【分析】
求解一元二次方程$x^2=2x$时，切记不能直接在等号两边同时除以$x$，否则会漏掉$x=0$这个解。正确的思考方向是先将含未知数的项全部移到等号左侧，使右侧为0，再对左侧的多项式因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，即可得到完整的解。
【解析】
1. 移项：将右侧的$2x$移到等号左侧，得到$x^2 - 2x = 0$；
2. 因式分解：对左侧多项式提取公因式$x$，可得$x(x - 2) = 0$；
3. 转化为一元一次方程：根据乘积为0的性质，得到$x=0$或$x-2=0$；
4. 求解一元一次方程，最终得$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接对等式两边除以$x$导致漏解，解题时优先选择移项后因式分解的方法，可有效避免漏解问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确题目给出的笔试、面试成绩的权重比例为2:3，加权平均数的计算方法是将各数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，按照这个规则代入张明的笔试、面试分数计算即可得到最终测试成绩，注意不要混淆两项成绩对应的权重。
【解析】
已知笔试和面试得分按2:3的比例确定成绩，即笔试成绩的权重为2，面试成绩的权重为3。
根据加权平均数计算公式：
$\mathrm{测试成绩}=\frac{\mathrm{笔试得分}×\mathrm{笔试权重}+\mathrm{面试得分}×\mathrm{面试权重}}{\mathrm{权重总和}}$
代入数据得：
$\mathrm{测试成绩}=\frac{80×2 + 90×3}{2+3}=\frac{160+270}{5}=\frac{430}{5}=86$（分）
【答案】
86
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，贴近生活实际，核心考查加权平均数的计算规则，解题关键是准确识别各数据对应的权重，计算时注意数值运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题首先要明确简单随机事件的概率计算规则：某事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能的情况总数。本题已知摸出白球的概率，我们可以先表示出袋中球的总个数，再结合概率公式列出方程，最后解方程求出x的值即可。
【解析】
解：袋中球的总个数为白球与黄球的数量和，即$(8+x)$个，其中白球共8个。
根据概率公式，随机摸出1个球是白球的概率为：
$P(\mathrm{摸出白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{8}{8+x}$
已知该概率为$\frac{1}{3}$，据此列方程得：
$\frac{8}{8+x}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$8+x=8×3$
计算得：$8+x=24$
解得：$x=24-8=16$
检验：当$x=16$时，$8+x=24≠0$，因此$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
16
【知识点】
概率公式应用，解分式方程
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，核心是利用概率公式建立等量关系，通过解方程求出未知量，解题时注意检验方程的解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.85

【分析】
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。本题中3月产值是初始值50万元，先根据增长率求出4月产值，再以4月产值为基础求出5月产值，最后结合题目给出的5月产值为72万元的条件，即可列出对应方程。
【解析】
1. 计算4月产值：3月产值为50万元，平均每月增长率为$ x $，因此4月产值为$ 50(1+x) $万元。
2. 计算5月产值：5月在4月产值的基础上继续增长$ x $，因此5月产值为$ 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $万元。
3. 结合5月产值为72万元的条件，列方程得$ 50(1+x)^2=72 $。
【答案】
$ 50(1+x)^2=72 $
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础题型，解题核心是掌握连续增长的数量规律：若初始值为$ a $，平均增长率为$ x $，增长$ n $次后的数值为$ b $，则有公式$ a(1+x)^n=b $，代入对应数值即可快速列方程。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。接下来判断点$A$、$B$所在的象限，两点横坐标均为正数，因此都在第一象限，属于同一象限内的点，最后比较两点横坐标的大小，结合增减性即可得到$a$和$b$的大小关系。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵ 点$A(1,a)$、$B(3,b)$的横坐标$1＞0$，$3＞0$，
∴ 点$A$、$B$都在第一象限，
又
∵ $1＜3$，
∴ 根据函数增减性可得$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题核心是掌握$k$的正负性对反比例函数增减性的影响，同时注意增减性的适用前提是“在同一象限内”，避免跨象限比较出错。
【难度系数】
0.9

【分析】
遇到求圆心到弦的距离的问题，首先想到运用垂径定理：过圆心作弦的垂线，垂线平分弦，这样就可以将弦长的一半、圆的半径、圆心到弦的距离放在同一个直角三角形中，再利用勾股定理即可求出未知的弦心距。
【解析】
设这条弦为AB，过圆心O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3$。
已知⊙O的半径$OA = 6$，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦心距计算
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将圆的几何性质和勾股定理结合求解，难度较低，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题可从两种思路入手：思路一，利用函数图象对称性思考：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接求其关于原点对称的点即可快速得到另一个交点；思路二，用待定系数法求解：先将已知交点代入两个函数解析式，求出参数值，再联立两个函数解析式，解方程组得到另一个交点，两种方法均符合九年级知识要求，对称性解法更高效。
【解析】
方法1：利用中心对称性求解
正比例函数$y=k_1x$的图象是过原点的直线，关于原点中心对称；反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象是双曲线，也关于原点中心对称，因此两个函数的交点必然关于原点对称。
已知一个交点为$A(-2,4)$，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此另一个交点坐标为$(2,-4)$。
方法2：待定系数法联立求解
将$A(-2,4)$代入$y_1=k_1x$，得$4=-2k_1$，解得$k_1=-2$，故正比例函数解析式为$y_1=-2x$。
将$A(-2,4)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2=-8$，故反比例函数解析式为$y_2=-\frac{8}{x}$。
联立两个函数得方程组$\begin{cases}y=-2x \\ y=-\frac{8}{x} \end{cases}$，将第一个式子代入第二个式子得$-2x=-\frac{8}{x}$，两边同乘$x(x≠0)$得$-2x^2=-8$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=2$时，$y=-2×2=-4$，因此另一个交点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
$(2,-4)$
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正反比例函数交点的计算，既可以利用函数图象的中心对称性快速求解，也可以通过待定系数法、解方程组的常规方法解答，掌握图象对称性能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算点O旋转至O'经过的路径长度，首先明确该路径是绕旋转中心B的一段圆弧，需先确定圆弧的半径和对应圆心角：①半径：由扇形性质可知OB=OA=10，旋转前后对应边长度不变，故圆弧半径为OB=10；②圆心角：即旋转角∠OBO'，先利用等腰△OAB的内角和求出∠OBA的度数，该角即为旋转角；最后代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵在扇形OAB中，OA、OB均为半径，
∴OB=OA=10，
又
∵∠AOB=36°，△OAB为等腰三角形，
∴∠OBA=$\frac{180°-36°}{2}=72°$。
由旋转的性质可知，旋转角等于∠OBA，即点O运动轨迹的圆心角∠OBO'=72°，轨迹是以B为圆心、OB长为半径的弧。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，代入n=72，r=10得：
$l=\frac{72×π×10}{180}=4π$。
【答案】
$4π$
【知识点】
弧长的计算，旋转的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查几何旋转与弧长计算的结合，解题核心是准确找到动点运动路径的三要素：圆心、半径、圆心角，只要熟练掌握旋转的基本性质和弧长公式，即可快速求解。
【难度系数】
0.6

【分析】
两道题均为一元二次方程求解类题目，优先选用因式分解法简化计算过程。第17题观察到等号右侧的$2-x$与左侧的$x-2$互为相反数，先移项将方程右侧化为0，再提取公因式即可将二次方程转化为两个一次方程求解；第18题先移项整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法分解因式，进而求解即可，相较于公式法计算量更小。
【解析】
17. 解方程$x(x-2)=2-x$
第一步：移项，将右侧项移到左侧并变号，得：
$x(x-2)+(x-2)=0$
第二步：提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x+1)=0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
第四步：分别解两个一次方程，得$x_1=2$，$x_2=-1$。
18. 解方程$3x^2+1=4x$
第一步：移项整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，得：
$3x^2-4x+1=0$
第二步：用十字相乘法分解因式，将$3x^2$拆为$3x· x$，常数项$1$拆为$(-1)×(-1)$，交叉相乘验证和为一次项系数$-4$，得：
$(3x-1)(x-1)=0$
第三步：根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$3x-1=0$ 或 $x-1=0$
第四步：分别解两个一次方程，得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=1$。
【答案】
17. $x_1=2,x_2=-1$
18. $x_1=\frac{1}{3},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
这两道是一元二次方程求解的基础常规题，主要考查因式分解法解方程的应用，熟练掌握移项规则、公因式提取、十字相乘法等基础技巧即可快速完成解题，计算量小，出错率低。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时先围绕正多边形外接圆的核心性质推导半径，再代入题目给出的π估算公式计算即可。
(1) 针对正方形：首先回忆正方形外接圆的直径等于正方形的对角线，先由边长算出对角线长度，除以2得到外接圆半径；再把正方形的周长当作外接圆周长，代入公式$π≈\frac{C}{2r}$化简计算得到估计值。
(2) 针对正六边形：首先回忆正六边形的性质，正六边形的边长等于其外接圆半径，先设出正六边形的边长，算出周长，再对应得到外接圆半径，代入估算公式化简即可得到π的估计值。
【解析】
(1) 已知正方形边长为$a$，根据勾股定理，正方形的对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长，因此外接圆半径$r=\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
用正方形周长$4a$替代外接圆周长$C$，代入公式得：
$π≈\frac{C}{2r}=\frac{4a}{2×\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{4a}{\sqrt{2}a}=2\sqrt{2}$（约为2.8、2.82、2.83、2.828均可）。
(2) 设正六边形的边长为$b$，则正六边形的周长$C=6b$。
正六边形每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此外接圆的两条半径与正六边形的边长构成等边三角形，可得外接圆半径$r=b$。
代入估算公式得：
$π≈\frac{C}{2r}=\frac{6b}{2b}=3$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}a$；$2\sqrt{2}$（或2.8、2.82、2.83、2.828均可）
(2) $3$
【知识点】
1. 正多边形外接圆性质
2. 圆的周长公式
3. 近似估算方法
【点评】
本题以圆周率的估算为背景，结合正多边形与外接圆的几何性质，考查知识迁移与类比推理能力，能帮助理解圆周率的推导思路，体会极限思想的应用。
【难度系数】
0.75