1. 函数$y=\frac{2}{5x}$是形如$y=\frac{k}{x}$的反比例函数，那么$k$的值为（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$5$
D.$2$
A
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$5$
D.$2$
答案：1. A
解析：
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的标准形式：$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），题目已知所给函数是该形式的反比例函数，因此只需将$y=\frac{2}{5x}$变形为标准的$\frac{k}{x}$结构，对应匹配系数就能得到$k$的值。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）。
将题干所给函数$y=\frac{2}{5x}$变形可得：
$y=\frac{\frac{2}{5}}{x}$
将变形后的函数和反比例函数的标准形式对比，可得$k=\frac{2}{5}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题核心是将所给函数整理为反比例函数的标准形式后对比系数，属于概念类基础题，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的标准形式：$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），题目已知所给函数是该形式的反比例函数，因此只需将$y=\frac{2}{5x}$变形为标准的$\frac{k}{x}$结构，对应匹配系数就能得到$k$的值。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）。
将题干所给函数$y=\frac{2}{5x}$变形可得：
$y=\frac{\frac{2}{5}}{x}$
将变形后的函数和反比例函数的标准形式对比，可得$k=\frac{2}{5}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题核心是将所给函数整理为反比例函数的标准形式后对比系数，属于概念类基础题，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 下列问题中的两个变量成反比例关系的是 （
A.正方形的面积S与边长a之间的关系
B.等边三角形中，周长C与边长a之间的关系
C.等腰三角形的周长C一定，它的腰长a与它的底边长b之间的关系
D.当车辆行驶的路程s一定，车轮直径d与车轮的旋转周数n之间的关系
D
）A.正方形的面积S与边长a之间的关系
B.等边三角形中，周长C与边长a之间的关系
C.等腰三角形的周长C一定，它的腰长a与它的底边长b之间的关系
D.当车辆行驶的路程s一定，车轮直径d与车轮的旋转周数n之间的关系
答案：2. D
解析：
【分析】
要判断两个变量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的核心特征：两个相关联的变量的乘积为非零定值。解题时先逐一推导每个选项中两个变量的等量关系式，再对照反比例关系的特征逐一排查，最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），则x与y成反比例关系。我们逐一分析选项：
A选项：正方形的面积$S=a^2$，是S与a的平方成正比，不符合乘积为定值的特征，不是反比例关系；
B选项：等边三角形周长$C=3a$，即$\frac{C}{a}=3$（定值），C与a的比值为定值，成正比例关系，不是反比例关系；
C选项：等腰三角形周长C一定时，$C=2a+b$，变形得$b=C-2a$，是一次函数关系，不符合乘积为定值的特征，不是反比例关系；
D选项：路程s一定时，路程=车轮周长×旋转周数，车轮周长为$π d$，因此有$s=π d· n$，变形得$d· n=\frac{s}{π}$，s为定值，因此$\frac{s}{π}$是不为0的常数，即d和n的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的判定；函数关系式的建立；正比例关系的判定
【点评】
本题考查不同类型函数关系的区分，解题关键是牢牢抓住反比例关系“两个变量乘积为定值”的核心特征，通过列变量关系式逐一判断即可，要注意区分反比例、正比例、一次函数的不同特征，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的核心特征：两个相关联的变量的乘积为非零定值。解题时先逐一推导每个选项中两个变量的等量关系式，再对照反比例关系的特征逐一排查，最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），则x与y成反比例关系。我们逐一分析选项：
A选项：正方形的面积$S=a^2$，是S与a的平方成正比，不符合乘积为定值的特征，不是反比例关系；
B选项：等边三角形周长$C=3a$，即$\frac{C}{a}=3$（定值），C与a的比值为定值，成正比例关系，不是反比例关系；
C选项：等腰三角形周长C一定时，$C=2a+b$，变形得$b=C-2a$，是一次函数关系，不符合乘积为定值的特征，不是反比例关系；
D选项：路程s一定时，路程=车轮周长×旋转周数，车轮周长为$π d$，因此有$s=π d· n$，变形得$d· n=\frac{s}{π}$，s为定值，因此$\frac{s}{π}$是不为0的常数，即d和n的乘积为定值，二者成反比例关系。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的判定；函数关系式的建立；正比例关系的判定
【点评】
本题考查不同类型函数关系的区分，解题关键是牢牢抓住反比例关系“两个变量乘积为定值”的核心特征，通过列变量关系式逐一判断即可，要注意区分反比例、正比例、一次函数的不同特征，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
3. 分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）。
（1）当圆柱的体积是50 $\mathrm{cm^3}$时，它的高$h$（单位：$\mathrm{cm}$）关于底面圆的面积$S$（单位：$\mathrm{cm^2}$）的函数。
（2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量$y$（单位：$\mathrm{kg}$）关于营养品的售价$x$（单位：元/$\mathrm{kg}$）的函数。
（1）当圆柱的体积是50 $\mathrm{cm^3}$时，它的高$h$（单位：$\mathrm{cm}$）关于底面圆的面积$S$（单位：$\mathrm{cm^2}$）的函数。
$h=\frac{50}{S}$，是反比例函数
。（2）玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量$y$（单位：$\mathrm{kg}$）关于营养品的售价$x$（单位：元/$\mathrm{kg}$）的函数。
$y=\frac{200}{x}$，是反比例函数
。答案：(1) $h=\frac{50}{S}$，是反比例函数；(2) $y=\frac{200}{x}$，是反比例函数
解析：
【分析】
解题时先回忆对应实际问题的等量关系，列出两个变量的等式，再变形得到所求函数的表达式；随后对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k≠0$的函数是反比例函数）判断即可。
第（1）问用到圆柱体积公式：体积=底面积×高，已知体积固定为50$\mathrm{cm^3}$，代入公式变形就能得到$h$关于$S$的表达式；第（2）问用到购物的等量关系：总花费=单价×购买质量，已知总花费为200元，代入变形得到$y$关于$x$的表达式，再分别判断是否符合反比例函数形式。
【解析】
（1）根据圆柱体积公式$V=S· h$，已知$V=50\mathrm{cm^3}$，代入得：
$50 = S· h$，变形得$h=\frac{50}{S}$。
该表达式符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=50$为常数且$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
（2）根据购物总金额公式：总金额=单价×质量，已知总金额为200元，代入得：
$200 = x· y$，变形得$y=\frac{200}{x}$。
该表达式符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=200$为常数且$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
【答案】
(1) $h=\frac{50}{S}$，是反比例函数；(2) $y=\frac{200}{x}$，是反比例函数
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数关系式
3. 圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活和几何实际场景，考察函数关系式的列写与反比例函数的判定，解题核心是先找准等量关系得到函数表达式，再对照反比例函数的定义判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆对应实际问题的等量关系，列出两个变量的等式，再变形得到所求函数的表达式；随后对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k≠0$的函数是反比例函数）判断即可。
第（1）问用到圆柱体积公式：体积=底面积×高，已知体积固定为50$\mathrm{cm^3}$，代入公式变形就能得到$h$关于$S$的表达式；第（2）问用到购物的等量关系：总花费=单价×购买质量，已知总花费为200元，代入变形得到$y$关于$x$的表达式，再分别判断是否符合反比例函数形式。
【解析】
（1）根据圆柱体积公式$V=S· h$，已知$V=50\mathrm{cm^3}$，代入得：
$50 = S· h$，变形得$h=\frac{50}{S}$。
该表达式符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=50$为常数且$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
（2）根据购物总金额公式：总金额=单价×质量，已知总金额为200元，代入得：
$200 = x· y$，变形得$y=\frac{200}{x}$。
该表达式符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=200$为常数且$k≠0$）的形式，因此是反比例函数。
【答案】
(1) $h=\frac{50}{S}$，是反比例函数；(2) $y=\frac{200}{x}$，是反比例函数
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 实际问题列函数关系式
3. 圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活和几何实际场景，考察函数关系式的列写与反比例函数的判定，解题核心是先找准等量关系得到函数表达式，再对照反比例函数的定义判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
4. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，当 $ x=2 $ 时，$ y=6 $。
（1）写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
（2）当 $ x=4 $ 时，求 $ y $ 的值。
（1）写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
（2）当 $ x=4 $ 时，求 $ y $ 的值。
答案：(1) $y=\frac{12}{x}$；(2) $y=3$
解析：
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：
（1）反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $），要确定函数解析式，只需要求出未知常数$ k $的值即可。我们可以将已知的$ x=2、y=6 $代入一般形式，建立关于$ k $的方程，求解得到$ k $后就能写出完整的函数解析式。
（2）在得到确定的函数解析式后，求$ x=4 $时的$ y $值，只需要将$ x=4 $代入解析式，直接计算即可得到对应的函数值。
【解析】
（1）设$ y $与$ x $的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} \ (\boldsymbol{k≠0}) $，
将$ x=2 $，$ y=6 $代入上述解析式，可得：
$ 6=\frac{k}{2} $
解得$ k=2×6=12 $，
因此$ y $与$ x $的函数解析式为$ y=\frac{12}{x} $。
（2）将$ x=4 $代入$ y=\frac{12}{x} $，可得：
$ y=\frac{12}{4}=3 $
【答案】
(1) $ y=\frac{12}{x} $；(2) $ y=3 $
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的理解，以及用待定系数法求解函数解析式的能力，计算难度低，掌握基础概念和方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以分两步思考：
（1）反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $），要确定函数解析式，只需要求出未知常数$ k $的值即可。我们可以将已知的$ x=2、y=6 $代入一般形式，建立关于$ k $的方程，求解得到$ k $后就能写出完整的函数解析式。
（2）在得到确定的函数解析式后，求$ x=4 $时的$ y $值，只需要将$ x=4 $代入解析式，直接计算即可得到对应的函数值。
【解析】
（1）设$ y $与$ x $的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} \ (\boldsymbol{k≠0}) $，
将$ x=2 $，$ y=6 $代入上述解析式，可得：
$ 6=\frac{k}{2} $
解得$ k=2×6=12 $，
因此$ y $与$ x $的函数解析式为$ y=\frac{12}{x} $。
（2）将$ x=4 $代入$ y=\frac{12}{x} $，可得：
$ y=\frac{12}{4}=3 $
【答案】
(1) $ y=\frac{12}{x} $；(2) $ y=3 $
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的理解，以及用待定系数法求解函数解析式的能力，计算难度低，掌握基础概念和方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5. 下列哪些式子表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数？每一个反比例函数相应的 $ k $ 值应是多少？
(1) $ y = -3x^{-1} $；(2) $ xy = -\dfrac{1}{3} $；(3) $ y = 5 - x $；(4) $ y = \dfrac{2}{3x} $；(5) $ y = \dfrac{3a}{x} $（$ a $ 为常数，$ a ≠ 0 $）
(1) $ y = -3x^{-1} $；(2) $ xy = -\dfrac{1}{3} $；(3) $ y = 5 - x $；(4) $ y = \dfrac{2}{3x} $；(5) $ y = \dfrac{3a}{x} $（$ a $ 为常数，$ a ≠ 0 $）
答案：(1)(2)(4)(5)表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，$k$ 值分别是$-3,-\frac{1}{3},\frac{2}{3},3a$
解析：
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义及三种常见表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。接下来将每个式子进行适当变形，对照上述形式逐一判断是否为反比例函数，若符合定义，再提取对应的比例系数$k$即可，判断时需注意$k$必须是不为0的常数，表达式中仅存在$x$、$y$两个变量。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$的形式，其中$k$为比例系数。
逐一分析各式子：
(1) $y = -3x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$的形式，是反比例函数，对应$k=-3$；
(2) 将$xy = -\dfrac{1}{3}$变形可得$y=\frac{-\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=-\frac{1}{3}$；
(3) $y = 5 - x$是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
(4) 将$y = \dfrac{2}{3x}$变形可得$y=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=\frac{2}{3}$；
(5) $y = \dfrac{3a}{x}$中$a$为常数且$a\ne0$，因此$3a$是不为0的常数，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=3a$。
综上，(1)(2)(4)(5)是反比例函数，对应$k$值分别为$-3、-\frac{1}{3}、\frac{2}{3}、3a$。
【答案】
(1)(2)(4)(5)表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，$k$ 值分别是$-3,-\frac{1}{3},\frac{2}{3},3a$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的表达形式
3. 反比例函数的比例系数
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，变形判断时要注意比例系数$k$是包含符号的非零常数，不要误将分子部分的系数拆分错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反比例函数的定义及三种常见表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。接下来将每个式子进行适当变形，对照上述形式逐一判断是否为反比例函数，若符合定义，再提取对应的比例系数$k$即可，判断时需注意$k$必须是不为0的常数，表达式中仅存在$x$、$y$两个变量。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$的形式，其中$k$为比例系数。
逐一分析各式子：
(1) $y = -3x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$的形式，是反比例函数，对应$k=-3$；
(2) 将$xy = -\dfrac{1}{3}$变形可得$y=\frac{-\frac{1}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=-\frac{1}{3}$；
(3) $y = 5 - x$是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
(4) 将$y = \dfrac{2}{3x}$变形可得$y=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=\frac{2}{3}$；
(5) $y = \dfrac{3a}{x}$中$a$为常数且$a\ne0$，因此$3a$是不为0的常数，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，对应$k=3a$。
综上，(1)(2)(4)(5)是反比例函数，对应$k$值分别为$-3、-\frac{1}{3}、\frac{2}{3}、3a$。
【答案】
(1)(2)(4)(5)表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，$k$ 值分别是$-3,-\frac{1}{3},\frac{2}{3},3a$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的表达形式
3. 反比例函数的比例系数
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，变形判断时要注意比例系数$k$是包含符号的非零常数，不要误将分子部分的系数拆分错。
【难度系数】
0.8