1. 有下列四个命题：
① 直径相等的两个圆是等圆；② 长度相等的两条弧是等弧；③ 圆中最长的弦是经过圆心的弦；④ 一条弦分圆为两条弧，这两条弧中必有一条是优弧，另一条是劣弧.
其中，正确的命题是 （
A.①③④
B.①③
C.①④
D.①
① 直径相等的两个圆是等圆；② 长度相等的两条弧是等弧；③ 圆中最长的弦是经过圆心的弦；④ 一条弦分圆为两条弧，这两条弧中必有一条是优弧，另一条是劣弧.
其中，正确的命题是 （
B
）A.①③④
B.①③
C.①④
D.①
答案：1. B.
解析：
【分析】
本题属于圆的基本概念辨析题，解题时需紧扣等圆、等弧、弦、优弧劣弧的定义，逐个判断4个命题的正误：首先回忆各概念的核心特征，再验证命题描述是否符合定义，还要注意特殊情况（如弦为直径的特殊情况），最终选出正确命题对应的选项。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 分析命题①：圆的大小由半径决定，直径相等则两个圆的半径相等，能够完全重合，符合等圆的定义，因此直径相等的两个圆是等圆，命题①正确。
2. 分析命题②：等弧的定义是能够完全重合的两条弧，仅长度相等的弧，若所在圆的半径不同，对应弧的度数不同，无法完全重合，不属于等弧，命题②错误。
3. 分析命题③：弦是连接圆上任意两点的线段，圆中最长的弦是直径，直径是经过圆心的弦，因此圆中最长的弦是经过圆心的弦，命题③正确。
4. 分析命题④：当这条弦是直径时，它将圆分成的两条弧都是半圆，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，因此“必有一条优弧、一条劣弧”的说法不成立，命题④错误。
综上，正确的命题是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等圆的判定、等弧的定义、弦与弧的概念
【点评】
本题是基础的概念辨析题，易错点在于对等弧定义的理解不到位，以及忽略弦为直径时分圆得到两个半圆的特殊情况，掌握圆相关基本概念的内涵是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题属于圆的基本概念辨析题，解题时需紧扣等圆、等弧、弦、优弧劣弧的定义，逐个判断4个命题的正误：首先回忆各概念的核心特征，再验证命题描述是否符合定义，还要注意特殊情况（如弦为直径的特殊情况），最终选出正确命题对应的选项。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 分析命题①：圆的大小由半径决定，直径相等则两个圆的半径相等，能够完全重合，符合等圆的定义，因此直径相等的两个圆是等圆，命题①正确。
2. 分析命题②：等弧的定义是能够完全重合的两条弧，仅长度相等的弧，若所在圆的半径不同，对应弧的度数不同，无法完全重合，不属于等弧，命题②错误。
3. 分析命题③：弦是连接圆上任意两点的线段，圆中最长的弦是直径，直径是经过圆心的弦，因此圆中最长的弦是经过圆心的弦，命题③正确。
4. 分析命题④：当这条弦是直径时，它将圆分成的两条弧都是半圆，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，因此“必有一条优弧、一条劣弧”的说法不成立，命题④错误。
综上，正确的命题是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等圆的判定、等弧的定义、弦与弧的概念
【点评】
本题是基础的概念辨析题，易错点在于对等弧定义的理解不到位，以及忽略弦为直径时分圆得到两个半圆的特殊情况，掌握圆相关基本概念的内涵是解题的核心。
【难度系数】
0.7
2. 已知$\odot O$的直径长为4，点A，B在$\odot O$上，则AB的长不可能是（
A.2
B.3
C.4
D.8
D
）A.2
B.3
C.4
D.8
答案：2. D.
解析：
【分析】
要判断弦AB的长不可能是哪个值，首先回忆圆中弦的相关性质：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦。已知圆的直径长度，就能确定圆内所有弦的长度取值范围，再对比各个选项即可得出答案。
【解析】
已知$\odot O$的直径长为4，根据“直径是圆中最长的弦”，可得$\odot O$中任意一条弦的长度都不超过直径的长度，即弦AB的长度满足$0＜AB≤4$。
逐一分析选项：
A. $2≤4$，符合取值范围，AB长可能为2；
B. $3≤4$，符合取值范围，AB长可能为3；
C. $4$是直径长度，符合取值范围，AB长可能为4；
D. $8＞4$，超出取值范围，AB长不可能为8。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弦的定义；直径是圆中最长的弦
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弦长的取值范围，只要掌握直径是圆内最长的弦这一性质，就能快速判断出结果。
【难度系数】
0.9
要判断弦AB的长不可能是哪个值，首先回忆圆中弦的相关性质：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦。已知圆的直径长度，就能确定圆内所有弦的长度取值范围，再对比各个选项即可得出答案。
【解析】
已知$\odot O$的直径长为4，根据“直径是圆中最长的弦”，可得$\odot O$中任意一条弦的长度都不超过直径的长度，即弦AB的长度满足$0＜AB≤4$。
逐一分析选项：
A. $2≤4$，符合取值范围，AB长可能为2；
B. $3≤4$，符合取值范围，AB长可能为3；
C. $4$是直径长度，符合取值范围，AB长可能为4；
D. $8＞4$，超出取值范围，AB长不可能为8。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弦的定义；直径是圆中最长的弦
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弦长的取值范围，只要掌握直径是圆内最长的弦这一性质，就能快速判断出结果。
【难度系数】
0.9
3. 已知⊙A的半径为2，如果点B不在⊙A内，那么线段AB长度的取值范围是
$AB≥2$
。答案：3. $AB≥2$.
解析：
【分析】
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的点到圆心距离和半径的大小关系：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。题目说明点B不在⊙A内，说明点B的位置只能是在圆上或者圆外两种情况，结合半径长度即可推导出AB的取值范围。
【解析】
点与圆的位置关系分为三类：
1. 点在圆内：点到圆心的距离 ＜ 圆的半径；
2. 点在圆上：点到圆心的距离 = 圆的半径；
3. 点在圆外：点到圆心的距离 ＞ 圆的半径。
已知⊙A的半径为2，点B不在⊙A内，即点B在⊙A上或⊙A外，因此点B到圆心A的距离AB满足：$AB ≥ 2$。
【答案】
$AB≥2$
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确理解“不在圆内”包含点在圆上、点在圆外两种情况，避免遗漏等于半径的情况导致取值范围出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的点到圆心距离和半径的大小关系：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。题目说明点B不在⊙A内，说明点B的位置只能是在圆上或者圆外两种情况，结合半径长度即可推导出AB的取值范围。
【解析】
点与圆的位置关系分为三类：
1. 点在圆内：点到圆心的距离 ＜ 圆的半径；
2. 点在圆上：点到圆心的距离 = 圆的半径；
3. 点在圆外：点到圆心的距离 ＞ 圆的半径。
已知⊙A的半径为2，点B不在⊙A内，即点B在⊙A上或⊙A外，因此点B到圆心A的距离AB满足：$AB ≥ 2$。
【答案】
$AB≥2$
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确理解“不在圆内”包含点在圆上、点在圆外两种情况，避免遗漏等于半径的情况导致取值范围出错。
【难度系数】
0.85
4. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于点D,O为AB的中点.
(1) 以点C为圆心,6为半径画圆C,试判断点A,D,B与⊙C的位置关系;
(2) ⊙C的半径为多少时,点O在⊙C上?
(3) ⊙C的半径为多少时,点D在⊙C上?
(1) 以点C为圆心,6为半径画圆C,试判断点A,D,B与⊙C的位置关系;
(2) ⊙C的半径为多少时,点O在⊙C上?
(3) ⊙C的半径为多少时,点D在⊙C上?
答案：4. (1) 点A在$\odot C$上,点D在$\odot C$内,点B在$\odot C$外；
(2) $\odot C$的半径为5时,点O在$\odot C$上；
(3) $\odot C$的半径为$\frac{24}{5}$时,点D在$\odot C$上.
(2) $\odot C$的半径为5时,点O在$\odot C$上；
(3) $\odot C$的半径为$\frac{24}{5}$时,点D在$\odot C$上.
解析：
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内；若d＞r，点在圆外。解题时先利用勾股定理、直角三角形斜边中线性质、面积法分别求出点A、B、D、O到圆心C的距离，再结合各小问的半径条件对比判断或计算半径即可。
【解析】
先计算各点到点C的距离：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∵CD⊥AB，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$
∵O是AB中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=5$
(1) ⊙C半径r=6时：
∵AC=6=r，
∴点A在⊙C上；
∵$CD=\frac{24}{5}=4.8＜6$，
∴点D在⊙C内；
∵BC=8＞6，
∴点B在⊙C外。
(2) 若点O在⊙C上，则半径r=OC=5，即⊙C半径为5时，点O在⊙C上。
(3) 若点D在⊙C上，则半径r=CD=$\frac{24}{5}$，即⊙C半径为$\frac{24}{5}$时，点D在⊙C上。
【答案】
(1) 点A在$\odot C$上,点D在$\odot C$内,点B在$\odot C$外；
(2) $\odot C$的半径为5时,点O在$\odot C$上；
(3) $\odot C$的半径为$\frac{24}{5}$时,点D在$\odot C$上.
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考察点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是灵活运用勾股定理、面积法、直角三角形斜边中线性质求出各点到圆心的距离，再结合定义判断即可。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内；若d＞r，点在圆外。解题时先利用勾股定理、直角三角形斜边中线性质、面积法分别求出点A、B、D、O到圆心C的距离，再结合各小问的半径条件对比判断或计算半径即可。
【解析】
先计算各点到点C的距离：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∵CD⊥AB，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$
∵O是AB中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=5$
(1) ⊙C半径r=6时：
∵AC=6=r，
∴点A在⊙C上；
∵$CD=\frac{24}{5}=4.8＜6$，
∴点D在⊙C内；
∵BC=8＞6，
∴点B在⊙C外。
(2) 若点O在⊙C上，则半径r=OC=5，即⊙C半径为5时，点O在⊙C上。
(3) 若点D在⊙C上，则半径r=CD=$\frac{24}{5}$，即⊙C半径为$\frac{24}{5}$时，点D在⊙C上。
【答案】
(1) 点A在$\odot C$上,点D在$\odot C$内,点B在$\odot C$外；
(2) $\odot C$的半径为5时,点O在$\odot C$上；
(3) $\odot C$的半径为$\frac{24}{5}$时,点D在$\odot C$上.
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考察点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是灵活运用勾股定理、面积法、直角三角形斜边中线性质求出各点到圆心的距离，再结合定义判断即可。
【难度系数】
0.8
（1）有共同斜边的直角三角形的直角顶点的集合是什么图形？你能说明理由吗？
（2）如图，$△ ABC$的两条高$BD$，$CE$相交于点$H$，点$A$，$E$，$H$，$D$在同一个圆上吗？为什么？
（2）如图，$△ ABC$的两条高$BD$，$CE$相交于点$H$，点$A$，$E$，$H$，$D$在同一个圆上吗？为什么？
答案：(1) 以该斜边为直径的圆,理由略；
(2) 连接AH,取AH的中点O,连接OD,OE,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知点A,E,H,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
提示:连接BD交AC于点O,连接OE,OF,OG,OH.通过三角形全等,证OE=OF=OG=OH,故E,F,G,H四点在同一个圆上.
(2) 连接AH,取AH的中点O,连接OD,OE,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知点A,E,H,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
提示:连接BD交AC于点O,连接OE,OF,OG,OH.通过三角形全等,证OE=OF=OG=OH,故E,F,G,H四点在同一个圆上.
解析：
【分析】
（1）解决第一问可结合直角三角形的性质和圆的定义思考：先取共同斜边的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推得所有直角顶点到该中点的距离都等于斜边长度的一半，符合圆上的点到圆心距离等于半径的特征，即可得出结论。
（2）判断四点共圆的核心是证明四个点到同一个定点的距离相等。观察图形可知△AEH和△ADH都是直角三角形且有共同斜边AH，取AH中点后利用直角三角形斜边中线的性质，即可证得四个点到该中点的距离相等，从而得到共圆的结论。
【解析】
（1）设共同斜边为线段$BC$，取$BC$的中点为$O$，任意一个以$BC$为斜边的直角三角形的直角顶点为$P$。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}BC$，即所有符合条件的点$P$到定点$O$的距离都等于定长$\frac{1}{2}BC$，根据圆的定义，这些点的集合就是以$BC$为直径的圆。
（2）连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OD$、$OE$。
∵$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，
∴$∠ AEH=90°$，$∠ ADH=90°$，即$△ AEH$和$△ ADH$都是以$AH$为斜边的直角三角形。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OE=\frac{1}{2}AH=OA=OH$，$OD=\frac{1}{2}AH=OA=OH$，
∴$OA=OE=OH=OD$，因此点$A$、$E$、$H$、$D$在以$O$为圆心，$OA$为半径的圆上。
【答案】
(1) 以该斜边为直径的圆，理由见解析；
(2) 点$A$，$E$，$H$，$D$在同一个圆上。连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OD$，$OE$，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知点$A$,$E$,$H$,$D$在以点$O$为圆心，$OA$为半径的圆上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题侧重考察圆的基本概念和直角三角形性质的综合应用，掌握“到定点距离等于定长的点在同一个圆上”这一判定依据是解决这类四点共圆基础题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问可结合直角三角形的性质和圆的定义思考：先取共同斜边的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推得所有直角顶点到该中点的距离都等于斜边长度的一半，符合圆上的点到圆心距离等于半径的特征，即可得出结论。
（2）判断四点共圆的核心是证明四个点到同一个定点的距离相等。观察图形可知△AEH和△ADH都是直角三角形且有共同斜边AH，取AH中点后利用直角三角形斜边中线的性质，即可证得四个点到该中点的距离相等，从而得到共圆的结论。
【解析】
（1）设共同斜边为线段$BC$，取$BC$的中点为$O$，任意一个以$BC$为斜边的直角三角形的直角顶点为$P$。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}BC$，即所有符合条件的点$P$到定点$O$的距离都等于定长$\frac{1}{2}BC$，根据圆的定义，这些点的集合就是以$BC$为直径的圆。
（2）连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OD$、$OE$。
∵$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，
∴$∠ AEH=90°$，$∠ ADH=90°$，即$△ AEH$和$△ ADH$都是以$AH$为斜边的直角三角形。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$OE=\frac{1}{2}AH=OA=OH$，$OD=\frac{1}{2}AH=OA=OH$，
∴$OA=OE=OH=OD$，因此点$A$、$E$、$H$、$D$在以$O$为圆心，$OA$为半径的圆上。
【答案】
(1) 以该斜边为直径的圆，理由见解析；
(2) 点$A$，$E$，$H$，$D$在同一个圆上。连接$AH$，取$AH$的中点$O$，连接$OD$，$OE$，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知点$A$,$E$,$H$,$D$在以点$O$为圆心，$OA$为半径的圆上。
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定
【点评】
本题侧重考察圆的基本概念和直角三角形性质的综合应用，掌握“到定点距离等于定长的点在同一个圆上”这一判定依据是解决这类四点共圆基础题的关键。
【难度系数】
0.7