20.（12分）如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为1140 m²，求小路的宽.
答案：20. 解:设小路的宽为$x$米. 根据题意,得$(40-x)(32-x)=1140$.整理,得$x^2-72x+140=0$,解得$x_1=2$,$x_2=70$.经检验,$x_2=70$不合题意,舍去.答:小路的宽为2米.
解析：
【分析】
解决本题可利用平移的思想，将分散的4块种植区域拼接为一个完整的矩形：横向小路宽为$x$，拼接后矩形的宽为原种植地的宽减去$x$，即$(32-x)\mathrm{m}$；纵向小路宽为$x$，拼接后矩形的长为原种植地的长减去$x$，即$(40-x)\mathrm{m}$。再根据拼接后矩形的面积等于种植面积$1140\mathrm{m}^2$列出一元二次方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义，舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设小路的宽为$x$米。
根据题意，拼接后的种植区域为矩形，面积等于种植面积，列方程得：
$(40-x)(32-x)=1140$
整理方程：
$x^2-72x+140=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=70$
经检验，$x_2=70＞40$，不符合实际情况，舍去。
答：小路的宽为2米。
【答案】
小路的宽为2米
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的面积类实际应用题，核心技巧是通过平移将分散的种植区域转化为规则矩形，简化列式过程，解题时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
解决本题可利用平移的思想，将分散的4块种植区域拼接为一个完整的矩形：横向小路宽为$x$，拼接后矩形的宽为原种植地的宽减去$x$，即$(32-x)\mathrm{m}$；纵向小路宽为$x$，拼接后矩形的长为原种植地的长减去$x$，即$(40-x)\mathrm{m}$。再根据拼接后矩形的面积等于种植面积$1140\mathrm{m}^2$列出一元二次方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义，舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设小路的宽为$x$米。
根据题意，拼接后的种植区域为矩形，面积等于种植面积，列方程得：
$(40-x)(32-x)=1140$
整理方程：
$x^2-72x+140=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=70$
经检验，$x_2=70＞40$，不符合实际情况，舍去。
答：小路的宽为2米。
【答案】
小路的宽为2米
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的面积类实际应用题，核心技巧是通过平移将分散的种植区域转化为规则矩形，简化列式过程，解题时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
21. (12分)如图(1),单孔拱桥的形状近似抛物线形,建立如图(2)所示的平面直角坐标系,在正常水位时,水面宽度AB为12 m,拱桥的最高点C到水面AB的距离为6 m.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 因为上游水库泄洪,水面宽度变为10 m,求水面上涨的高度.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 因为上游水库泄洪,水面宽度变为10 m,求水面上涨的高度.
答案：21. 解:(1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$,由题意得$B(6,0)$,$C(0,6)$,$\therefore y=ax^2+6$,$\therefore 0=a·6^2+6$,解得$a=-\frac{1}{6}$,$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{6}x^2+6$.
(2) 由题意得,水面宽度的横坐标为$-5$和$5$,$\therefore y=-\frac{1}{6}×5^2+6=-\frac{25}{6}+6=\frac{11}{6}$,$\therefore$ 水面上涨的高度为$\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$.
(2) 由题意得,水面宽度的横坐标为$-5$和$5$,$\therefore y=-\frac{1}{6}×5^2+6=-\frac{25}{6}+6=\frac{11}{6}$,$\therefore$ 水面上涨的高度为$\frac{11}{6}\ \mathrm{m}$.
解析：
【分析】
(1) 观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴上，选择顶点式$y=ax^2+k$计算更简便。首先根据题意确定关键点坐标：水面AB宽12m，因此B点坐标为$(6,0)$，最高点C到水面距离为6m，因此C点坐标为$(0,6)$，将两点坐标代入解析式即可求出参数，得到抛物线解析式。
(2) 水面宽度变为10m时，说明此时水面两端点的横坐标为$\pm5$，将$x=5$代入已求出的解析式，得到的y值就是当前水面相对于原水面（y=0）上涨的高度。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线对称轴为y轴，顶点为$C(0,6)$，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+k$。
由题意得，AB宽度为12m，因此$OB=6\mathrm{m}$，即$B(6,0)$，顶点$C(0,6)$。
将$C(0,6)$代入解析式，得$k=6$，即解析式为$y=ax^2+6$。
将$B(6,0)$代入$y=ax^2+6$，得：
$0=a×6^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$。
(2) 解：当水面宽度变为10m时，水面两端点的横坐标为$5$和$-5$，
将$x=5$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$，得：
$y=-\dfrac{1}{6}×5^2+6=\dfrac{11}{6}$
∵原水面AB对应$y=0$，因此水面上涨的高度为$\dfrac{11}{6}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$；(2) $\dfrac{11}{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数坐标计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用类基础题，解题关键是结合坐标系的几何意义确定抛物线上的关键点坐标，合理选择解析式形式简化运算，求解时要明确坐标对应的实际含义。
【难度系数】
0.7
(1) 观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴上，选择顶点式$y=ax^2+k$计算更简便。首先根据题意确定关键点坐标：水面AB宽12m，因此B点坐标为$(6,0)$，最高点C到水面距离为6m，因此C点坐标为$(0,6)$，将两点坐标代入解析式即可求出参数，得到抛物线解析式。
(2) 水面宽度变为10m时，说明此时水面两端点的横坐标为$\pm5$，将$x=5$代入已求出的解析式，得到的y值就是当前水面相对于原水面（y=0）上涨的高度。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线对称轴为y轴，顶点为$C(0,6)$，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+k$。
由题意得，AB宽度为12m，因此$OB=6\mathrm{m}$，即$B(6,0)$，顶点$C(0,6)$。
将$C(0,6)$代入解析式，得$k=6$，即解析式为$y=ax^2+6$。
将$B(6,0)$代入$y=ax^2+6$，得：
$0=a×6^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$。
(2) 解：当水面宽度变为10m时，水面两端点的横坐标为$5$和$-5$，
将$x=5$代入$y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$，得：
$y=-\dfrac{1}{6}×5^2+6=\dfrac{11}{6}$
∵原水面AB对应$y=0$，因此水面上涨的高度为$\dfrac{11}{6}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{6}x^2+6$；(2) $\dfrac{11}{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数坐标计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用类基础题，解题关键是结合坐标系的几何意义确定抛物线上的关键点坐标，合理选择解析式形式简化运算，求解时要明确坐标对应的实际含义。
【难度系数】
0.7
22. (12分)已知二次函数$y=x^2 -2x -3$。
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)当$0≤x≤5$时，求该二次函数的函数值y的取值范围。
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)当$0≤x≤5$时，求该二次函数的函数值y的取值范围。
答案：
22. 解:(1) $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
(2) 由图可知,当$x=1$时,$y$有最小值为$-4$,当$x=5$时,$y$有最大值为$12$,$\therefore -4≤ y≤12$.
22. 解:(1) $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
(2) 由图可知,当$x=1$时,$y$有最小值为$-4$,当$x=5$时,$y$有最大值为$12$,$\therefore -4≤ y≤12$.
解析：
【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，直接读取即可；也可代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。
(2) 求指定自变量区间内的函数值范围，需先判断二次函数的开口方向和对称轴：开口向上的抛物线，顶点处取最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，距离越远对应函数值越大，分别计算最值即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-3\\&=x^2-2x+1-1-3\\&=(x-1)^2-4\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 二次函数$y=x^2-2x-3$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤x≤5$的范围内：
当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$；
分别计算区间端点的函数值：
$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
$x=5$时，$y=5^2-2×5-3=12$。
因为$12＞-3$，所以该区间内$y$的最大值为12，因此函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤12$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
(2) 由图可知,当$x=1$时,$y$有最小值为$-4$,当$x=5$时,$y$有最大值为$12$,$\therefore -4≤ y≤12$.
【知识点】
二次函数顶点坐标求解；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，重点考查配方法化顶点式的技能，以及结合函数图象分析取值范围的数形结合思想，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，直接读取即可；也可代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。
(2) 求指定自变量区间内的函数值范围，需先判断二次函数的开口方向和对称轴：开口向上的抛物线，顶点处取最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，距离越远对应函数值越大，分别计算最值即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-3\\&=x^2-2x+1-1-3\\&=(x-1)^2-4\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 二次函数$y=x^2-2x-3$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
在$0≤x≤5$的范围内：
当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$；
分别计算区间端点的函数值：
$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
$x=5$时，$y=5^2-2×5-3=12$。
因为$12＞-3$，所以该区间内$y$的最大值为12，因此函数值$y$的取值范围为$-4≤y≤12$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
(2) 由图可知,当$x=1$时,$y$有最小值为$-4$,当$x=5$时,$y$有最大值为$12$,$\therefore -4≤ y≤12$.
【知识点】
二次函数顶点坐标求解；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，重点考查配方法化顶点式的技能，以及结合函数图象分析取值范围的数形结合思想，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
23. (12分)如图，一次函数$y=x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于点$A(m,4)$，与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$。
(1) 求$b$的值；
(2) 已知$P$为反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上一点，$S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$，求点$P$的坐标。
(1) 求$b$的值；
(2) 已知$P$为反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上一点，$S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$，求点$P$的坐标。
答案：23. 解:(1) $\because$ 点$A(m,4)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,$\therefore 4=\frac{4}{m}$,解得$m=1$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(1,4)$.又$\because$ 点$A(1,4)$在一次函数$y=x+b$的图象上,$\therefore 4=1+b$,解得$b=3$,$\therefore b$的值为$3$.
(2) 由(1)可知:直线$AB$的解析式为$y=x+3$.当$y=0$时,$x+3=0$,解得$x=-3$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,0)$,$\therefore OB=3$;当$x=0$时,$y=1×0+3=3$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,3)$,$\therefore OC=3$.$\because S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$,$\therefore \frac{1}{2}· OB· |y_P|=2×\frac{1}{2}· OC· x_A$,即$\frac{1}{2}×3|y_P|=2×\frac{1}{2}×3×1$,解得$y_P=\pm2$,当$y=2$时,$\frac{4}{x}=2$,解得$x=2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,2)$;当$y=-2$时,$\frac{4}{x}=-2$,解得$x=-2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-2,-2)$.综上所述,点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-2,-2)$.
(2) 由(1)可知:直线$AB$的解析式为$y=x+3$.当$y=0$时,$x+3=0$,解得$x=-3$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,0)$,$\therefore OB=3$;当$x=0$时,$y=1×0+3=3$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,3)$,$\therefore OC=3$.$\because S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$,$\therefore \frac{1}{2}· OB· |y_P|=2×\frac{1}{2}· OC· x_A$,即$\frac{1}{2}×3|y_P|=2×\frac{1}{2}×3×1$,解得$y_P=\pm2$,当$y=2$时,$\frac{4}{x}=2$,解得$x=2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,2)$;当$y=-2$时,$\frac{4}{x}=-2$,解得$x=-2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-2,-2)$.综上所述,点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-2,-2)$.
解析：
【分析】
(1) 求b的值首先需要确定点A的坐标：已知点A在反比例函数图象上，将A(m,4)代入反比例函数解析式即可求出m，得到A点坐标后再代入一次函数$y=x+b$就能求出b的值。
(2) 求点P坐标时，先根据第一问求出的b得到一次函数的完整解析式，分别求出一次函数与x轴交点B、y轴交点C的坐标，计算出$△ OAC$的面积；再根据两个三角形的面积关系，结合OB的长度求出点P纵坐标的绝对值，最后将纵坐标代入反比例函数解析式求出对应横坐标，注意反比例函数分布在第一、三象限，纵坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(m,4)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$ 代入得$4=\frac{4}{m}$，解得$m=1$，即点$A$的坐标为$(1,4)$。
又$\because$ 点$A(1,4)$在一次函数$y=x+b$的图象上，
$\therefore$ 代入得$4=1+b$，解得$b=3$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=x+3$：
当$y=0$时，$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore$ 点$B$坐标为$(-3,0)$，$OB=3$；
当$x=0$时，$y=0+3=3$，$\therefore$ 点$C$坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
计算$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × x_A = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$，
由$S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$，得$S_{△ OBP}=2×\frac{3}{2}=3$。
设点$P$纵坐标为$y_P$，$△ OBP$以$OB$为底，$|y_P|$为高，
$\therefore \frac{1}{2} × 3 × |y_P|=3$，解得$|y_P|=2$，即$y_P=\pm2$。
将$y_P$代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$：
当$y_P=2$时，$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即$P(2,2)$；
当$y_P=-2$时，$-2=\frac{4}{x}$，解得$x=-2$，即$P(-2,-2)$。
【答案】
(1) $b=3$；(2) 点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-2,-2)$
【知识点】
1. 反比例函数性质
2. 一次函数解析式求解
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，结合面积公式求点坐标时，要注意纵坐标的绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求b的值首先需要确定点A的坐标：已知点A在反比例函数图象上，将A(m,4)代入反比例函数解析式即可求出m，得到A点坐标后再代入一次函数$y=x+b$就能求出b的值。
(2) 求点P坐标时，先根据第一问求出的b得到一次函数的完整解析式，分别求出一次函数与x轴交点B、y轴交点C的坐标，计算出$△ OAC$的面积；再根据两个三角形的面积关系，结合OB的长度求出点P纵坐标的绝对值，最后将纵坐标代入反比例函数解析式求出对应横坐标，注意反比例函数分布在第一、三象限，纵坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(m,4)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$ 代入得$4=\frac{4}{m}$，解得$m=1$，即点$A$的坐标为$(1,4)$。
又$\because$ 点$A(1,4)$在一次函数$y=x+b$的图象上，
$\therefore$ 代入得$4=1+b$，解得$b=3$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=x+3$：
当$y=0$时，$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore$ 点$B$坐标为$(-3,0)$，$OB=3$；
当$x=0$时，$y=0+3=3$，$\therefore$ 点$C$坐标为$(0,3)$，$OC=3$。
计算$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × x_A = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$，
由$S_{△ OBP}=2S_{△ OAC}$，得$S_{△ OBP}=2×\frac{3}{2}=3$。
设点$P$纵坐标为$y_P$，$△ OBP$以$OB$为底，$|y_P|$为高，
$\therefore \frac{1}{2} × 3 × |y_P|=3$，解得$|y_P|=2$，即$y_P=\pm2$。
将$y_P$代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$：
当$y_P=2$时，$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即$P(2,2)$；
当$y_P=-2$时，$-2=\frac{4}{x}$，解得$x=-2$，即$P(-2,-2)$。
【答案】
(1) $b=3$；(2) 点$P$的坐标为$(2,2)$或$(-2,-2)$
【知识点】
1. 反比例函数性质
2. 一次函数解析式求解
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，结合面积公式求点坐标时，要注意纵坐标的绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7