【分析】
解题首先要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式。解题时可逐个对选项进行变形，结合各类函数的定义判断所属函数类型，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。
逐一分析选项：
A. $y=4x$符合正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）的形式，是正比例函数，不符合要求，排除；
B. 对$\dfrac{x}{y}=4$变形可得$y=\dfrac{1}{4}x$，属于正比例函数，不符合要求，排除；
C. $y=4x+4$符合一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）的形式，是一次函数，不符合要求，排除；
D. 对$xy=4$变形可得$y=\dfrac{4}{x}$，符合反比例函数的形式（$k=4\ne0$），符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数定义、正比例函数定义、一次函数定义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查不同类型函数的识别，解题时要注意对给出的等式进行合理变形后再判断函数类型，熟记各类函数的标准形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先根据矩形面积公式推导长和宽的函数关系，矩形面积=长×宽，已知面积为10，可得xy=10，变形后可知这是反比例函数。接下来考虑实际意义：矩形的宽x、长y都是长度，必然为正数，即x＞0、y＞0，因此函数图象只能出现在第一象限，据此匹配对应选项即可。
【解析】
解：由矩形面积公式可得：$xy=10$，
整理得长与宽的函数关系式：$y=\frac{10}{x}$，
结合实际意义，矩形的宽$x＞0$，长$y＞0$，
因此该函数的图象是反比例函数位于第一象限的分支，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题需要先结合几何关系推导函数类型，再根据实际场景限定自变量的取值范围，进而判断图象，易错点是忽略x、y的实际意义，误选包含第三象限分支的B选项。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题核心是先明确三个量的数量关系：耕地总面积=人均耕地面积×总人口，已知耕地总面积固定为500$\mathrm{hm}^2$，可推导出人均耕地面积$y$和总人口$x$的函数关系式为$y=\frac{500}{x}$（$x$为正整数），属于反比例函数。接下来结合反比例函数的性质、代入求值的方法逐个验证四个选项，即可选出正确答案。
【解析】
根据题意可得等量关系：$x · y = 500$，变形得函数解析式：$y = \frac{500}{x}$（$x＞0$且$x$为正整数），对各选项逐一分析：
1. 选项A：反比例函数$y=\frac{500}{x}$中$k=500＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，即总人口增多时人均耕地面积会减少，A错误；
2. 选项B：两个量成正比例满足$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$）的形式，本题$y$与$x$是反比例关系，B错误；
3. 选项C：把$y=0.2$代入解析式得$x=\frac{500}{0.2}=2500$，即总人口为2500人，C错误；
4. 选项D：把$x=1000$代入解析式得$y=\frac{500}{1000}=0.5$，即人均耕地面积为0.5$\mathrm{hm}^2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数实际应用、反比例函数性质、正反比例关系辨析
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题关键是先根据等量关系列出正确的函数解析式，再结合函数性质和代入计算判断选项即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断哪个点在该反比例函数图象上，需利用反比例函数的核心性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）中，任意图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于比例系数$k$，即$xy=k$。解题步骤如下：第一步，先根据已知点的坐标算出$k$的值；第二步，分别计算四个选项中点的横纵坐标乘积，和$k$相等的点就在该函数图象上。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
∵函数图象经过点$(-2,3)$，将$x=-2$，$y=3$代入解析式得：
$k=xy=(-2)×3=-6$，即该反比例函数所有点的横纵坐标乘积都为$-6$。
逐一验证选项：
A选项：$2×(-3)=-6$，符合$k=-6$，该点在函数图象上；
B选项：$(-3)×(-3)=9\ne-6$，不符合，排除；
C选项：$2×3=6\ne-6$，不符合，排除；
D选项：$(-4)×6=-24\ne-6$，不符合，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握反比例函数中$xy=k$的恒定性质，无需算出完整解析式，利用该性质即可快速验证点是否在函数图象上，做题时注意符号计算避免出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题要求选出对函数$y=x+\frac{1}{x}$性质叙述错误的选项，我们可结合图像特征和代数计算逐一验证每个选项：①判断是否为中心对称图形，可验证图象绕原点旋转180°后是否与自身重合；②判断x＞0时的最小值，可结合图像最低点坐标和代入计算验证；③判断增减性时，要分区间观察函数的变化趋势，不能笼统概括；④判断y能否取1，可通过列方程看是否存在实数解来验证。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A选项：若点$(x,y)$在该函数图象上，则将$x$替换为$-x$时，对应函数值为$-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-y$，即点$(-x,-y)$也在函数图象上，因此函数图象绕原点旋转180°后能与自身重合，属于中心对称图形，A叙述正确，不符合题意；
B选项：观察图象可得，当$x＞0$时，函数图象最低点坐标为$(1,2)$，将$x=1$代入函数得$y=1+\frac{1}{1}=2$，即$x＞0$时函数在$x=1$处取得最小值2，B叙述正确，不符合题意；
C选项：观察图象：当$x＞0$时，$0＜x＜1$区间内$y$随$x$的增大而减小，$x＞1$区间内$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$x＜-1$区间内$y$随$x$的增大而增大，$-1＜x＜0$区间内$y$随$x$的增大而减小，并非每个象限内$y$都随$x$的增大而减小，C叙述错误，符合题意；
D选项：假设$y=1$，可得方程$x+\frac{1}{x}=1$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2 -x +1=0$，该方程的判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，因此$y$的值不可能为1，D叙述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
函数图象的性质，中心对称图形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新型函数图象考查性质辨析，既需要掌握从图象中读取单调性、最值等信息的能力，也需要学会用代数计算验证相关结论，分析增减性时要注意分区间讨论，避免一概而论。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较$b_1$和$b_2$的大小，本质是比较反比例函数在$x=a_1$和$x=a_2$处的函数值大小，解题思路如下：第一步先判断反比例函数比例系数$k$的符号，明确函数的增减性和图象所在象限；第二步判断点$A$、$B$是否在同一象限，只有同一象限内才能用增减性比较函数值；第三步结合$a_1＜a_2＜0$的大小关系，即可推出$b_1$和$b_2$的大小。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{\sqrt{2}}{x}$，比例系数$k=-\sqrt{2}＜0$，
∴该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵$a_1 ＜ a_2 ＜ 0$，即点$A$、$B$都位于第二象限的函数图象上，且横坐标$a_1 ＜ a_2$，
∴根据函数的增减性可得：$b_1 ＜ b_2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数的图象与象限
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时要注意：反比例函数的增减性只在同一个象限内成立，若两点不在同一象限，不能直接用增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路分为两步：① 已知点在反比例函数图象上，那么该点的横、纵坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求出k的值；② 根据反比例函数的性质，k的正负决定图象所在的象限，求出k后判断符号就能确定图象所在象限。
【解析】
∵ 点$(-3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=-3$，$y=5$代入解析式得：$5=\frac{k}{-3}$，
解得$k=5×(-3)=-15$。
∵ $k=-15＜0$，
∴ 根据反比例函数的性质，该反比例函数的图象在第二、四象限。
【答案】
-15，第二、四
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数核心性质的掌握，牢记相关对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9