6. 若$a + b = 2025$，$a - b = 1$，则$(a + 1)^2 - (b - 1)^2$的值为。
答案：$\boldsymbol{6075}$
解析：
解：
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (b-1)^2&=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]\\&=(a+b)(a-b+2)\end{aligned}$
将$a+b=2025$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2025×(1+2)\\&=2025×3\\&=6075\end{aligned}$
最终
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(a+1)^2 - (b-1)^2&=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]\\&=(a+b)(a-b+2)\end{aligned}$
将$a+b=2025$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2025×(1+2)\\&=2025×3\\&=6075\end{aligned}$
最终
7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 如：$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1) 28是“神秘数”吗？为什么？
(2) 设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中$k$取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
(1) 28是“神秘数”吗？为什么？
(2) 设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中$k$取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
答案：解：
(1) 28是“神秘数”。
理由：
因为$28 = 8^2 - 6^2$，6和8是两个连续的偶数，28可以表示为两个连续偶数的平方差，所以28是“神秘数”。
(2) 由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
理由：
利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2k+2)^2 - (2k)^2&=(2k+2+2k)(2k+2-2k)\\&=(4k+2)× 2\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为k是非负整数，所以$2k+1$是正整数，$4(2k+1)$能被4整除，因此由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
(1) 28是“神秘数”。
理由：
因为$28 = 8^2 - 6^2$，6和8是两个连续的偶数，28可以表示为两个连续偶数的平方差，所以28是“神秘数”。
(2) 由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
理由：
利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(2k+2)^2 - (2k)^2&=(2k+2+2k)(2k+2-2k)\\&=(4k+2)× 2\\&=8k+4\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
因为k是非负整数，所以$2k+1$是正整数，$4(2k+1)$能被4整除，因此由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
1. 有下列多项式：①$x^2 - 10x + 25$；②$-4a^2 + 4a - 1$；③$x^2 - 2x - 1$；④$-m^2 + m - \frac{1}{4}$；⑤$4x^4 - x^2 + \frac{1}{4}$。
其中不能用完全平方公式分解因式的个数为（）。
A.0
B.1
C.2
D.3
其中不能用完全平方公式分解因式的个数为（）。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：
根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的特征：三项式，其中两项是同号的平方项，剩余项为两个平方项底数乘积的2倍，逐个判断：
①$x^2-10x+25=(x-5)^2$，可以用完全平方公式分解；
②$-4a^2+4a-1=-(2a-1)^2$，可以用完全平方公式分解；
③$x^2-2x-1$的常数项为负，不存在同号的两个平方项，不能用完全平方公式分解；
④$-m^2+m-\frac{1}{4}=-(m-\frac{1}{2})^2$，可以用完全平方公式分解；
⑤$4x^4-x^2+\frac{1}{4}$中，中间项$-x^2\ne\pm2·2x^2·\frac{1}{2}=\pm2x^2$，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解。
综上，不能用完全平方公式分解的多项式共2个。
①$x^2-10x+25=(x-5)^2$，可以用完全平方公式分解；
②$-4a^2+4a-1=-(2a-1)^2$，可以用完全平方公式分解；
③$x^2-2x-1$的常数项为负，不存在同号的两个平方项，不能用完全平方公式分解；
④$-m^2+m-\frac{1}{4}=-(m-\frac{1}{2})^2$，可以用完全平方公式分解；
⑤$4x^4-x^2+\frac{1}{4}$中，中间项$-x^2\ne\pm2·2x^2·\frac{1}{2}=\pm2x^2$，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解。
综上，不能用完全平方公式分解的多项式共2个。
2. 把多项式$16x^2 -24x +9$分解因式的结果是（）.
A.$(4x-3)^2$
B.$(16x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
A.$(4x-3)^2$
B.$(16x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$
答案：A
解析：
多项式$16x^2 -24x +9$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征：$16x^2=(4x)^2$，$9=3^2$，且$2·4x·3=24x$，代入公式可得$16x^2 -24x +9=(4x)^2 - 2·4x·3 +3^2=(4x-3)^2$。
3. 多项式$x^2 - 2x +1$与多项式$(x-1)(x+1)$的公因式是（）。
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^2+1$
D.$x^2$
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^2+1$
D.$x^2$
答案：B
解析：
利用完全平方公式对多项式$x^2-2x+1$因式分解，可得$x^2-2x+1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$；已知第二个多项式为$(x-1)(x+1)$，对比两个多项式的因式，可得二者的公因式是$x-1$。