23. (10分)【主题式学习】某班“数学兴趣小组”对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
(1) 自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应数值如下表：
其中$m=$
(2) 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3) 进一步探究函数图象发现：
① 函数图象与$x$轴有
② 方程$x^2 - 2|x|=2$有
③ 关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根，则$a$的取值范围是
(1) 自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应数值如下表：
其中$m=$
0
；(2) 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3) 进一步探究函数图象发现：
① 函数图象与$x$轴有
3
个交点，所以对应的方程$x^2 - 2|x|=0$有3
个实数根；② 方程$x^2 - 2|x|=2$有
2
个实数根；③ 关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根，则$a$的取值范围是
$-1＜a＜0$
.答案：
23. 解:(1) 0；
(2) 正确补全图象，如图
.
(3) ① 3,3. ② 2. ③ $-1＜a＜0$.
23. 解:(1) 0；
(2) 正确补全图象，如图
.(3) ① 3,3. ② 2. ③ $-1＜a＜0$.
解析：
【分析】
本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质，解题思路如下：
(1) 求m的值：可直接将对应的x值代入函数解析式计算，也可利用函数的偶函数性质（x互为相反数时y值相等）求解；
(2) 补全函数图象：该函数是偶函数，图象关于y轴对称，只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折即可得到另一侧的图象；
(3) 结合函数图象求解方程相关问题：函数图象与x轴的交点个数就是y=0时方程的实根个数；方程$x^2-2|x|=a$的实根个数就是直线$y=a$与该函数图象的交点个数，通过观察图象交点个数即可得到对应结论。
【解析】
(1) 将$x=2$代入函数解析式$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2 - 2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$；
(2) 该函数满足对任意实数$x$，都有$(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|$，函数图象关于$y$轴对称，将已给出的一侧图象沿$y$轴对称翻折即可补全图象；
(3) ① 观察函数图象，图象与$x$轴交于$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$共3个交点，因此对应方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线$y=2$，可观察到该直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 方程$x^2-2|x|=a$有4个实数根等价于直线$y=a$与函数图象有4个交点，观察图象可知当$-1＜a＜0$时，直线与函数图象有4个交点，因此$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1) 0；
(2) 正确补全图象，如图；
(3) ① 3，3；② 2；③ $-1＜a＜0$
【知识点】
绝对值函数性质；二次函数图象；函数与方程
【点评】
本题是函数部分的典型探究题型，考查了数形结合思想的应用，需要掌握函数对称性的判断方法，以及将方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题的转化思路。
【难度系数】
0.7
本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质，解题思路如下：
(1) 求m的值：可直接将对应的x值代入函数解析式计算，也可利用函数的偶函数性质（x互为相反数时y值相等）求解；
(2) 补全函数图象：该函数是偶函数，图象关于y轴对称，只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折即可得到另一侧的图象；
(3) 结合函数图象求解方程相关问题：函数图象与x轴的交点个数就是y=0时方程的实根个数；方程$x^2-2|x|=a$的实根个数就是直线$y=a$与该函数图象的交点个数，通过观察图象交点个数即可得到对应结论。
【解析】
(1) 将$x=2$代入函数解析式$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2 - 2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$；
(2) 该函数满足对任意实数$x$，都有$(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|$，函数图象关于$y$轴对称，将已给出的一侧图象沿$y$轴对称翻折即可补全图象；
(3) ① 观察函数图象，图象与$x$轴交于$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$共3个交点，因此对应方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线$y=2$，可观察到该直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 方程$x^2-2|x|=a$有4个实数根等价于直线$y=a$与函数图象有4个交点，观察图象可知当$-1＜a＜0$时，直线与函数图象有4个交点，因此$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1) 0；
(2) 正确补全图象，如图
；(3) ① 3，3；② 2；③ $-1＜a＜0$
【知识点】
绝对值函数性质；二次函数图象；函数与方程
【点评】
本题是函数部分的典型探究题型，考查了数形结合思想的应用，需要掌握函数对称性的判断方法，以及将方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题的转化思路。
【难度系数】
0.7
24. (12分)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(2,0)$，$B(3n-4,y_1)$，$C(5n+6,y_2)$三点，对称轴是直线$x=1$；关于$x$的方程$ax^2+bx+c=x$有两个相等的实数根.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若$n＜-5$，试比较$y_1$与$y_2$的大小；
(3) 若$B$，$C$两点在直线$x=1$的两侧，且$y_1＞y_2$，求$n$的取值范围.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若$n＜-5$，试比较$y_1$与$y_2$的大小；
(3) 若$B$，$C$两点在直线$x=1$的两侧，且$y_1＞y_2$，求$n$的取值范围.
答案：24. 解:(1) $\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(2,0)$,$\therefore 0=4a+2b+c\ \ \ ①$. $\because$ 对称轴是直线$x=1$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=1\ \ \ ②$. $\because$ 关于$x$的方程$ax^2+bx+c=x$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(b-1)^2-4ac=0\ \ \ ③$.
由①②③可得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=1,\\c=0,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$.
(2) 方法一: $\because n＜-5$,$\therefore 3n-4＜-19$,$5n+6＜-19$,$\therefore$ 点$B$,点$C$在对称轴直线$x=1$的左侧. $\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$,$\therefore$ 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大. $\because (3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)＞0$,$\therefore 3n-4＞5n+6$,$\therefore y_1＞y_2$.
方法二: $\because B(3n-4,y_1)$,$C(5n+6,y_2)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$上,$\therefore y_1=-\dfrac{1}{2}(3n-4)^2+(3n-4)=-\dfrac{9}{2}n^2+15n-12$,$y_2=-\dfrac{1}{2}(5n+6)^2+(5n+6)=-\dfrac{25}{2}n^2-25n-12$,$\therefore y_1-y_2=8n(n+5)$. $\because n＜-5$,$\therefore 8n＜0$,$n+5＜0$,$\therefore y_1-y_2=8n(n+5)＞0$,$\therefore y_1＞y_2$.
(3) 若点$B$在对称轴直线$x=1$的左侧,点$C$在对称轴直线$x=1$的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＜1,\\5n+6＞1,\\1-(3n-4)＜5n+6-1,\end{cases}$ $\therefore 0＜n＜\dfrac{5}{3}$;若点$C$在对称轴直线$x=1$的左侧,点$B$在对称轴直线$x=1$的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＞1,\\5n+6＜1,\\3n-4-1＜1-(5n+6),\end{cases}$ $\therefore$ 不等式组无解. 综上所述,$0＜n＜\dfrac{5}{3}$.
由①②③可得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=1,\\c=0,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$.
(2) 方法一: $\because n＜-5$,$\therefore 3n-4＜-19$,$5n+6＜-19$,$\therefore$ 点$B$,点$C$在对称轴直线$x=1$的左侧. $\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$,$\therefore$ 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大. $\because (3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)＞0$,$\therefore 3n-4＞5n+6$,$\therefore y_1＞y_2$.
方法二: $\because B(3n-4,y_1)$,$C(5n+6,y_2)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$上,$\therefore y_1=-\dfrac{1}{2}(3n-4)^2+(3n-4)=-\dfrac{9}{2}n^2+15n-12$,$y_2=-\dfrac{1}{2}(5n+6)^2+(5n+6)=-\dfrac{25}{2}n^2-25n-12$,$\therefore y_1-y_2=8n(n+5)$. $\because n＜-5$,$\therefore 8n＜0$,$n+5＜0$,$\therefore y_1-y_2=8n(n+5)＞0$,$\therefore y_1＞y_2$.
(3) 若点$B$在对称轴直线$x=1$的左侧,点$C$在对称轴直线$x=1$的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＜1,\\5n+6＞1,\\1-(3n-4)＜5n+6-1,\end{cases}$ $\therefore 0＜n＜\dfrac{5}{3}$;若点$C$在对称轴直线$x=1$的左侧,点$B$在对称轴直线$x=1$的右侧时,由题意可得$\begin{cases}3n-4＞1,\\5n+6＜1,\\3n-4-1＜1-(5n+6),\end{cases}$ $\therefore$ 不等式组无解. 综上所述,$0＜n＜\dfrac{5}{3}$.
解析：
【分析】
(1) 求抛物线解析式需要确定a、b、c三个参数，题目给出三个条件：①过点A(2,0)，代入可得关于a、b、c的方程；②对称轴为直线x=1，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得第二个方程；③方程$ax^2+bx+c=x$有两个相等实数根，整理为一元二次方程标准形式后，判别式Δ=0可得第三个方程，联立三个方程解三元一次方程组即可求出参数值。
(2) 比较$y_1$与$y_2$的大小，可先根据$n＜-5$判断B、C两点横坐标的范围，确定两点都在对称轴$x=1$的左侧，再结合抛物线开口向下、左侧y随x增大而增大的性质，比较两个横坐标的大小即可判断y值大小；也可直接将两点坐标代入解析式作差，根据n的范围判断差的正负得到大小关系。
(3) B、C在对称轴两侧需分两种情况讨论：①B在对称轴左侧、C在右侧；②C在对称轴左侧、B在右侧。结合抛物线开口向下、$y_1＞y_2$说明点B到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，分别列不等式组求解，舍去无解的情况即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(2,0)$，代入得：
$4a+2b+c=0$ ①
由对称轴是直线$x=1$，根据对称轴公式得：
$-\frac{b}{2a}=1$ ②
将方程$ax^2+bx+c=x$整理为$ax^2+(b-1)x+c=0$，因方程有两个相等的实数根，故判别式：
$\Delta=(b-1)^2-4ac=0$ ③
联立①②③，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=1\\c=0\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x$。
(2) 当$n＜-5$时，$3n-4＜3×(-5)-4=-19$，$5n+6＜5×(-5)+6=-19$，即B、C两点都在对称轴$x=1$的左侧。
抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x$开口向下，当$x＜1$时，y随x的增大而增大。
计算横坐标差：$(3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)$，因$n＜-5$，故$n+5＜0$，则$-2(n+5)＞0$，即$3n-4＞5n+6$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 分两种情况讨论：
① 若点B在对称轴$x=1$左侧，点C在右侧，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}3n-4＜1\\5n+6＞1\\1-(3n-4)＜5n+6-1\end{cases}$
解第一个不等式得$n＜\frac{5}{3}$，解第二个不等式得$n＞-1$，解第三个不等式得$n＞0$，取交集得$0＜n＜\frac{5}{3}$。
② 若点C在对称轴$x=1$左侧，点B在右侧，列不等式组：
$\begin{cases}3n-4＞1\\5n+6＜1\\3n-4-1＜1-(5n+6)\end{cases}$
解第一个不等式得$n＞\frac{5}{3}$，解第二个不等式得$n＜-1$，两个不等式无交集，故该不等式组无解。
综上，$n$的取值范围是$0＜n＜\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x$
(2) $y_1＞y_2$
(3) $0＜n＜\frac{5}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题综合考查二次函数相关知识，涵盖解析式求解、函数值大小比较、参数范围求解等考点，解题过程需要用到分类讨论思想，对逻辑分析和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式需要确定a、b、c三个参数，题目给出三个条件：①过点A(2,0)，代入可得关于a、b、c的方程；②对称轴为直线x=1，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得第二个方程；③方程$ax^2+bx+c=x$有两个相等实数根，整理为一元二次方程标准形式后，判别式Δ=0可得第三个方程，联立三个方程解三元一次方程组即可求出参数值。
(2) 比较$y_1$与$y_2$的大小，可先根据$n＜-5$判断B、C两点横坐标的范围，确定两点都在对称轴$x=1$的左侧，再结合抛物线开口向下、左侧y随x增大而增大的性质，比较两个横坐标的大小即可判断y值大小；也可直接将两点坐标代入解析式作差，根据n的范围判断差的正负得到大小关系。
(3) B、C在对称轴两侧需分两种情况讨论：①B在对称轴左侧、C在右侧；②C在对称轴左侧、B在右侧。结合抛物线开口向下、$y_1＞y_2$说明点B到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，分别列不等式组求解，舍去无解的情况即可得到n的取值范围。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(2,0)$，代入得：
$4a+2b+c=0$ ①
由对称轴是直线$x=1$，根据对称轴公式得：
$-\frac{b}{2a}=1$ ②
将方程$ax^2+bx+c=x$整理为$ax^2+(b-1)x+c=0$，因方程有两个相等的实数根，故判别式：
$\Delta=(b-1)^2-4ac=0$ ③
联立①②③，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=1\\c=0\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x$。
(2) 当$n＜-5$时，$3n-4＜3×(-5)-4=-19$，$5n+6＜5×(-5)+6=-19$，即B、C两点都在对称轴$x=1$的左侧。
抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x$开口向下，当$x＜1$时，y随x的增大而增大。
计算横坐标差：$(3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)$，因$n＜-5$，故$n+5＜0$，则$-2(n+5)＞0$，即$3n-4＞5n+6$，因此$y_1＞y_2$。
(3) 分两种情况讨论：
① 若点B在对称轴$x=1$左侧，点C在右侧，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}3n-4＜1\\5n+6＞1\\1-(3n-4)＜5n+6-1\end{cases}$
解第一个不等式得$n＜\frac{5}{3}$，解第二个不等式得$n＞-1$，解第三个不等式得$n＞0$，取交集得$0＜n＜\frac{5}{3}$。
② 若点C在对称轴$x=1$左侧，点B在右侧，列不等式组：
$\begin{cases}3n-4＞1\\5n+6＜1\\3n-4-1＜1-(5n+6)\end{cases}$
解第一个不等式得$n＞\frac{5}{3}$，解第二个不等式得$n＜-1$，两个不等式无交集，故该不等式组无解。
综上，$n$的取值范围是$0＜n＜\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x$
(2) $y_1＞y_2$
(3) $0＜n＜\frac{5}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题综合考查二次函数相关知识，涵盖解析式求解、函数值大小比较、参数范围求解等考点，解题过程需要用到分类讨论思想，对逻辑分析和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6