因此行驶区域的横坐标范围为$2≤x≤10$，
抛物线开口向下，对称轴为$x=6$，因此在$x=2$或$x=10$时，y取得最小值，
将$x=2$代入解析式得：$y=-\frac{1}{6}(2-6)^2+6=\frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
要求车辆顶部与隧道空隙不少于$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$，因此高度限制为$\frac{10}{3}-\frac{1}{3}=3\ \mathrm{m}$。
（3）设点A的坐标为$(a,0)$，则点D坐标为$(a, -\frac{1}{6}(a-6)^2+6)$，
由抛物线对称性可知点B横坐标为$12-a$，因此$AD=CB=-\frac{1}{6}(a-6)^2+6$，$DC=12-2a$，
设三根木杆总长为L，则：
$\begin{aligned}L&=2[-\frac{1}{6}(a-6)^2+6]+(12-2a)\\&=-\frac{1}{3}(a^2-12a+36)+12+12-2a\\&=-\frac{1}{3}a^2+2a+12\\&=-\frac{1}{3}(a-3)^2+15\end{aligned}$
因为$-\frac{1}{3}＜0$，因此当$a=3$时，L取得最大值15，即支撑架总长最大值为15米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6(0≤ x≤ 12)$；
(2) 3米；
(3) 这个“支撑架”总长的最大值为15米。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数最值计算
【点评】
本题结合隧道通行、检修的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为二次函数的代数问题，求解过程中需要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
（1）首先确定抛物线的顶点坐标和已知点坐标：隧道最大高度6m，底部宽12m，因此抛物线顶点为$(6,6)$，且过点$(0,0)$、$(12,0)$，选用顶点式设解析式，代入已知点求参数即可，自变量范围对应隧道底部宽度$0≤x≤12$。
（2）先确定车辆行驶的横坐标范围：距离边缘2m，因此行驶区域x的范围为$2≤x≤10$，抛物线开口向下，该区间内x=2和x=10处y值最小，求出该y值后减去要求的$\frac{1}{3}m$空隙，即可得到高度限制。
（3）设A点横坐标为a，利用抛物线对称性可得B点横坐标为$12-a$，分别表示出AD、DC、CB的长度，求和后得到关于a的二次函数，配方求最大值即可。
【解析】
（1）由题意可知抛物线顶点坐标为$(6,6)$，且过原点$(0,0)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，自变量x的取值范围为$0≤x≤12$。
（2）根据车辆行驶规则，车辆需距离道路边缘2m，因此行驶区域的横坐标范围为$2≤x≤10$，
抛物线开口向下，对称轴为$x=6$，因此在$x=2$或$x=10$时，y取得最小值，
将$x=2$代入解析式得：$y=-\frac{1}{6}(2-6)^2+6=\frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
要求车辆顶部与隧道空隙不少于$\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$，因此高度限制为$\frac{10}{3}-\frac{1}{3}=3\ \mathrm{m}$。
（3）设点A的坐标为$(a,0)$，则点D坐标为$(a, -\frac{1}{6}(a-6)^2+6)$，
由抛物线对称性可知点B横坐标为$12-a$，因此$AD=CB=-\frac{1}{6}(a-6)^2+6$，$DC=12-2a$，
设三根木杆总长为L，则：
$\begin{aligned}L&=2[-\frac{1}{6}(a-6)^2+6]+(12-2a)\\&=-\frac{1}{3}(a^2-12a+36)+12+12-2a\\&=-\frac{1}{3}a^2+2a+12\\&=-\frac{1}{3}(a-3)^2+15\end{aligned}$
因为$-\frac{1}{3}＜0$，因此当$a=3$时，L取得最大值15，即支撑架总长最大值为15米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6(0≤ x≤ 12)$；
(2) 3米；
(3) 这个“支撑架”总长的最大值为15米。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数最值计算
【点评】
本题结合隧道通行、检修的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际问题转化为二次函数的代数问题，求解过程中需要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.65