4. 如图，在等边三角形ABC中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点P，且$PD// AB$，$PE// AC$.
（1）求证：$△ PDE$是等边三角形.
（2）线段BD，DE，EC三者之间有什么数量关系？请说明理由.
（1）求证：$△ PDE$是等边三角形.
（2）线段BD，DE，EC三者之间有什么数量关系？请说明理由.
答案：
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$，现有点$P$，$Q$分别从点$A$，$B$同时出发，沿三角形的边运动，已知点$P$的速度为1 cm/s，点$Q$的速度为2 cm/s. 当点$Q$第一次回到点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动.
(1) 点$P$，$Q$运动多少秒时，$P$，$Q$两点重合？
(2) 点$P$，$Q$运动多少秒时，可得到等边三角形$APQ$？
(1) 点$P$，$Q$运动多少秒时，$P$，$Q$两点重合？
(2) 点$P$，$Q$运动多少秒时，可得到等边三角形$APQ$？
答案：解：
(1) 设点P，Q运动$t$秒时，P，Q两点重合。
点Q第一次回到点B时运动的总路程为$12 × 3 = 36\ \mathrm{cm}$，总运动时间为$36 ÷ 2 = 18\ \mathrm{s}$，故$0 ≤ t ≤ 18$。
此时点P运动的路程为$t\ \mathrm{cm}$，点Q运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，两点重合时满足：
$2t = t + 12$
解得$t=12$，符合$0 ≤ t ≤ 18$。
答：点P，Q运动12秒时，P，Q两点重合。
(2) 设点P，Q运动$t$秒时，可得到等边三角形$APQ$。
$\because AB=BC=AC$，$\therefore ∠ A = 60°$。
当$△ APQ$为等边三角形时，需满足$AP=AQ$。
点P在AC边上时，$AP = t\ \mathrm{cm}$；点Q在AB边上时，$AQ = AB - BQ = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
令$AP=AQ$，得：
$t = 12 - 2t$
解得$t=4$，此时$0＜4＜6$，点P在AC边上、点Q在AB边上，符合条件。
答：点P，Q运动4秒时，可得到等边三角形$APQ$。
(1) 设点P，Q运动$t$秒时，P，Q两点重合。
点Q第一次回到点B时运动的总路程为$12 × 3 = 36\ \mathrm{cm}$，总运动时间为$36 ÷ 2 = 18\ \mathrm{s}$，故$0 ≤ t ≤ 18$。
此时点P运动的路程为$t\ \mathrm{cm}$，点Q运动的路程为$2t\ \mathrm{cm}$，两点重合时满足：
$2t = t + 12$
解得$t=12$，符合$0 ≤ t ≤ 18$。
答：点P，Q运动12秒时，P，Q两点重合。
(2) 设点P，Q运动$t$秒时，可得到等边三角形$APQ$。
$\because AB=BC=AC$，$\therefore ∠ A = 60°$。
当$△ APQ$为等边三角形时，需满足$AP=AQ$。
点P在AC边上时，$AP = t\ \mathrm{cm}$；点Q在AB边上时，$AQ = AB - BQ = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
令$AP=AQ$，得：
$t = 12 - 2t$
解得$t=4$，此时$0＜4＜6$，点P在AC边上、点Q在AB边上，符合条件。
答：点P，Q运动4秒时，可得到等边三角形$APQ$。