4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=16$，$BC=12$，$CA=10$，$∠ ABC$的平分线$BP$与$AC$相交于点$D$. 在线段$AD$上取一点$K$，以点$C$为圆心，$CK$为半径作弧，与射线$BP$相交于点$M$和点$N$，再分别以点$M$和点$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧相交于点$Q$，作射线$CQ$，与$AB$相交于点$E$，连接$DE$. 则$△ DAE$的周长为（）.
A.12
B.14
C.16
D.18
A.12
B.14
C.16
D.18
答案：B
解析：
由作图步骤可知，直线CQ是线段MN的垂直平分线，因此$CE⊥ BD$。
因为BD是$∠ ABC$的角平分线，所以$∠ CBD=∠ EBD$。
在$△ CBD$和$△ EBD$中：$∠ CBD=∠ EBD$，$BD=BD$，$∠ CDB=∠ EDB=90°$，可得$△ CBD≌△ EBD$（ASA）。
由此推出$BC=BE=12$，$CD=DE$。
$△ DAE$的周长$=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE$。
计算得$AE=AB-BE=16-12=4$，已知$AC=10$，因此$△ DAE$的周长为$10+4=14$。
因为BD是$∠ ABC$的角平分线，所以$∠ CBD=∠ EBD$。
在$△ CBD$和$△ EBD$中：$∠ CBD=∠ EBD$，$BD=BD$，$∠ CDB=∠ EDB=90°$，可得$△ CBD≌△ EBD$（ASA）。
由此推出$BC=BE=12$，$CD=DE$。
$△ DAE$的周长$=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE$。
计算得$AE=AB-BE=16-12=4$，已知$AC=10$，因此$△ DAE$的周长为$10+4=14$。
5. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？
答案：解：
1. 连接MN；
2. 作线段MN的垂直平分线，交直线AB于点P。
则点P即为所求的汽车行驶位置。
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，此时PM=PN，即汽车行驶到点P处时，与村庄M，N的距离相等。
1. 连接MN；
2. 作线段MN的垂直平分线，交直线AB于点P。
则点P即为所求的汽车行驶位置。
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，此时PM=PN，即汽车行驶到点P处时，与村庄M，N的距离相等。