22. 图①是一把两条边有公共零刻度的角尺，该角尺两边的夹角可以改变（图②的∠A是该角尺有刻度的一侧的示意图，∠A的大小可以改变）。将这把角尺摆放在圆上，利用其刻度可以计算出圆的半径。
（1）按图③的方式摆放角尺，∠A＝90°，线段AB，AC与图中的圆相切，切点分别为D，E。若点D在角尺上的刻度为4 cm，直接写出该圆的半径。
（2）摆放角尺时，使线段AB与圆有一个公共点D，线段AC与圆有两个公共点E，F。点D，E，F在角尺上的刻度分别为1 cm，2 cm和6 cm，求下列情形时该圆的半径。
① 如图④，∠A＝90°；
② 如图⑤，∠A＝60°。
（说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成 。选择①并解决，得分为本题分数的二分之一；选择②并解决，得分为本题分数的全部）
（1）按图③的方式摆放角尺，∠A＝90°，线段AB，AC与图中的圆相切，切点分别为D，E。若点D在角尺上的刻度为4 cm，直接写出该圆的半径。
（2）摆放角尺时，使线段AB与圆有一个公共点D，线段AC与圆有两个公共点E，F。点D，E，F在角尺上的刻度分别为1 cm，2 cm和6 cm，求下列情形时该圆的半径。
① 如图④，∠A＝90°；
② 如图⑤，∠A＝60°。
（说明：以上两种情形，
答案：
22. (1) 4 cm
(2) ① 如图①,设该圆的圆心为O,连接OD、OE,过点O作OG⊥AB,OH⊥AC,垂足分别为G、H.根据题意,得 AD=1,AE=2,AF=6.
∴EF=4.
∵OH⊥AC,
∴∠OHA=90°,且$EH=\frac{1}{2}EF=2$.
∴AH=4.
∵OG⊥AB,即∠OGA=90°,且∠BAC=90°,
∴四边形AGOH是矩形.
∴OG=AH=4. 设$DG=x$,则$OH=AG=x+1$. 在Rt△GOD中,
∵∠OGD=90°,
∴$OG^2+GD^2=OD^2$. 在Rt△EOH中,
∵∠OHE=90°,
∴$OH^2+EH^2=OE^2$.
∵OD=OE,
∴$OG^2+GD^2=OH^2+EH^2$.
∴$4^2+x^2=(x+1)^2+2^2$. 解这个方程,得$x=\frac{11}{2}$.
∴$OD^2=4^2+(\frac{11}{2})^2=\frac{185}{4}$.
∴$OD=\frac{\sqrt{185}}{2}$.
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm.
② 如图②,延长AB,交⊙O于点M,连接OM、OF,过点O作OG⊥AB,OH⊥AC,垂足分别为G、H,过点H作HP⊥AB,过点O作OQ⊥PH,垂足分别为P,Q. 根据题意,得 AD=1,AE=2,AF=6.
∴EF=4.
∵OG⊥AB,OH⊥AC,HP⊥AB,OQ⊥PH,
∴∠OGM=∠OGP=∠HPG=∠HPA=∠OQP=∠OQH=∠OHF=90°.
∴$EH=FH=\frac{1}{2}EF=2$.
∴AH=4. 在Rt△APH中,
∵∠HPA=90°,∠A=60°,
∴∠AHP=90°-∠A=30°.
∴AP=2,$PH=2\sqrt{3}$.
∴∠OHQ=90°-∠AHP=60°,PD=1. 设$QH=x$,则$PQ=2\sqrt{3}-x$,$OH=2x$,$OQ=\sqrt{3}x$.
∵∠OGP=∠HPG=∠OQP=90°,
∴四边形OGPQ是矩形.
∴$PG=OQ=\sqrt{3}x$,$OG=PQ=2\sqrt{3}-x$.
∴$DG=\sqrt{3}x+1$.
∴$GM=DG=\sqrt{3}x+1$. 在Rt△FOH中,
∵∠OHF=90°,
∴$OH^2+FH^2=OF^2$. 在Rt△GOM中,
∵∠OGM=90°,
∴$OG^2+GM^2=OM^2$.
∵OF=OM,
∴$OH^2+FH^2=OG^2+GM^2$.
∴$(2x)^2+2^2=(2\sqrt{3}-x)^2+(\sqrt{3}x+1)^2$. 解这个方程,得$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
∴$OF^2=(3\sqrt{3})^2+2^2=31$.
∴$OF=\sqrt{31}$. ⊙O的半径为$\sqrt{31}$cm
22. (1) 4 cm
(2) ① 如图①,设该圆的圆心为O,连接OD、OE,过点O作OG⊥AB,OH⊥AC,垂足分别为G、H.根据题意,得 AD=1,AE=2,AF=6.
∴EF=4.
∵OH⊥AC,
∴∠OHA=90°,且$EH=\frac{1}{2}EF=2$.
∴AH=4.
∵OG⊥AB,即∠OGA=90°,且∠BAC=90°,
∴四边形AGOH是矩形.
∴OG=AH=4. 设$DG=x$,则$OH=AG=x+1$. 在Rt△GOD中,
∵∠OGD=90°,
∴$OG^2+GD^2=OD^2$. 在Rt△EOH中,
∵∠OHE=90°,
∴$OH^2+EH^2=OE^2$.
∵OD=OE,
∴$OG^2+GD^2=OH^2+EH^2$.
∴$4^2+x^2=(x+1)^2+2^2$. 解这个方程,得$x=\frac{11}{2}$.
∴$OD^2=4^2+(\frac{11}{2})^2=\frac{185}{4}$.
∴$OD=\frac{\sqrt{185}}{2}$.
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm.
② 如图②,延长AB,交⊙O于点M,连接OM、OF,过点O作OG⊥AB,OH⊥AC,垂足分别为G、H,过点H作HP⊥AB,过点O作OQ⊥PH,垂足分别为P,Q. 根据题意,得 AD=1,AE=2,AF=6.
∴EF=4.
∵OG⊥AB,OH⊥AC,HP⊥AB,OQ⊥PH,
∴∠OGM=∠OGP=∠HPG=∠HPA=∠OQP=∠OQH=∠OHF=90°.
∴$EH=FH=\frac{1}{2}EF=2$.
∴AH=4. 在Rt△APH中,
∵∠HPA=90°,∠A=60°,
∴∠AHP=90°-∠A=30°.
∴AP=2,$PH=2\sqrt{3}$.
∴∠OHQ=90°-∠AHP=60°,PD=1. 设$QH=x$,则$PQ=2\sqrt{3}-x$,$OH=2x$,$OQ=\sqrt{3}x$.
∵∠OGP=∠HPG=∠OQP=90°,
∴四边形OGPQ是矩形.
∴$PG=OQ=\sqrt{3}x$,$OG=PQ=2\sqrt{3}-x$.
∴$DG=\sqrt{3}x+1$.
∴$GM=DG=\sqrt{3}x+1$. 在Rt△FOH中,
∵∠OHF=90°,
∴$OH^2+FH^2=OF^2$. 在Rt△GOM中,
∵∠OGM=90°,
∴$OG^2+GM^2=OM^2$.
∵OF=OM,
∴$OH^2+FH^2=OG^2+GM^2$.
∴$(2x)^2+2^2=(2\sqrt{3}-x)^2+(\sqrt{3}x+1)^2$. 解这个方程,得$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
∴$OF^2=(3\sqrt{3})^2+2^2=31$.
∴$OF=\sqrt{31}$. ⊙O的半径为$\sqrt{31}$cm
解析：
【分析】
（1）本小问可利用切线的性质求解：连接切点与圆心，可得OD⊥AB、OE⊥AC，结合∠A=90°可判定四边形ODAE是正方形，半径与AD长度相等，直接可得结果。
（2）① 当∠A=90°时，核心思路是结合垂径定理、矩形性质与勾股定理，用方程思想求解：过圆心作AB、AC的垂线，由垂径定理得到EF的中点，计算AH长度，证明所得四边形为矩形得到边的等量关系，设未知量表示两个直角三角形的边长，利用半径相等列方程求解即可。
② 当∠A=60°时，需构造含60°角的直角三角形，结合垂径定理、矩形性质与勾股定理求解：先由垂径定理得到EF的中点，计算AH长度，在含60°角的直角三角形中算出AP、PH的长度，再构造矩形得到边的等量关系，设未知量表示两个直角三角形的边长，利用半径相等列方程求解。
【解析】
(1) 连接OD、OE，
∵AB、AC分别与圆相切于D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，又∠A=90°，
∴四边形ODAE是矩形，又OD=OE，
∴四边形ODAE是正方形，
∴OD=AD=4cm，即圆的半径为4cm。
(2) ① 设该圆的圆心为O，连接OD、OE，过点O作OG⊥AB，OH⊥AC，垂足分别为G、H。根据题意得AD=1cm，AE=2cm，AF=6cm。
∴EF=AF-AE=4cm。
∵OH⊥AC，由垂径定理得$EH=\frac{1}{2}EF=2cm$。
∴AH=AE+EH=4cm。
∵∠OGA=∠OHA=∠BAC=90°，
∴四边形AGOH是矩形，
∴OG=AH=4cm，OH=AG。
设$DG=x$，则$OH=AG=AD+DG=x+1$。
在Rt△GOD中，由勾股定理得$OG^2+GD^2=OD^2$；
在Rt△EOH中，由勾股定理得$OH^2+EH^2=OE^2$。
∵OD=OE，
∴$4^2+x^2=(x+1)^2+2^2$，
解得$x=\frac{11}{2}$，
∴$OD^2=4^2+(\frac{11}{2})^2=\frac{185}{4}$，即$OD=\frac{\sqrt{185}}{2}$cm。
② 延长AB交⊙O于点M，连接OM、OF，过点O作OG⊥AB、OH⊥AC，垂足分别为G、H，过点H作HP⊥AB，过点O作OQ⊥PH，垂足分别为P、Q。根据题意得AD=1cm，AE=2cm，AF=6cm。
∴EF=4cm，由垂径定理得$EH=FH=\frac{1}{2}EF=2cm$，
∴AH=AE+EH=4cm。
由题意得∠OGM=∠OGP=∠HPG=∠HPA=∠OQP=∠OQH=∠OHF=90°，
在Rt△APH中，∠A=60°，
∴AP=$\frac{1}{2}AH=2$cm，$PH=2\sqrt{3}$cm，
∴∠OHQ=90°-∠AHP=60°，PD=1cm。
设$QH=x$，则$OH=2x$，$OQ=\sqrt{3}x$，$PQ=2\sqrt{3}-x$。
∵四边形OGPQ是矩形，
∴$PG=OQ=\sqrt{3}x$，$OG=PQ=2\sqrt{3}-x$，
∴$DG=\sqrt{3}x+1$，由垂径定理得$GM=DG=\sqrt{3}x+1$。
在Rt△FOH中，由勾股定理得$OH^2+FH^2=OF^2$；
在Rt△GOM中，由勾股定理得$OG^2+GM^2=OM^2$。
∵OF=OM，
∴$(2x)^2+2^2=(2\sqrt{3}-x)^2+(\sqrt{3}x+1)^2$，
解得$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$OF^2=(3\sqrt{3})^2+2^2=31$，即$OF=\sqrt{31}$cm。
【答案】
(1) 4 cm
(2) ① 该圆的半径为$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm；② 该圆的半径为$\sqrt{31}$cm
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合角尺的实际场景考查圆的几何性质，设置了梯度化的问题，需要学生熟练掌握辅助线的构造方法，结合方程思想求解，能有效考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.45
（1）本小问可利用切线的性质求解：连接切点与圆心，可得OD⊥AB、OE⊥AC，结合∠A=90°可判定四边形ODAE是正方形，半径与AD长度相等，直接可得结果。
（2）① 当∠A=90°时，核心思路是结合垂径定理、矩形性质与勾股定理，用方程思想求解：过圆心作AB、AC的垂线，由垂径定理得到EF的中点，计算AH长度，证明所得四边形为矩形得到边的等量关系，设未知量表示两个直角三角形的边长，利用半径相等列方程求解即可。
② 当∠A=60°时，需构造含60°角的直角三角形，结合垂径定理、矩形性质与勾股定理求解：先由垂径定理得到EF的中点，计算AH长度，在含60°角的直角三角形中算出AP、PH的长度，再构造矩形得到边的等量关系，设未知量表示两个直角三角形的边长，利用半径相等列方程求解。
【解析】
(1) 连接OD、OE，
∵AB、AC分别与圆相切于D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，又∠A=90°，
∴四边形ODAE是矩形，又OD=OE，
∴四边形ODAE是正方形，
∴OD=AD=4cm，即圆的半径为4cm。
(2) ① 设该圆的圆心为O，连接OD、OE，过点O作OG⊥AB，OH⊥AC，垂足分别为G、H。根据题意得AD=1cm，AE=2cm，AF=6cm。
∴EF=AF-AE=4cm。
∵OH⊥AC，由垂径定理得$EH=\frac{1}{2}EF=2cm$。
∴AH=AE+EH=4cm。
∵∠OGA=∠OHA=∠BAC=90°，
∴四边形AGOH是矩形，
∴OG=AH=4cm，OH=AG。
设$DG=x$，则$OH=AG=AD+DG=x+1$。
在Rt△GOD中，由勾股定理得$OG^2+GD^2=OD^2$；
在Rt△EOH中，由勾股定理得$OH^2+EH^2=OE^2$。
∵OD=OE，
∴$4^2+x^2=(x+1)^2+2^2$，
解得$x=\frac{11}{2}$，
∴$OD^2=4^2+(\frac{11}{2})^2=\frac{185}{4}$，即$OD=\frac{\sqrt{185}}{2}$cm。
② 延长AB交⊙O于点M，连接OM、OF，过点O作OG⊥AB、OH⊥AC，垂足分别为G、H，过点H作HP⊥AB，过点O作OQ⊥PH，垂足分别为P、Q。根据题意得AD=1cm，AE=2cm，AF=6cm。
∴EF=4cm，由垂径定理得$EH=FH=\frac{1}{2}EF=2cm$，
∴AH=AE+EH=4cm。
由题意得∠OGM=∠OGP=∠HPG=∠HPA=∠OQP=∠OQH=∠OHF=90°，
在Rt△APH中，∠A=60°，
∴AP=$\frac{1}{2}AH=2$cm，$PH=2\sqrt{3}$cm，
∴∠OHQ=90°-∠AHP=60°，PD=1cm。
设$QH=x$，则$OH=2x$，$OQ=\sqrt{3}x$，$PQ=2\sqrt{3}-x$。
∵四边形OGPQ是矩形，
∴$PG=OQ=\sqrt{3}x$，$OG=PQ=2\sqrt{3}-x$，
∴$DG=\sqrt{3}x+1$，由垂径定理得$GM=DG=\sqrt{3}x+1$。
在Rt△FOH中，由勾股定理得$OH^2+FH^2=OF^2$；
在Rt△GOM中，由勾股定理得$OG^2+GM^2=OM^2$。
∵OF=OM，
∴$(2x)^2+2^2=(2\sqrt{3}-x)^2+(\sqrt{3}x+1)^2$，
解得$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$OF^2=(3\sqrt{3})^2+2^2=31$，即$OF=\sqrt{31}$cm。
【答案】
(1) 4 cm
(2) ① 该圆的半径为$\frac{\sqrt{185}}{2}$cm；② 该圆的半径为$\sqrt{31}$cm
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合角尺的实际场景考查圆的几何性质，设置了梯度化的问题，需要学生熟练掌握辅助线的构造方法，结合方程思想求解，能有效考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.45