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证明：∵​$AB=AC$​
∴​$∠ABC=∠ACB$​
∵​$∠BAC=36°$​
∴​$∠ABC=∠ACB=72°$​
∵​$BD$​平分​$∠ABC，$​​$∠ABC=72°$​
∴​$∠ABD=∠DBC=36°$​
∴​$∠BDC=∠BAC+∠ABD=36°+36°=72°$​
∵​$∠BAC=∠ABD=36°$​
∴​$AD=BD$​
∵​$∠BDC=∠BCD=72°$​
∴​$BD=BC$​
∴​$AD=BC$​
​$(1)$​证明：∵​$DE⊥AB，$​​$DF⊥AC，$​垂足分别为​$E、$​​$F$​
∴​$∠E=∠DFC=90°$​
∴​$△BDE$​与​$△CDF $​均为直角三角形
在​$Rt△BDE$​和​$Rt△CDF $​中
​$\begin{cases}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{cases}$​
∴​$△BDE≌△CDF(\mathrm {HL})$​
∴​$DE=DF$​
∴​$AD$​平分​$∠BAC$​
​$ (2)AB+AC=2AE$​
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