问题 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$P$为$△ ABC$内一点,且$PA=3$,$PB=1$,$PC=2$,求$∠ BPC$的度数.
名师指导
要充分利用题目中的信息,将$PA=3$,$PB=1$,$PC=2$联系在一起.因此,将$△ APC$以点$C$为旋转中心,逆时针旋转$90°$,这样点$A$与点$B$重合,点$P$的对应点是$P'$,$CP'=CP=2$,$BP'=AP=3$,连接$PP'$,从而将$∠ BPC$分成了$∠ P'PC$和$∠ P'PB$这两个可解的角.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
名师指导
要充分利用题目中的信息,将$PA=3$,$PB=1$,$PC=2$联系在一起.因此,将$△ APC$以点$C$为旋转中心,逆时针旋转$90°$,这样点$A$与点$B$重合,点$P$的对应点是$P'$,$CP'=CP=2$,$BP'=AP=3$,连接$PP'$,从而将$∠ BPC$分成了$∠ P'PC$和$∠ P'PB$这两个可解的角.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案：解：
将$△ APC$以点$C$为旋转中心，逆时针旋转$90°$，使点$A$与点$B$重合，得到$△ BP'C$，连接$PP'$。
由旋转的性质可得：$CP'=CP=2$，$BP'=AP=3$，$∠ PCP'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PCP'$中，由勾股定理得：
$PP'^2 = CP^2 + CP'^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
又$CP'=CP$，$∠ PCP'=90°$，因此$△ PCP'$是等腰直角三角形，可得$∠ P'PC=45°$。
在$△ P'PB$中，$PB=1$，$PP'^2=8$，$BP'=3$，
满足$PB^2 + PP'^2 = 1^2 + 8 = 9 = 3^2 = BP'^2$，
由勾股定理的逆定理可知，$△ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$。
因此$∠ BPC = ∠ P'PC + ∠ P'PB = 45° + 90° = 135°$。
答：$∠ BPC$的度数为$135°$。
将$△ APC$以点$C$为旋转中心，逆时针旋转$90°$，使点$A$与点$B$重合，得到$△ BP'C$，连接$PP'$。
由旋转的性质可得：$CP'=CP=2$，$BP'=AP=3$，$∠ PCP'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PCP'$中，由勾股定理得：
$PP'^2 = CP^2 + CP'^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
又$CP'=CP$，$∠ PCP'=90°$，因此$△ PCP'$是等腰直角三角形，可得$∠ P'PC=45°$。
在$△ P'PB$中，$PB=1$，$PP'^2=8$，$BP'=3$，
满足$PB^2 + PP'^2 = 1^2 + 8 = 9 = 3^2 = BP'^2$，
由勾股定理的逆定理可知，$△ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$。
因此$∠ BPC = ∠ P'PC + ∠ P'PB = 45° + 90° = 135°$。
答：$∠ BPC$的度数为$135°$。
解析：
【分析】
本题要求∠BPC的度数，已知PA、PB、PC的长度，但三条线段分散在不同三角形中，无法直接计算角度。观察到△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，具备旋转构造的条件，可通过将△APC绕点C逆时针旋转90°，使A与B重合，把分散的线段集中到△PCP'和△P'PB中：先利用旋转性质得到相等的边和∠PCP'=90°，求解△PCP'得到∠P'PC的度数，再利用勾股定理逆定理判断△P'PB的形状得到∠P'PB的度数，两个角相加即可得到∠BPC的度数。
【解析】
将△APC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°，使点A与点B重合，得到△BP'C，连接PP'。
由旋转的性质可得：$CP'=CP=2$，$BP'=AP=3$，$∠PCP'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△PCP'$中，由勾股定理得：
$PP'^2 = CP^2 + CP'^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
又$CP'=CP$，$∠PCP'=90°$，因此$△PCP'$是等腰直角三角形，可得$∠P'PC=45°$。
在$△P'PB$中，$PB=1$，$PP'^2=8$，$BP'=3$，
满足$PB^2 + PP'^2 = 1^2 + 8 = 9 = 3^2 = BP'^2$，
由勾股定理的逆定理可知，$△P'PB$是直角三角形，且$∠P'PB=90°$。
因此$∠BPC = ∠P'PC + ∠P'PB = 45° + 90° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转在几何计算中的典型应用，通过旋转变换将分散的线段条件集中，转化为可解的特殊三角形问题，体现了转化的数学思想，是求解不规则角度的常用方法，需要熟练掌握旋转辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求∠BPC的度数，已知PA、PB、PC的长度，但三条线段分散在不同三角形中，无法直接计算角度。观察到△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，具备旋转构造的条件，可通过将△APC绕点C逆时针旋转90°，使A与B重合，把分散的线段集中到△PCP'和△P'PB中：先利用旋转性质得到相等的边和∠PCP'=90°，求解△PCP'得到∠P'PC的度数，再利用勾股定理逆定理判断△P'PB的形状得到∠P'PB的度数，两个角相加即可得到∠BPC的度数。
【解析】
将△APC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°，使点A与点B重合，得到△BP'C，连接PP'。
由旋转的性质可得：$CP'=CP=2$，$BP'=AP=3$，$∠PCP'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△PCP'$中，由勾股定理得：
$PP'^2 = CP^2 + CP'^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
又$CP'=CP$，$∠PCP'=90°$，因此$△PCP'$是等腰直角三角形，可得$∠P'PC=45°$。
在$△P'PB$中，$PB=1$，$PP'^2=8$，$BP'=3$，
满足$PB^2 + PP'^2 = 1^2 + 8 = 9 = 3^2 = BP'^2$，
由勾股定理的逆定理可知，$△P'PB$是直角三角形，且$∠P'PB=90°$。
因此$∠BPC = ∠P'PC + ∠P'PB = 45° + 90° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转在几何计算中的典型应用，通过旋转变换将分散的线段条件集中，转化为可解的特殊三角形问题，体现了转化的数学思想，是求解不规则角度的常用方法，需要熟练掌握旋转辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在△ABC中,AB=AC,点P在边BC上.△ACQ由△ABP旋转得到,下列说法错误的是 (
A.旋转中心是点A
B.BC=AQ
C.∠BAC=∠PAQ
D.AC平分∠BCQ
B
)A.旋转中心是点A
B.BC=AQ
C.∠BAC=∠PAQ
D.AC平分∠BCQ
答案：1. B.
解析：
【分析】
解决本题首先要明确旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先根据“△ACQ由△ABP旋转得到”确定对应顶点：A对应A，B对应C，P对应Q，再结合等腰三角形AB=AC的条件，逐一分析每个选项是否符合性质即可。
【解析】
∵△ACQ由△ABP旋转得到，对应顶点为A→A，B→C，P→Q，
∴旋转中心是点A，故A选项正确，不符合题意；
由旋转性质可得：△ABP≌△ACQ，旋转角∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∠ACQ=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACQ，即AC平分∠BCQ，故D选项正确，不符合题意；
∵∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC，
∴∠BAC=∠PAQ，故C选项正确，不符合题意；
由旋转得AQ=AP，AP和BC不一定相等，故BC=AQ不一定成立，B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题，解题的关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合等腰三角形等边对等角的性质逐一验证选项即可，易错点是容易混淆旋转的对应边。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先根据“△ACQ由△ABP旋转得到”确定对应顶点：A对应A，B对应C，P对应Q，再结合等腰三角形AB=AC的条件，逐一分析每个选项是否符合性质即可。
【解析】
∵△ACQ由△ABP旋转得到，对应顶点为A→A，B→C，P→Q，
∴旋转中心是点A，故A选项正确，不符合题意；
由旋转性质可得：△ABP≌△ACQ，旋转角∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∠ACQ=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACQ，即AC平分∠BCQ，故D选项正确，不符合题意；
∵∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC，
∴∠BAC=∠PAQ，故C选项正确，不符合题意；
由旋转得AQ=AP，AP和BC不一定相等，故BC=AQ不一定成立，B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题，解题的关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合等腰三角形等边对等角的性质逐一验证选项即可，易错点是容易混淆旋转的对应边。
【难度系数】
0.8
2. 如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转$90°$，得线段PE，连接BE，则$∠ CBE$等于（
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
C
）A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案：2. C.
解析：
【分析】
遇到正方形与旋转结合的几何题，优先利用旋转性质得到相等的边和角，再结合正方形的直角特征构造全等三角形，将未知角转化为特殊角求解。具体思路：1. 由旋转得PD=PE、∠DPE=90°，可推出∠ADP=∠EPG；2. 过E作AB延长线的垂线，构造两个直角三角形，利用角角边证明全等；3. 由全等的边相等关系推导△BEG为等腰直角三角形，得到∠EBG的度数，再结合正方形邻边垂直的特征求出∠CBE。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴ ∠ADP + ∠APD = 90°，∠CBG=180°-∠ABC=90°。
∵ 线段PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，
∴ PD=PE，∠DPE=90°，
∴ ∠APD + ∠EPG = 90°，
∴ ∠ADP = ∠EPG。
在△ADP和△GPE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠G=90° \\∠ADP=∠GPE \\PD=PE\end{array} $
∴ △ADP ≌ △GPE（AAS），
∴ AP=EG，AD=PG。
又
∵ AD=AB，
∴ PG=AB，
∵ PG = PB + BG，AB = AP + PB，
∴ PB + BG = AP + PB，即AP=BG，
∴ EG=BG，
又
∵ ∠G=90°，
∴ △BEG是等腰直角三角形，
∴ ∠EBG=45°，
∴ ∠CBE = ∠CBG - ∠EBG = 90° - 45° = 45°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将旋转带来的边、角关系转化为全等条件，进而推导特殊角的度数，考查学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
遇到正方形与旋转结合的几何题，优先利用旋转性质得到相等的边和角，再结合正方形的直角特征构造全等三角形，将未知角转化为特殊角求解。具体思路：1. 由旋转得PD=PE、∠DPE=90°，可推出∠ADP=∠EPG；2. 过E作AB延长线的垂线，构造两个直角三角形，利用角角边证明全等；3. 由全等的边相等关系推导△BEG为等腰直角三角形，得到∠EBG的度数，再结合正方形邻边垂直的特征求出∠CBE。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴ ∠ADP + ∠APD = 90°，∠CBG=180°-∠ABC=90°。
∵ 线段PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，
∴ PD=PE，∠DPE=90°，
∴ ∠APD + ∠EPG = 90°，
∴ ∠ADP = ∠EPG。
在△ADP和△GPE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠G=90° \\∠ADP=∠GPE \\PD=PE\end{array} $
∴ △ADP ≌ △GPE（AAS），
∴ AP=EG，AD=PG。
又
∵ AD=AB，
∴ PG=AB，
∵ PG = PB + BG，AB = AP + PB，
∴ PB + BG = AP + PB，即AP=BG，
∴ EG=BG，
又
∵ ∠G=90°，
∴ △BEG是等腰直角三角形，
∴ ∠EBG=45°，
∴ ∠CBE = ∠CBG - ∠EBG = 90° - 45° = 45°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将旋转带来的边、角关系转化为全等条件，进而推导特殊角的度数，考查学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 在数学拓展课上，有两个全等的含$45°$角的直角三角板$ADE$，$ABC$重叠在一起.李老师将三角板$ADE$绕点$A$顺时针旋转(保持$∠ BAE＜90°$)，延长线段$DE$，与线段$CB$的延长线交于点$F$(如图所示)，随着$∠ BAE$的增大，$CF-EF$的值 （
A.一直变小
B.保持不变
C.先变小，后变大
D.一直变大
B
）A.一直变小
B.保持不变
C.先变小，后变大
D.一直变大
答案：3. B.
解析：
【分析】
本题属于旋转背景下的线段差变化规律探究题，解题思路如下：首先根据旋转的性质和全等三角板的特征，得到相等的边和角；接着通过连接AF构造直角三角形，利用HL证明直角三角形全等，得到对应边相等的关系；最后将CF拆分为BC与BF的和，结合全等得到的线段相等关系对CF-EF进行化简，判断化简结果是否为定值即可得出结论。
【解析】
连接AF，
∵ 三角板ADE与ABC是全等的含45°角的直角三角板，旋转不改变图形的大小和形状，
∴ $AD=AB$，$DE=BC$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$△ ADF$和$△ ABF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$\begin{cases} AD=AB \\ AF=AF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABF$（HL），
∴ $DF=BF$。
由线段和的关系可得：$DF=DE+EF$，$CF=BC+BF$，
对$CF-EF$进行转化：
$\begin{aligned} CF-EF&=BC+BF-EF \\ &=BC+DF-EF \\ &=BC+DE+EF-EF \\ &=BC+DE \end{aligned}$
∵ $BC$和$DE$都是三角板的固定边长，为定值，
∴ $CF-EF$的值保持不变。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将旋转性质与全等三角形的证明结合，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将动态的线段差转化为静态的定长线段之和，解题的关键是合理构造辅助线找到线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.6
本题属于旋转背景下的线段差变化规律探究题，解题思路如下：首先根据旋转的性质和全等三角板的特征，得到相等的边和角；接着通过连接AF构造直角三角形，利用HL证明直角三角形全等，得到对应边相等的关系；最后将CF拆分为BC与BF的和，结合全等得到的线段相等关系对CF-EF进行化简，判断化简结果是否为定值即可得出结论。
【解析】
连接AF，
∵ 三角板ADE与ABC是全等的含45°角的直角三角板，旋转不改变图形的大小和形状，
∴ $AD=AB$，$DE=BC$，$∠ D=∠ ABC=90°$，
∴ $∠ ABF=180°-∠ ABC=90°$，即$△ ADF$和$△ ABF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ABF$中：
$\begin{cases} AD=AB \\ AF=AF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABF$（HL），
∴ $DF=BF$。
由线段和的关系可得：$DF=DE+EF$，$CF=BC+BF$，
对$CF-EF$进行转化：
$\begin{aligned} CF-EF&=BC+BF-EF \\ &=BC+DF-EF \\ &=BC+DE+EF-EF \\ &=BC+DE \end{aligned}$
∵ $BC$和$DE$都是三角板的固定边长，为定值，
∴ $CF-EF$的值保持不变。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将旋转性质与全等三角形的证明结合，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将动态的线段差转化为静态的定长线段之和，解题的关键是合理构造辅助线找到线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.6