2. 数学课上，甲、乙、丙、丁四名同学进行分式接力计算.
化简：$(1 - \dfrac{3x - 2}{x + 2}) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{2x + 4}.$
原式$=\dfrac{x + 2 - (3x - 2)}{x + 2} ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{2x + 4}$（甲同学）
$=\dfrac{x + 2 - 3x - 2}{x + 2} · \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)^2}$（乙同学）
$=\dfrac{-2x}{x + 2} · \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)^2}$（丙同学）
$=\dfrac{-4x}{(x - 2)^2}.$（丁同学）
从（$\boldsymbol{乙}$）同学开始出现错误.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
化简：$(1 - \dfrac{3x - 2}{x + 2}) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{2x + 4}.$
原式$=\dfrac{x + 2 - (3x - 2)}{x + 2} ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{2x + 4}$（甲同学）
$=\dfrac{x + 2 - 3x - 2}{x + 2} · \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)^2}$（乙同学）
$=\dfrac{-2x}{x + 2} · \dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)^2}$（丙同学）
$=\dfrac{-4x}{(x - 2)^2}.$（丁同学）
从（$\boldsymbol{乙}$）同学开始出现错误.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：B
解析：
1. 甲同学步骤：将1通分为$\frac{x+2}{x+2}$，计算$1-\frac{3x-2}{x+2}=\frac{x+2-(3x-2)}{x+2}$，运算正确。2. 乙同学步骤：去括号时，$x+2-(3x-2)=x+2-3x+2$，乙错误将$-(3x-2)$展开为$-3x-2$，从乙同学开始出现错误。
3. 若分式$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，则分式$\frac{4x + 5xy - 4y}{x - 3xy - y}$的值等于（）.
A.$-\frac{3}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$-\frac{3}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：C
解析：
先对已知条件变形：由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，通分得$\frac{y-x}{xy}=2$，即$y-x=2xy$，可得$x-y=-2xy$。
整理所求分式的分子分母：
分子$4x+5xy-4y=4(x-y)+5xy$，分母$x-3xy-y=(x-y)-3xy$。
将$x-y=-2xy$代入：
分子$=4×(-2xy)+5xy=-3xy$，
分母$=(-2xy)-3xy=-5xy$，
由题意可知$xy≠0$，约分得分式的值为$\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$。
整理所求分式的分子分母：
分子$4x+5xy-4y=4(x-y)+5xy$，分母$x-3xy-y=(x-y)-3xy$。
将$x-y=-2xy$代入：
分子$=4×(-2xy)+5xy=-3xy$，
分母$=(-2xy)-3xy=-5xy$，
由题意可知$xy≠0$，约分得分式的值为$\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$。
4. 已知A为整式，若计算$\frac{A}{xy + y^2} - \frac{y}{x^2 + xy}$的结果为$\frac{x - y}{xy}$，则$A=（\quad）$。
A.$x + y$
B.$x - y$
C.$x$
D.$y$
A.$x + y$
B.$x - y$
C.$x$
D.$y$
答案：C
解析：
根据题意可得等式：$\frac{A}{xy+y^2} - \frac{y}{x^2+xy} = \frac{x-y}{xy}$，移项得：
$\frac{A}{y(x+y)} = \frac{x-y}{xy} + \frac{y}{x(x+y)}$
对右侧分式通分，最简公分母为$xy(x+y)$：
$\frac{x-y}{xy}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{x^2-y^2}{xy(x+y)}$，$\frac{y}{x(x+y)}=\frac{y^2}{xy(x+y)}$
相加化简右侧：$\frac{x^2-y^2+y^2}{xy(x+y)}=\frac{x^2}{xy(x+y)}=\frac{x}{y(x+y)}$
对比等式两边$\frac{A}{y(x+y)}=\frac{x}{y(x+y)}$，可得$A=x$。
$\frac{A}{y(x+y)} = \frac{x-y}{xy} + \frac{y}{x(x+y)}$
对右侧分式通分，最简公分母为$xy(x+y)$：
$\frac{x-y}{xy}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{x^2-y^2}{xy(x+y)}$，$\frac{y}{x(x+y)}=\frac{y^2}{xy(x+y)}$
相加化简右侧：$\frac{x^2-y^2+y^2}{xy(x+y)}=\frac{x^2}{xy(x+y)}=\frac{x}{y(x+y)}$
对比等式两边$\frac{A}{y(x+y)}=\frac{x}{y(x+y)}$，可得$A=x$。
5. 甲、乙两人从同一起点沿着同一条路到同一地点去，甲一半路程以速度$ m $行走，另一半路程以速度$ n $行走；乙一半时间以速度$ m $行走，另一半时间以速度$ n $行走. 那么谁先到达目的地？请说明理由.（速度单位都相同，且$ m≠n $.）
答案：解：设总路程为$s$，
甲走完全程的时间为：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{m} + \frac{\frac{s}{2}}{n} = \frac{s}{2m} + \frac{s}{2n} = \frac{s(m+n)}{2mn}$
设乙走完全程的总时间为$t_乙$，根据题意得：
$m·\frac{t_乙}{2} + n·\frac{t_乙}{2} = s$
整理得：$\frac{t_乙(m+n)}{2}=s$，解得
$t_乙 = \frac{2s}{m+n}$
计算$t_甲 - t_乙$：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(m+n)}{2mn} - \frac{2s}{m+n}\\&= \frac{s(m+n)^2 - 4smn}{2mn(m+n)}\\&= \frac{s(m^2 + 2mn + n^2 -4mn)}{2mn(m+n)}\\&= \frac{s(m-n)^2}{2mn(m+n)}\end{aligned}$
因为$s＞0$，$m＞0$，$n＞0$，$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2mn(m+n)＞0$，因此$\frac{s(m-n)^2}{2mn(m+n)}＞0$，即$t_甲 - t_乙＞0$，$t_甲＞t_乙$。
答：乙先到达目的地。
甲走完全程的时间为：
$t_甲 = \frac{\frac{s}{2}}{m} + \frac{\frac{s}{2}}{n} = \frac{s}{2m} + \frac{s}{2n} = \frac{s(m+n)}{2mn}$
设乙走完全程的总时间为$t_乙$，根据题意得：
$m·\frac{t_乙}{2} + n·\frac{t_乙}{2} = s$
整理得：$\frac{t_乙(m+n)}{2}=s$，解得
$t_乙 = \frac{2s}{m+n}$
计算$t_甲 - t_乙$：
$\begin{aligned}t_甲 - t_乙 &= \frac{s(m+n)}{2mn} - \frac{2s}{m+n}\\&= \frac{s(m+n)^2 - 4smn}{2mn(m+n)}\\&= \frac{s(m^2 + 2mn + n^2 -4mn)}{2mn(m+n)}\\&= \frac{s(m-n)^2}{2mn(m+n)}\end{aligned}$
因为$s＞0$，$m＞0$，$n＞0$，$m≠ n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2mn(m+n)＞0$，因此$\frac{s(m-n)^2}{2mn(m+n)}＞0$，即$t_甲 - t_乙＞0$，$t_甲＞t_乙$。
答：乙先到达目的地。