根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B为整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式，逐一判断：
1. 选项A：$\frac{1}{a}$的分母a是字母，符合分式定义，是分式；
2. 选项B：$\frac{2}{π}$中$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
3. 选项C：$\frac{x+1}{2}$的分母是常数2，属于整式，不是分式；
4. 选项D：$\frac{1}{x}=2$是等式，为分式方程，不属于分式。

分式有意义的条件是分母不为0，因此可得$3m+2≠0$，解该不等式得$m≠-\frac{2}{3}$，即$m$的取值范围是$m≠-\frac{2}{3}$。

要使分式的值为0，需满足分子等于0且分母不等于0。先令分子$3x-6=0$，解得$x=2$；将$x=2$代入分母$2x+1$，得$2×2+1=5≠0$，满足分母不为0的条件，因此$x=2$。

分式有意义的条件是分母不为0，逐一分析选项：
1. 选项A：分母为$|x|-2$，当$x=\pm2$时，分母等于0，分式无意义；
2. 选项B：分母为$2x+1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，分母等于0，分式无意义；
3. 选项C：分母为$2x^2+1$，因为$x^2≥0$，所以$2x^2+1≥1＞0$，无论$x$取何值，分母都不为0，分式始终有意义；
4. 选项D：分母为$x^2$，当$x=0$时，分母等于0，分式无意义。
综上，符合要求的是选项C。

分式有意义的条件是分母不为0，因此可得$|x|-3≠0$，解得$|x|≠3$，即$x≠\pm3$。