三、解答题
12. 解方程：
(1) $(2x-1)^2 - 4 = 0$；
(2) $x(x+2) = -3(x+2)$；
(3) $x^2 -5x -36 =0$；
(4) $x(x+3) = -2$；
(5) $(x-3)^2 = (2x+1)^2$；
(6) $(x-2)^2 -5(x-2)+6=0$。
12. 解方程：
(1) $(2x-1)^2 - 4 = 0$；
(2) $x(x+2) = -3(x+2)$；
(3) $x^2 -5x -36 =0$；
(4) $x(x+3) = -2$；
(5) $(x-3)^2 = (2x+1)^2$；
(6) $(x-2)^2 -5(x-2)+6=0$。
答案：12. (1) $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1=-2,x_2=-3$
(3) $x_1=9,x_2=-4$
(4) $x_1=-1,x_2=-2$
(5) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) $x_1=4,x_2=5$
(2) $x_1=-2,x_2=-3$
(3) $x_1=9,x_2=-4$
(4) $x_1=-1,x_2=-2$
(5) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) $x_1=4,x_2=5$
解析：
【分析】
本题是一元二次方程的求解问题，可根据不同方程的结构特征选择最简便的解法：1. 若方程可化为形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，优先用直接开平方法；2. 若方程左右两边有相同的含未知数的因式，或整理后可因式分解，优先用因式分解法；3. 因式分解困难时再选用公式法或配方法。注意解题时不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-1)^2=4$
直接开平方得：$2x-1=\pm2$
当$2x-1=2$时，解得$x=\dfrac{3}{2}$；当$2x-1=-2$时，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
∴ $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) 移项得：$x(x+2)+3(x+2)=0$
提取公因式得：$(x+2)(x+3)=0$
∴ $x+2=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=-2,x_2=-3$
(3) 用十字相乘法因式分解得：$(x-9)(x+4)=0$
∴ $x-9=0$ 或 $x+4=0$
解得$x_1=9,x_2=-4$
(4) 整理为一般式得：$x^2+3x+2=0$
因式分解得：$(x+1)(x+2)=0$
∴ $x+1=0$ 或 $x+2=0$
解得$x_1=-1,x_2=-2$
(5) 移项得：$(x-3)^2-(2x+1)^2=0$
用平方差公式因式分解得：$[(x-3)+(2x+1)][(x-3)-(2x+1)]=0$
化简得：$(3x-2)(-x-4)=0$
∴ $-x-4=0$ 或 $3x-2=0$
解得$x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) 把$(x-2)$看作整体因式分解得：$[(x-2)-2][(x-2)-3]=0$
化简得：$(x-4)(x-5)=0$
∴ $x-4=0$ 或 $x-5=0$
解得$x_1=4,x_2=5$
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1=-2,x_2=-3$
(3) $x_1=9,x_2=-4$
(4) $x_1=-1,x_2=-2$
(5) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) $x_1=4,x_2=5$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心是根据方程的结构灵活选择简便解法，熟练掌握因式分解、直接开平方法等技巧可大幅提升解题速度，解题时要注意避免随意约去含未知数的因式导致漏根的错误。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程的求解问题，可根据不同方程的结构特征选择最简便的解法：1. 若方程可化为形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，优先用直接开平方法；2. 若方程左右两边有相同的含未知数的因式，或整理后可因式分解，优先用因式分解法；3. 因式分解困难时再选用公式法或配方法。注意解题时不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-1)^2=4$
直接开平方得：$2x-1=\pm2$
当$2x-1=2$时，解得$x=\dfrac{3}{2}$；当$2x-1=-2$时，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
∴ $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) 移项得：$x(x+2)+3(x+2)=0$
提取公因式得：$(x+2)(x+3)=0$
∴ $x+2=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=-2,x_2=-3$
(3) 用十字相乘法因式分解得：$(x-9)(x+4)=0$
∴ $x-9=0$ 或 $x+4=0$
解得$x_1=9,x_2=-4$
(4) 整理为一般式得：$x^2+3x+2=0$
因式分解得：$(x+1)(x+2)=0$
∴ $x+1=0$ 或 $x+2=0$
解得$x_1=-1,x_2=-2$
(5) 移项得：$(x-3)^2-(2x+1)^2=0$
用平方差公式因式分解得：$[(x-3)+(2x+1)][(x-3)-(2x+1)]=0$
化简得：$(3x-2)(-x-4)=0$
∴ $-x-4=0$ 或 $3x-2=0$
解得$x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) 把$(x-2)$看作整体因式分解得：$[(x-2)-2][(x-2)-3]=0$
化简得：$(x-4)(x-5)=0$
∴ $x-4=0$ 或 $x-5=0$
解得$x_1=4,x_2=5$
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) $x_1=-2,x_2=-3$
(3) $x_1=9,x_2=-4$
(4) $x_1=-1,x_2=-2$
(5) $x_1=-4,x_2=\dfrac{2}{3}$
(6) $x_1=4,x_2=5$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心是根据方程的结构灵活选择简便解法，熟练掌握因式分解、直接开平方法等技巧可大幅提升解题速度，解题时要注意避免随意约去含未知数的因式导致漏根的错误。
【难度系数】
0.8
13. 当$x$为何值时，代数式$(x-3)^2$与代数式$2x(3-x)$的值相等？
答案：13. $x_1=1,x_2=3$
解析：
【分析】
要找到使两个代数式值相等的x，首先根据“值相等”这一等量关系列出关于x的方程；观察所得方程的结构，发现(x-3)和(3-x)互为相反数，可通过移项提取公因式(x-3)，用因式分解法解一元二次方程，这种方法比展开整理为一般式更简便，还能避免随意约去公因式导致的漏解问题。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$(x-3)^2 = 2x(3-x)$
移项，得：
$(x-3)^2 + 2x(x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-3 + 2x) = 0$
整理得：
$(x-3)(3x - 3) = 0$
则有$x-3=0$或$3x-3=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，$x_1=3$；
当$3x-3=0$时，$3x=3$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是根据等量关系正确列出方程，再结合方程的特征选择简便的解法，解题时注意不要直接在方程两边约去含未知数的公因式，否则容易出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
要找到使两个代数式值相等的x，首先根据“值相等”这一等量关系列出关于x的方程；观察所得方程的结构，发现(x-3)和(3-x)互为相反数，可通过移项提取公因式(x-3)，用因式分解法解一元二次方程，这种方法比展开整理为一般式更简便，还能避免随意约去公因式导致的漏解问题。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$(x-3)^2 = 2x(3-x)$
移项，得：
$(x-3)^2 + 2x(x-3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-3 + 2x) = 0$
整理得：
$(x-3)(3x - 3) = 0$
则有$x-3=0$或$3x-3=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，$x_1=3$；
当$3x-3=0$时，$3x=3$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是根据等量关系正确列出方程，再结合方程的特征选择简便的解法，解题时注意不要直接在方程两边约去含未知数的公因式，否则容易出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
14. 求证:无论常数 m 取何值,关于 x 的方程$(x-1)(x+m-1)=0$总有实数根.
答案：14. $x_1=1,x_2=1-m$
解析：
【分析】
要证明方程总有实数根，有两种常用解题思路：思路一：先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式Δ，证明Δ恒为非负数即可；思路二：观察到方程已经是两个一次因式乘积为0的形式，可直接根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”求解出方程的根，验证根均为实数即可，其中直接求根的方法更简便。
【解析】
证明：
∵ $(x-1)(x+m-1)=0$
根据“两式相乘值为0，至少其中一式值为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x+m-1=0$
分别解两个一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x_1=1$；
当$x+m-1=0$时，解得$x_2=1-m$。
∵ $m$是常数，因此$1$和$1-m$都是实数，
∴ 无论常数$m$取何值，方程总有实数根。
【答案】
$x_1=1,x_2=1-m$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 方程实根判定
【点评】
本题属于基础类习题，考查方程实根的判断方法，既可以用根的判别式推导，也可以直接因式分解求根验证，选择简便方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要证明方程总有实数根，有两种常用解题思路：思路一：先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式Δ，证明Δ恒为非负数即可；思路二：观察到方程已经是两个一次因式乘积为0的形式，可直接根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”求解出方程的根，验证根均为实数即可，其中直接求根的方法更简便。
【解析】
证明：
∵ $(x-1)(x+m-1)=0$
根据“两式相乘值为0，至少其中一式值为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x+m-1=0$
分别解两个一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x_1=1$；
当$x+m-1=0$时，解得$x_2=1-m$。
∵ $m$是常数，因此$1$和$1-m$都是实数，
∴ 无论常数$m$取何值，方程总有实数根。
【答案】
$x_1=1,x_2=1-m$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 方程实根判定
【点评】
本题属于基础类习题，考查方程实根的判断方法，既可以用根的判别式推导，也可以直接因式分解求根验证，选择简便方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.9