1. 下列各式：①$(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2$；②$-\dfrac{8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}$；③$(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2$；④$\dfrac{2mn^2}{ab^2} ÷ \dfrac{a^3}{m}$。其中计算结果相等的是（）。
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
答案：C
解析：
分别计算四个式子的结果：
1. 计算①：$(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2=\dfrac{(-2mn)^2}{(a^2b)^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$
2. 计算②：$-\dfrac{8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}=-\dfrac{8m^4n^2· an}{a^5b· bm^2}=-\dfrac{8m^2n^3}{a^4b^2}$
3. 计算③：$(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2=\dfrac{4m^2}{a^2b^4}·\dfrac{n^2b^2}{a^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$
4. 计算④：$\dfrac{2mn^2}{ab^2} ÷ \dfrac{a^3}{m}=\dfrac{2mn^2}{ab^2}·\dfrac{m}{a^3}=\dfrac{2m^2n^2}{a^4b^2}$
可得①和③的计算结果相等。
1. 计算①：$(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2=\dfrac{(-2mn)^2}{(a^2b)^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$
2. 计算②：$-\dfrac{8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}=-\dfrac{8m^4n^2· an}{a^5b· bm^2}=-\dfrac{8m^2n^3}{a^4b^2}$
3. 计算③：$(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2=\dfrac{4m^2}{a^2b^4}·\dfrac{n^2b^2}{a^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$
4. 计算④：$\dfrac{2mn^2}{ab^2} ÷ \dfrac{a^3}{m}=\dfrac{2mn^2}{ab^2}·\dfrac{m}{a^3}=\dfrac{2m^2n^2}{a^4b^2}$
可得①和③的计算结果相等。
2. 计算$(-\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 ÷ (-\dfrac{y}{x})^4$的结果是（$\quad$）。
A.$\dfrac{y^8}{x^3}$
B.$-\dfrac{y^8}{x^3}$
C.$-x^5$
D.$x^5$
A.$\dfrac{y^8}{x^3}$
B.$-\dfrac{y^8}{x^3}$
C.$-x^5$
D.$x^5$
答案：C
解析：
先分别计算各分式的乘方：
1. $(-\frac{x^2}{y})^2=\frac{x^4}{y^2}$，偶次幂消去负号；
2. $(-\frac{y^2}{x})^3=-\frac{y^6}{x^3}$，奇次幂保留负号；
3. $(-\frac{y}{x})^4=\frac{y^4}{x^4}$，偶次幂消去负号。
将除法转化为乘以除式的倒数，原式变形为：
$\frac{x^4}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · \frac{x^4}{y^4}$
约分计算：分子的$y^6$和分母的$y^2 · y^4$约去，分子$x^4 · x^4$和分母$x^3$约分化简得$-x^5$。
1. $(-\frac{x^2}{y})^2=\frac{x^4}{y^2}$，偶次幂消去负号；
2. $(-\frac{y^2}{x})^3=-\frac{y^6}{x^3}$，奇次幂保留负号；
3. $(-\frac{y}{x})^4=\frac{y^4}{x^4}$，偶次幂消去负号。
将除法转化为乘以除式的倒数，原式变形为：
$\frac{x^4}{y^2} · (-\frac{y^6}{x^3}) · \frac{x^4}{y^4}$
约分计算：分子的$y^6$和分母的$y^2 · y^4$约去，分子$x^4 · x^4$和分母$x^3$约分化简得$-x^5$。
3. 当$a=2\,025$，$b=1$时，$(ab^3)^2 · (-\dfrac{b}{a^2})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4 =$ .
答案：$\boldsymbol{-1}$
解析：
解：
先对原式各部分进行乘方运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}\\&=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{a^4}{b^4}\\&=-\dfrac{a^2b^6 · b^3 · a^4}{a^6 · b^4}\\&=-\dfrac{a^6b^9}{a^6b^4}\\&=-b^5\end{aligned}$
将$b=1$代入，得：原式$=-1^5=-1$。
最终
先对原式各部分进行乘方运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}\\&=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{a^4}{b^4}\\&=-\dfrac{a^2b^6 · b^3 · a^4}{a^6 · b^4}\\&=-\dfrac{a^6b^9}{a^6b^4}\\&=-b^5\end{aligned}$
将$b=1$代入，得：原式$=-1^5=-1$。
最终
4. 已知$\frac{b}{a}=\frac{4}{5}$，求$(\frac{a-b}{a})^{2025} · (\frac{a}{b-a})^{2026}$的值。
答案：解：
原式$=( \frac{a-b}{a} )^{2025} · ( \frac{a}{b-a} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=( \frac{a-b}{a} · \frac{a}{b-a} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=( \frac{a-b}{-(a-b)} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=(-1)^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$= - \frac{a}{b-a}$
$= \frac{a}{a-b}$
由$\frac{b}{a}=\frac{4}{5}$，得$b=\frac{4}{5}a$，代入得：
$\frac{a}{a-b} = \frac{a}{a - \frac{4}{5}a} = \frac{a}{\frac{1}{5}a} = 5$
所以原式的值为$5$。
原式$=( \frac{a-b}{a} )^{2025} · ( \frac{a}{b-a} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=( \frac{a-b}{a} · \frac{a}{b-a} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=( \frac{a-b}{-(a-b)} )^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$=(-1)^{2025} · \frac{a}{b-a}$
$= - \frac{a}{b-a}$
$= \frac{a}{a-b}$
由$\frac{b}{a}=\frac{4}{5}$，得$b=\frac{4}{5}a$，代入得：
$\frac{a}{a-b} = \frac{a}{a - \frac{4}{5}a} = \frac{a}{\frac{1}{5}a} = 5$
所以原式的值为$5$。
5. 计算：
(1) $(-\dfrac{2a}{c})^3 · \dfrac{c^4}{8ab}$；
(2) $(\dfrac{a^2b}{-c})^4 · (\dfrac{c^2}{ab})^3 ÷ (\dfrac{ac}{-b})^5$；
(3) $(\dfrac{a^3}{-2b})^2 ÷ (-\dfrac{a^2}{b})^3 · \dfrac{b}{2}$。
(1) $(-\dfrac{2a}{c})^3 · \dfrac{c^4}{8ab}$；
(2) $(\dfrac{a^2b}{-c})^4 · (\dfrac{c^2}{ab})^3 ÷ (\dfrac{ac}{-b})^5$；
(3) $(\dfrac{a^3}{-2b})^2 ÷ (-\dfrac{a^2}{b})^3 · \dfrac{b}{2}$。
答案：解：
(1) 原式 = $(-\dfrac{8a^3}{c^3}) · \dfrac{c^4}{8ab}$
$= -\dfrac{8a^3 · c^4}{c^3 · 8ab}$
$= -\dfrac{a^2 c}{b}$
(2) 原式 = $\dfrac{a^8 b^4}{c^4} · \dfrac{c^6}{a^3 b^3} ÷ (-\dfrac{a^5 c^5}{b^5})$
$= \dfrac{a^8 b^4}{c^4} · \dfrac{c^6}{a^3 b^3} · (-\dfrac{b^5}{a^5 c^5})$
$= -\dfrac{a^8 b^4 · c^6 · b^5}{c^4 · a^3 b^3 · a^5 c^5}$
$= -\dfrac{b^6}{c^3}$
(3) 原式 = $\dfrac{a^6}{4b^2} ÷ (-\dfrac{a^6}{b^3}) · \dfrac{b}{2}$
$= \dfrac{a^6}{4b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{b}{2}$
$= -\dfrac{a^6 · b^3 · b}{4b^2 · a^6 · 2}$
$= -\dfrac{b^2}{8}$
(1) 原式 = $(-\dfrac{8a^3}{c^3}) · \dfrac{c^4}{8ab}$
$= -\dfrac{8a^3 · c^4}{c^3 · 8ab}$
$= -\dfrac{a^2 c}{b}$
(2) 原式 = $\dfrac{a^8 b^4}{c^4} · \dfrac{c^6}{a^3 b^3} ÷ (-\dfrac{a^5 c^5}{b^5})$
$= \dfrac{a^8 b^4}{c^4} · \dfrac{c^6}{a^3 b^3} · (-\dfrac{b^5}{a^5 c^5})$
$= -\dfrac{a^8 b^4 · c^6 · b^5}{c^4 · a^3 b^3 · a^5 c^5}$
$= -\dfrac{b^6}{c^3}$
(3) 原式 = $\dfrac{a^6}{4b^2} ÷ (-\dfrac{a^6}{b^3}) · \dfrac{b}{2}$
$= \dfrac{a^6}{4b^2} · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{b}{2}$
$= -\dfrac{a^6 · b^3 · b}{4b^2 · a^6 · 2}$
$= -\dfrac{b^2}{8}$