【分析】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题思路如下：第一步，先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，化简得到关于$k$的表达式；第三步，分别根据三种根的情况（两个相等实根对应$\Delta=0$，两个不等实根对应$\Delta＞0$，无实根对应$\Delta＜0$），列出关于$k$的方程或不等式，求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - (4k + 1)x + 4k^2 - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(4k+1)$，常数项$c=4k^2-2$。
先计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(4k+1)]^2 - 4×1×(4k^2 - 2) \\&= 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 + 8 \\&= 8k + 9\end{aligned}$
（1）当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即：
$8k + 9 = 0$
解得：$k=-\frac{9}{8}$
（2）当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即：
$8k + 9 ＞ 0$
解得：$k＞-\frac{9}{8}$
（3）当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即：
$8k + 9 ＜ 0$
解得：$k＜-\frac{9}{8}$
【答案】
(1) $k = -\frac{9}{8}$；(2) $k＞-\frac{9}{8}$；(3) $k＜-\frac{9}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确计算判别式，再根据根的情况建立对应的等量或不等量关系求解，计算过程中要注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

【分析】
题目给出的方程二次项系数含有参数k，未明确说明是一元二次方程，因此需分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，可直接求解判断是否存在实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，有实数根的条件是判别式Δ≥0，代入对应系数求解不等式得到该情况下k的范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为一元一次方程：$-x+1=0$，解得$x=1$，符合有实数根的要求，因此$k=0$满足条件；
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=k$，$b=-1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4× k× 1 = 1-4k ≥ 0$
解不等式得$k ≤ \frac{1}{4}$，结合$k≠0$的前提，该情况下k的取值范围为$k ≤ \frac{1}{4}$且$k≠0$。
将两种情况的取值范围合并，可得k的总取值范围。
【答案】
$k≤ \frac{1}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易默认方程为一元二次方程，忽略$k=0$的情况导致漏解。求解二次项系数含参数的方程有实根的问题时，一定要先判断方程类型，分类讨论后再结合对应方程的性质求解，最后合并所有符合条件的取值范围。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）证明方程总有实数根时，由于方程的二次项系数含有参数m，需先分类讨论方程类型：①当m=1时，方程为一元一次方程，直接求解即可判断有实数根；②当m≠1时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ，判断Δ的符号即可证明总有实数根。
（2）求方程有两个不相等的整数根时的整数m，首先需保证方程为一元二次方程（即m≠1），且判别式Δ＞0得到两根不相等的前提；再通过因式分解求出方程的两个根，结合“根为整数、两根不相等”的条件，即可确定m的取值。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$m≠1$时，$(m-1)x^2 - mx +1=0$是关于$x$的一元二次方程，
根的判别式$\Delta=(-m)^2 -4×(m-1)×1=m^2-4m+4=(m-2)^2≥0$，
∵ 不论$m$为何值时，$(m-2)^2≥0$恒成立，
∴ $\Delta≥0$，即此时方程总有实数根；
②当$m=1$时，$(m-1)x^2 - mx +1=0$是关于$x$的一元一次方程，
方程化简为$-x+1=0$，解得$x=1$，即此时方程有实数根$x=1$。
综上，不论$m$为何值时，方程总有实数根。
（2）
∵ 方程有两个不相等的整数根，
∴ 方程为一元二次方程，即$m≠1$，且$\Delta=(m-2)^2＞0$，即$m≠2$。
将$(m-1)x^2 - mx +1=0$分解因式得$[(m-1)x-1](x-1)=0$，
解得$x_1=\frac{1}{m-1}$，$x_2=1$。
∵ 方程的两个根为不相等的整数，$x_2=1$为整数，
∴ $x_1=\frac{1}{m-1}$需为整数，且$\frac{1}{m-1}≠1$，
∵ m为整数，
∴ $m-1$是1的整数约数，即$m-1=±1$，
当$m-1=1$时，$m=2$，此时$x_1=1$，两根相等，不符合要求，舍去；
当$m-1=-1$时，$m=0$，此时$x_1=-1$，两根为-1和1，符合要求。
∴ $m=0$。
【答案】
（1）不论$m$为何值，方程总有实数根，证明成立；（2）$m=0$
【知识点】
根的判别式，分类讨论思想，因式分解解方程
【点评】
本题核心考查含参数方程的根的判定，易错点是容易忽略二次项系数为0时方程为一元一次方程的情况，第二问需紧扣“两个不相等的整数根”的约束条件，既要保证根为整数，也要排除两根相等的情况，能够有效考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先抓住题目给出的两个核心条件：一是方程满足a+b+c=0，二是方程有两个相等的实数根。我们可以先从第一个条件出发，将b用含a、c的代数式表示，再结合一元二次方程有两个相等实根时判别式等于0的性质，把b的表达式代入判别式，通过代数运算化简，就能推导出a、b、c之间的关系，进而判断正确选项。
【解析】
解：已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a+b+c=0$，移项可得：
$b = -a - c$ ①
又因为方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 0$ ②
将①代入②中，得：
$(-a - c)^2 - 4ac = 0$
展开并化简左边：
$a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = 0$
由完全平方公式可得：
$(a - c)^2 = 0$
因此$a = c$。
将$a = c$代入$b = -a - c$，得$b = -2a$，显然$a≠b$、$b≠c$、$a≠b≠c$，只有A选项符合结论。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握根的判别式与方程根个数的对应关系，同时能准确进行代数式的代入与化简，是此类考点的常见考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
要得到一元二次方程的求根公式，可通过配方法对一元二次方程的一般形式推导得出，也可结合已学的公式记忆作答：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，结合题目给出的$b^2-4ac≥0$的前提（保证根号内的数非负，方程存在实数根），推导或记忆时注意不要漏写±号，分母的2a也不要遗漏。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，且$b^2-4ac≥0$：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$；
4. 整理为完全平方形式：左侧为完全平方式，右侧通分计算得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
5. 开平方：因$b^2-4ac≥0$，两边同时开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
6. 移项整理得求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法、根的判别式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对一元二次方程求根公式的掌握，是用公式法求解一元二次方程的核心基础，需要熟练记忆公式的形式，明确公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题第一步先把给定方程整理为一般形式，才能准确确定对应系数$a、b、c$，注意系数要携带本身的符号；再代入判别式公式$b^2-4ac$计算判别式的值；最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算方程的根，结果需化为最简形式。
【解析】
先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 8x - 1 = 0$
1. 确定各项系数：二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-8$，常数项$c=-1$；
2. 计算判别式：
$b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4×2×(-1) = 64 + 8 = 72$；
3. 代入求根公式计算根：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{8\pm\sqrt{72}}{2×2} = \frac{8\pm6\sqrt{2}}{4}$
约分后得$x = \frac{4\pm3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$a=2$；$b=-8$；$c=-1$；$b^2-4ac=72$；根为$x=\frac{4±3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程转化为一般形式，确定系数时要注意保留各项的符号，计算判别式和求根时要正确化简二次根式，避免因符号、计算化简失误丢分。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）求解方程①时，先通过去括号、移项将方程整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法计算即可得到两个解；
（2）已知方程的一个解，根据方程根的定义，将x=6代入含参数a的方程，可求出a的值，再将a代回原方程求解得到另一个根，最后对照已知方程的系数、常数项规律，判断该方程是第几个即可；
（3）观察前3个方程的系数、常数项的变化规律，归纳出第n个方程的通用形式，再结合前几个方程解的特征写出通解，最后将两个解分别代入方程左右两边验证相等即可。
【解析】
(1) 解方程$6(x-2)-x=x(x-2)$：
去括号得：$6x-12-x=x^2-2x$，
移项整理为一元二次方程一般形式：$x^2-7x+12=0$，
其中$a=1$，$b=-7$，$c=12$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×1×12=1＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得$x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2×1}$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 把$x=6$代入方程$12(x-a)-x=x(x-a)$：
得$12(6-a)-6=6(6-a)$，
化简求解：$72-12a-6=36-6a$，
移项合并同类项得：$-6a=-30$，解得$a=5$。
将$a=5$代回原方程得$12(x-5)-x=x(x-5)$，
整理为一般形式：$x^2-16x+60=0$，
其中$a=1$，$b=-16$，$c=60$，
判别式$\Delta=(-16)^2-4×1×60=16＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{16\pm\sqrt{16}}{2×1}$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$，即另一个解为10。
观察已知方程规律：第n个方程左边括号外系数为$2(n+2)$，括号内常数项为$n+1$，令$2(n+2)=12$，得$n=4$，此时括号内常数项为$4+1=5$，和$a=5$一致，因此该方程是这列方程中的第4个。
(3) 根据规律可得第n个方程为：$2(n+2)[x-(n+1)] - x = x[x-(n+1)]$，
结合前几个方程解的特征，得它的解为$x_1=n+2$，$x_2=2n+2$。
验证：
①把$x=n+2$代入方程左边：$2(n+2)[(n+2)-(n+1)]-(n+2)=2(n+2)-(n+2)=n+2$，
代入方程右边：$(n+2)[(n+2)-(n+1)]=n+2$，左边=右边，故$x=n+2$是方程的解；
②把$x=2n+2$代入方程左边：$2(n+2)[(2n+2)-(n+1)]-(2n+2)=2(n+2)(n+1)-2n-2=2n^2+4n+2$，
代入方程右边：$(2n+2)[(2n+2)-(n+1)]=(2n+2)(n+1)=2n^2+4n+2$，左边=右边，故$x=2n+2$是方程的解。
【答案】
(1) $3$，$4$；
(2) $a=5$，另一个解为$10$，是这列方程中的第4个；
(3) 第$n$个方程为$2(n+2)(x-n-1)-x=x(x-n-1)$，解为$x_1=n+2$，$x_2=2n+2$，经验证两个解均满足方程。
【知识点】
一元二次方程的解法，方程根的定义，规律探究
【点评】
本题结合了一元二次方程基础计算与规律探究，既考查了公式法解方程、根的代入验证等基础运算能力，也考查了归纳推理的能力，需要在掌握一元二次方程相关知识的前提下，观察已知式子的特征总结通用规律。
【难度系数】
0.65