1. 填写表格。
二进制数
十进制数 0 1 2 3
5 6 7 8 9
二进制数
十进制数 0 1 2 3
5 6 7 8 9答案：从左到右二进制数依次为：
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
2. 把下列二进制数改写成十进制数。
(1) $(111)_2$
(2) $(10101)_2$
(3) $(101011)_2$
(1) $(111)_2$
(2) $(10101)_2$
(3) $(101011)_2$
答案：(1)
$(111)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$= 4 + 2 + 1$
$= 7$
(2)
$(10101)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
$= 16 + 0 + 4 + 0 + 1$
$= 21$
(3)
$(101011)_2 = 1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1$
$= 43$
答：三个二进制数改写成的十进制数分别是7、21、43。
$(111)_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$= 4 + 2 + 1$
$= 7$
(2)
$(10101)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0$
$= 16 + 0 + 4 + 0 + 1$
$= 21$
(3)
$(101011)_2 = 1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
$= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1$
$= 43$
答：三个二进制数改写成的十进制数分别是7、21、43。
3. 把下列十进制数改写成二进制数。
(1) $15=$
(2) $23=$
(3) $36=$
(1) $15=$
(2) $23=$
(3) $36=$
答案：$15÷2=7······1$
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
$23÷2=11······1$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
$36÷2=18······0$
$18÷2=9······0$
$9÷2=4······1$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
答：(1) $15=1111_{(2)}$，(2) $23=10111_{(2)}$，(3) $36=100100_{(2)}$。
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
$23÷2=11······1$
$11÷2=5······1$
$5÷2=2······1$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
$36÷2=18······0$
$18÷2=9······0$
$9÷2=4······1$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
答：(1) $15=1111_{(2)}$，(2) $23=10111_{(2)}$，(3) $36=100100_{(2)}$。
4. 阅读以下材料，解决下面问题。
材料1：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制。两个二进制的数相加，是“逢二进一”，已知二进制加法法则：$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。例如：$(10110)_2 + (1101)_2$
$(100011)_2$
(1) 材料中的$(10110)_2$ 改写成十进制数是(),$(1101)_2$ 改写成十进制数是(),计算这两个十进制数的和是(),再把和转化成二进制数是(),与材料中的计算结果$(100011)_2$ ()(填写“相等”或“不相等”)。
(2) 计算$(100111)_2 + (11010)_2=$()$_2$。
材料2：
二进制时钟是一种利用二进制数显示时间的时钟。它通常用几列发光二极管(LED)来表示时间，每一列代表一个时间单位(时、分或秒)，每一列中的每个灯代表一个二进制位，灯亮表示1，灯灭表示0。通过将每一列亮的灯所代表的二进制数转换为十进制数，就可以读出时间。
例如，每列有6个灯，从上往下每个灯代表的数值分别是二进制的计数单位32，16，8，4，2，1。那么，如果小时列从上到下的灯的状态是“灭、亮、灭、亮、亮、亮”，即二进制数$(010111)_2$(从左到右对应从上到下)，转换为十进制为：$0×32+1×16+0×8+1×4+1×2+1×1=16+4+2+1=23$，所以小时是23。同样方法可以读取分钟和秒。
(1) 如果小时列亮的灯是第2、4、5个灯(从上往下数)，现在是()时。
(2) 小明看到分钟列从上到下灯的状态依次是：亮、灭、亮、亮、灭、亮，请问现在是()分。
(3) 如果看到三列灯的状态从上到下依次是：小时列为0，1，0，1，1，1；分钟列为1，1，1，0，1，0；秒列为1，0，1，0，0，1。请问显示的时间是()：()：()。
材料1：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制。两个二进制的数相加，是“逢二进一”，已知二进制加法法则：$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$。例如：$(10110)_2 + (1101)_2$
$(100011)_2$
(1) 材料中的$(10110)_2$ 改写成十进制数是(),$(1101)_2$ 改写成十进制数是(),计算这两个十进制数的和是(),再把和转化成二进制数是(),与材料中的计算结果$(100011)_2$ ()(填写“相等”或“不相等”)。
(2) 计算$(100111)_2 + (11010)_2=$()$_2$。
材料2：
二进制时钟是一种利用二进制数显示时间的时钟。它通常用几列发光二极管(LED)来表示时间，每一列代表一个时间单位(时、分或秒)，每一列中的每个灯代表一个二进制位，灯亮表示1，灯灭表示0。通过将每一列亮的灯所代表的二进制数转换为十进制数，就可以读出时间。
例如，每列有6个灯，从上往下每个灯代表的数值分别是二进制的计数单位32，16，8，4，2，1。那么，如果小时列从上到下的灯的状态是“灭、亮、灭、亮、亮、亮”，即二进制数$(010111)_2$(从左到右对应从上到下)，转换为十进制为：$0×32+1×16+0×8+1×4+1×2+1×1=16+4+2+1=23$，所以小时是23。同样方法可以读取分钟和秒。
(1) 如果小时列亮的灯是第2、4、5个灯(从上往下数)，现在是()时。
(2) 小明看到分钟列从上到下灯的状态依次是：亮、灭、亮、亮、灭、亮，请问现在是()分。
(3) 如果看到三列灯的状态从上到下依次是：小时列为0，1，0，1，1，1；分钟列为1，1，1，0，1，0；秒列为1，0，1，0，0，1。请问显示的时间是()：()：()。
答案：22；13；35；；相等；
1000001；
22；
45；
23；58；41
1000001；
22；
45；
23；58；41
解析：
【解析】
第一部分 二进制与十进制互化及加法验证
1. 将$(10110)_2$转为十进制：
$(10110)_2=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0=16+0+4+2+0=22$
2. 将$(1101)_2$转为十进制：
$(1101)_2=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0=8+4+0+1=13$
3. 两个十进制数求和：$22+13=35$
4. 将35转为二进制：$35=32+2+1=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应二进制为$(100011)_2$
5. 对比结果：和材料给出的计算结果$(100011)_2$相等。
第二部分 二进制加法运算
按照二进制“逢二进一”的法则计算$(100111)_2+(11010)_2$：
对齐数位后逐位相加：
```
1 0 0 1 1 1
+ 1 1 0 1 0
—————————————
1 0 0 0 0 0 1
```
得到结果为$(1000001)_2$。
第三部分 二进制时钟换算
1. 小时列第2、4、5个灯亮（从上往下对应数值32、16、8、4、2、1）：亮灯对应数值16、4、2，计算得$1×16+1×4+1×2=22$。
2. 分钟列灯状态为亮、灭、亮、亮、灭、亮：对应数值32、0、8、4、0、1，计算得$1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=45$。
3. 三列状态换算：
小时：0、1、0、1、1、1 → $0×32+1×16+0×8+1×4+1×2+1×1=23$
分钟：1、1、1、0、1、0 → $1×32+1×16+1×8+0×4+1×2+0×1=58$
秒：1、0、1、0、0、1 → $1×32+0×16+1×8+0×4+0×2+1×1=41$
【答案】
22；13；35；100011；相等；1000001；22；45；23；58；41
【知识点】
二进制转十进制；十进制转二进制；二进制加法
【点评】
本题结合新定义进位制材料考察二进制的相关运算，题目由浅入深，先通过示例讲解进制互化和加法规则，再结合二进制时钟的实际场景应用知识点，既考察学生对新规则的理解接收能力，也能锻炼学生的信息迁移和计算能力。
【难度系数】
0.7
第一部分 二进制与十进制互化及加法验证
1. 将$(10110)_2$转为十进制：
$(10110)_2=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0=16+0+4+2+0=22$
2. 将$(1101)_2$转为十进制：
$(1101)_2=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0=8+4+0+1=13$
3. 两个十进制数求和：$22+13=35$
4. 将35转为二进制：$35=32+2+1=1×2^5+0×2^4+0×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0$，对应二进制为$(100011)_2$
5. 对比结果：和材料给出的计算结果$(100011)_2$相等。
第二部分 二进制加法运算
按照二进制“逢二进一”的法则计算$(100111)_2+(11010)_2$：
对齐数位后逐位相加：
```
1 0 0 1 1 1
+ 1 1 0 1 0
—————————————
1 0 0 0 0 0 1
```
得到结果为$(1000001)_2$。
第三部分 二进制时钟换算
1. 小时列第2、4、5个灯亮（从上往下对应数值32、16、8、4、2、1）：亮灯对应数值16、4、2，计算得$1×16+1×4+1×2=22$。
2. 分钟列灯状态为亮、灭、亮、亮、灭、亮：对应数值32、0、8、4、0、1，计算得$1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=45$。
3. 三列状态换算：
小时：0、1、0、1、1、1 → $0×32+1×16+0×8+1×4+1×2+1×1=23$
分钟：1、1、1、0、1、0 → $1×32+1×16+1×8+0×4+1×2+0×1=58$
秒：1、0、1、0、0、1 → $1×32+0×16+1×8+0×4+0×2+1×1=41$
【答案】
22；13；35；100011；相等；1000001；22；45；23；58；41
【知识点】
二进制转十进制；十进制转二进制；二进制加法
【点评】
本题结合新定义进位制材料考察二进制的相关运算，题目由浅入深，先通过示例讲解进制互化和加法规则，再结合二进制时钟的实际场景应用知识点，既考察学生对新规则的理解接收能力，也能锻炼学生的信息迁移和计算能力。
【难度系数】
0.7