5. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}$，其中$x$的值从0，1中选取。
答案：解：
原式$=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
$=x+1$
由分式有意义的条件可知，$x-1≠0$，即$x≠1$，因此只能选取$x=0$代入。
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
原式$=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$
$=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
$=x+1$
由分式有意义的条件可知，$x-1≠0$，即$x≠1$，因此只能选取$x=0$代入。
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
6. 对于实数 $ y $，规定 $ f(y)=\frac{y}{y+1} $。例如：$ f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} $，$ f(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} $，$ f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3} $。
（1）求值：$ f(3)+f(\frac{1}{3})= $ ，$ f(5)+f(\frac{1}{5})= $ 。
（2）猜想：$ f(x)+f(\frac{1}{x})= $ ，并证明你的结论。
（3）求 $ f(2025)+f(2024)+\dots +f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+\dots +f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2025}) $ 的值。
（1）求值：$ f(3)+f(\frac{1}{3})= $ ，$ f(5)+f(\frac{1}{5})= $ 。
（2）猜想：$ f(x)+f(\frac{1}{x})= $ ，并证明你的结论。
（3）求 $ f(2025)+f(2024)+\dots +f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+\dots +f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2025}) $ 的值。
答案：(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1}$；
(2) $\boldsymbol{1}$；
(3) $\boldsymbol{2024\frac{1}{2}}$（或$\frac{4049}{2}$）。
(2) $\boldsymbol{1}$；
(3) $\boldsymbol{2024\frac{1}{2}}$（或$\frac{4049}{2}$）。
解析：
解：
(1)
$f(3)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}$，
$f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；
$f(5)=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$，$f(\frac{1}{5})=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}=\frac{1}{6}$，
$f(5)+f(\frac{1}{5})=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$。
(2) 猜想：$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，
证明：
$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+x}{x}}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$。
(3) 对原式分组得：
$[f(2025)+f(\frac{1}{2025})]+[f(2024)+f(\frac{1}{2024})]+\dots+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+f(1)$
由(2)的结论可知，每组的和均为1，共2024组，且$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
因此原式$=2024×1+\frac{1}{2}=2024\frac{1}{2}$。
最终
(1)
$f(3)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}$，
$f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；
$f(5)=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$，$f(\frac{1}{5})=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}=\frac{1}{6}$，
$f(5)+f(\frac{1}{5})=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$。
(2) 猜想：$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，
证明：
$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+x}{x}}$
$=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$。
(3) 对原式分组得：
$[f(2025)+f(\frac{1}{2025})]+[f(2024)+f(\frac{1}{2024})]+\dots+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+f(1)$
由(2)的结论可知，每组的和均为1，共2024组，且$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
因此原式$=2024×1+\frac{1}{2}=2024\frac{1}{2}$。
最终
1. 若$(□ -1)· \dfrac{1}{5-a}=\dfrac{1}{a-4}$，则“$□$”代表的是（）.
A.$\dfrac{1}{4-a}$
B.$\dfrac{1}{a-4}$
C.$\dfrac{9-2a}{a-4}$
D.$\dfrac{2a-9}{a-4}$
A.$\dfrac{1}{4-a}$
B.$\dfrac{1}{a-4}$
C.$\dfrac{9-2a}{a-4}$
D.$\dfrac{2a-9}{a-4}$
答案：B
解析：
设“”代表的数为$x$，根据等式性质可得：
$x-1 = \dfrac{1}{a-4} ÷ \dfrac{1}{5-a}$
计算右侧：$x-1 = \dfrac{1}{a-4} · (5-a) = \dfrac{5-a}{a-4}$
移项得：$x = 1 + \dfrac{5-a}{a-4}$
将1通分为$\dfrac{a-4}{a-4}$，进行分式加法运算：
$x = \dfrac{a-4}{a-4} + \dfrac{5-a}{a-4} = \dfrac{a-4+5-a}{a-4} = \dfrac{1}{a-4}$
即“”代表的是$\dfrac{1}{a-4}$。
$x-1 = \dfrac{1}{a-4} ÷ \dfrac{1}{5-a}$
计算右侧：$x-1 = \dfrac{1}{a-4} · (5-a) = \dfrac{5-a}{a-4}$
移项得：$x = 1 + \dfrac{5-a}{a-4}$
将1通分为$\dfrac{a-4}{a-4}$，进行分式加法运算：
$x = \dfrac{a-4}{a-4} + \dfrac{5-a}{a-4} = \dfrac{a-4+5-a}{a-4} = \dfrac{1}{a-4}$
即“”代表的是$\dfrac{1}{a-4}$。