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解：​$ (1)$​假设抛物线相应的二次函数表达式为​$y= ax²+ b$​
由题设可知：点​$C$​的坐标为​$(0，$​​$1)，$​点​$F $​的坐标为​$(-4，$​​$2)$​
代入可得​$a =\frac {1}{16}，$​​$b= 1$​
∴抛物线相应的二次函数表达式为​$y=\frac {1}{16} x²+ 1$​
​$(2)$​当​$x=-8$​时，​$y=5$​
∴​$AD= 5m$​
答：柱子​$AD$​的高度为​$5$​米。
能
解：​$(1)$​观察表格可知​$x=4$​时，​$y$​取最大值​$6.50$​
∴ 弹珠竖直高度最大为​$6.50\ \mathrm {dm}$​
把​$(0，$​​$2.50)$​代入​$y=a(x-4)^2+6.50$​得​$2.50=16a+6.50$​
解得​$a=-\frac {1}{4}$​
∴​$ y=- \frac {1}{4} (x-4)^2+6.50$​
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