4. 如图，DE是AC的垂直平分线，AD=4，△ABE的周长为11，则△ABC的周长为（）。
A.30
B.26
C.19
D.14
A.30
B.26
C.19
D.14
答案：C
解析：
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
1. 由DE是AC的垂直平分线，可得AE=CE，AD=CD。
2. 已知AD=4，因此AC=AD+CD=2AD=8。
3. 已知△ABE的周长为AB+BE+AE=11，将AE替换为CE，可得AB+BE+CE=AB+BC=11。
4. 计算△ABC的周长：AB+BC+AC=11+8=19。
1. 由DE是AC的垂直平分线，可得AE=CE，AD=CD。
2. 已知AD=4，因此AC=AD+CD=2AD=8。
3. 已知△ABE的周长为AB+BE+AE=11，将AE替换为CE，可得AB+BE+CE=AB+BC=11。
4. 计算△ABC的周长：AB+BC+AC=11+8=19。
5. 如图，在$△ ABC$中，E是边BC上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，交AC于点D，连接DE.若$△ ABC$的周长为24，$△ DEC$的周长为10，求AB的长.
答案：解：
∵ BD垂直平分AE，
∴ AB = BE，AD = DE。
∵ △ABC的周长为24，
∴ AB + BC + AC = 24，
即 AB + BE + EC + AC = 24。
∵ △DEC的周长为10，
∴ DE + EC + DC = 10，
∴ AD + EC + DC = 10，
即 AC + EC = 10。
将AB=BE、AC+EC=10代入AB + BE + EC + AC = 24，得：
2AB + 10 = 24，
解得 AB = 7。
答：AB的长为7。
∵ BD垂直平分AE，
∴ AB = BE，AD = DE。
∵ △ABC的周长为24，
∴ AB + BC + AC = 24，
即 AB + BE + EC + AC = 24。
∵ △DEC的周长为10，
∴ DE + EC + DC = 10，
∴ AD + EC + DC = 10，
即 AC + EC = 10。
将AB=BE、AC+EC=10代入AB + BE + EC + AC = 24，得：
2AB + 10 = 24，
解得 AB = 7。
答：AB的长为7。
1. 如图，在$△ ABC$中，$AC=6$，$BC=10$，观察
中尺规作图的痕迹，则$△ ADC$的周长是（）。
A.8
B.10
C.12
D.16
中尺规作图的痕迹，则$△ ADC$的周长是（）。A.8
B.10
C.12
D.16
答案：
2. 如图，在$△ ABC$中，分别以顶点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$，$N$，连接$MN$，分别与边$AB$，$BC$相交于点$D$，$E$. 若$AC=5$，$△ AEC$的周长为17，则$BC=$().
A.17
B.12
C.10
D.22
A.17
B.12
C.10
D.22
答案：B
解析：
由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=BE。
已知△AEC的周长为17，即$AE+EC+AC=17$，将$AE=BE$代入得：$BE+EC+AC=17$，也就是$BC+AC=17$。
又因为$AC=5$，所以$BC=17-5=12$。
已知△AEC的周长为17，即$AE+EC+AC=17$，将$AE=BE$代入得：$BE+EC+AC=17$，也就是$BC+AC=17$。
又因为$AC=5$，所以$BC=17-5=12$。
3. 如图，在$△ ABC$中，$BC=16$，$AB$的垂直平分线交边$BC$于点$F$，$AC$的垂直平分线交边$BC$于点$H$，则$△ AFH$的周长是（）。
A.6
B.10
C.16
D.20
A.6
B.10
C.16
D.20
答案：