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解：$(1)$根据题意，得$S_{1}=(a+2)(a+1)=a^2+3a+2，$$S_{2}=(5a+1)×1=5a+1$

当$a=2$时，$S_{1}+S_{2}=4+6+2+10+1=23 $

$(2)S_{1}> S_{2} ，$理由：$S_{1}-S_{2}=a^2+3a+2-5a-1=a^2-2a+1=(a-1)^2$

∵$a> 1$

∴$(a-1)^2> 0$

∴$S_{1}-S_{2}> 0$

∴$S_{1}> S_{2}$