4. 在将多项式分解因式时，我们经常用到“整体思想”，将$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 8) + 16$分解因式的结果是（）。
A.$(x - y)^4$
B.$(x^2 + y^2 - 4)^2$
C.$(x^2 - y^2 - 4)^2$
D.$(x^2 + y^2 + 4)^2$
A.$(x - y)^4$
B.$(x^2 + y^2 - 4)^2$
C.$(x^2 - y^2 - 4)^2$
D.$(x^2 + y^2 + 4)^2$
答案：B
解析：
设$t = x^2 + y^2$，对原式做整体代换，可得原式$=t(t-8)+16$，展开整理得$t^2 -8t +16$，利用完全平方公式因式分解得$(t-4)^2$，将$t=x^2+y^2$回代，最终分解结果为$(x^2 + y^2 -4)^2$。
5. 如图，小颖利用两种不同的方法计算此图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）。
A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
答案：C
解析：
方法1：将图形拆分为6个小部分计算面积，分别是1个边长为a的正方形、3个长为a宽为b的长方形、2个边长为b的正方形，总面积为$a^2 + 3ab + 2b^2$。
方法2：将整体图形看作大长方形，它的长为$a+b+b=a+2b$，宽为$a+b$，总面积为$(a+2b)(a+b)$。
两种方法计算的是同一图形的面积，因此得到因式分解等式：$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$。
方法2：将整体图形看作大长方形，它的长为$a+b+b=a+2b$，宽为$a+b$，总面积为$(a+2b)(a+b)$。
两种方法计算的是同一图形的面积，因此得到因式分解等式：$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$。
6. 分解因式：
(1) $-2x^3 + 4x^2y - 2xy^2$；
(2) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$。
(1) $-2x^3 + 4x^2y - 2xy^2$；
(2) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$。
答案：解：
(1)
$-2x^3 + 4x^2y - 2xy^2$
$= -2x(x^2 - 2xy + y^2)$
$= -2x(x - y)^2$
(2)
$9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$
$= 9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$= (x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$= (x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(1)
$-2x^3 + 4x^2y - 2xy^2$
$= -2x(x^2 - 2xy + y^2)$
$= -2x(x - y)^2$
(2)
$9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$
$= 9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$= (x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$= (x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（）.
A.$(a+4)^2 = a^2 +8a +16$
B.$a^2 -8a +4 = a(a-8)+4$
C.$a^2 -2a -8 = (a-2)(a+4)$
D.$5ax^2 -5ay^2 =5a(x+y)(x-y)$
A.$(a+4)^2 = a^2 +8a +16$
B.$a^2 -8a +4 = a(a-8)+4$
C.$a^2 -2a -8 = (a-2)(a+4)$
D.$5ax^2 -5ay^2 =5a(x+y)(x-y)$
答案：D
解析：
根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一分析选项：
1. 选项A：变形是整式乘法，将积化为多项式，不属于因式分解，错误。
2. 选项B：等式右边是多项式加常数的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解，错误。
3. 选项C：展开右边$(a-2)(a+4)=a^2+2a-8$，和左边$a^2-2a-8$不相等，因式分解结果错误。
4. 选项D：先提取公因式$5a$，再用平方差公式分解$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，变形符合因式分解定义且结果正确。
1. 选项A：变形是整式乘法，将积化为多项式，不属于因式分解，错误。
2. 选项B：等式右边是多项式加常数的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解，错误。
3. 选项C：展开右边$(a-2)(a+4)=a^2+2a-8$，和左边$a^2-2a-8$不相等，因式分解结果错误。
4. 选项D：先提取公因式$5a$，再用平方差公式分解$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，变形符合因式分解定义且结果正确。
2. 单项式$6a^3b$与$9a^2b^3$的公因式是（）.
A.$a^2b$
B.$3a^2b$
C.$3a^3b^3$
D.$18a^3b^3$
A.$a^2b$
B.$3a^2b$
C.$3a^3b^3$
D.$18a^3b^3$
答案：B
解析：
确定两个单项式的公因式步骤如下：
1. 取系数的最大公约数：6和9的最大公约数是3；
2. 取相同字母的最低次幂：两个单项式都含有字母a、b，a的次数分别为3和2，取最低次幂$a^2$；b的次数分别为1和3，取最低次幂$b$；
3. 组合得到公因式为$3a^2b$。
1. 取系数的最大公约数：6和9的最大公约数是3；
2. 取相同字母的最低次幂：两个单项式都含有字母a、b，a的次数分别为3和2，取最低次幂$a^2$；b的次数分别为1和3，取最低次幂$b$；
3. 组合得到公因式为$3a^2b$。