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解：$(1) $如图，$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求

$(2)$如图，$△A_{2}B_{2}C_{2} $即为所求

点$A_{2}$的坐标为$(-6，$$5)$

$(1)$证明：$b^2-4ac=(-2m)^2-4(\ \mathrm {m^2}-1)=4> 0$

∴不论$m $为何值，该函数的图像与$x$轴总有两个公共点

$(2)y=x^2-2mx+\ \mathrm {m^2}-1=(x-m+1)(x-m-1)$

令$y=0，$则$x=m-1$或$x=m+1$

∴两个公共点之间的距离为$(m+1)-(m-1)=2$

∴两个公共点之间的距离不变

解：∵$AE//BD$

∴$△DCB∽△ECA$

∴$\frac {BC}{AC} =\frac {CD}{EC}$

∴$EC=8.7\ \mathrm {m}，$$ED=2.7\ \mathrm {m}$

∴$CD=6\ \mathrm {m}$

∵$AB=1.8\ \mathrm {m}$

∴$AC=BC+1.8m$

∴$\frac {BC}{BC+1.8}= \frac {6}{8.7}$

解得$BC=4\ \mathrm {m}，$即窗口底边离地面的高$BC$为$4\ \mathrm {m}$