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第35页

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证明：连接DE

假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形

∴BE//CD

∵在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上

∴AC不可能平行于AB

故假设不成立，原命题正确，即BD和CE不可能互相平分。

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$解：若DE= \frac{1}{3}OD，BF= \frac{1}{3} OB，四边形AFCE是平行四边形$

$理由：∵DE= \frac{1}{3} OD，BF= \frac{1}{3}OB，OD=OB$

$∴DE=BF$

$∴OB+BF=OD+DE$

$即OF=OE$

$∵O A=OC$

$∴四边形AFCE为平行四边形$

$若DE=\frac{1}{n}OD，BF=\frac{1}{n}OB，则四边形 AFCE为平行四边形$

$证明：设GH与BD相交于点O，连接BG、DH$

$∵四边形ABCD是平行四边形， $

$∴AB=CD，AD=BC，AB//CD$

$∴∠ABE=∠CDF$

$∵AE⊥BD，CF⊥BD$

$∴∠AEB=∠CFD=90°$

$在△ABE和△CDF中$

$\begin{cases}{∠ABE=∠CDF} \\ {∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end{cases}$

$∴△ABE≌△CDF(AAS)$

$∴BE=DF$

$∵G、H分别为AD、BC的中点$

$∴DG=BH$

$又∵DG//BH$

$∴四边形BHDG是平行四边$

$∴OG=OH，OB=OD$

$∴OB-BE=OD-DF$

$∴OE=OF$

$即EF和GH互相平分$

$①证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴OA=OC，OB=OD$

$∵DE=\frac{1}{2}OD，BF=\frac{1}{2}OB$

$∴DE=BF$

$∴OE=OF$

$∴四边形AFCE为平行四边形$

$②解：在▱ABCD中，AD//BC$

$∴∠DAC=∠BCA$

$∵CA平分∠BCD$

$∴∠BCA=∠DCA$

$∴∠DCA=∠DAC$

$∴AD=CD$

$∵OA=OC$

$∴OE⊥AC$

$∴OE是AC的垂直平分线$

$∴AE=CE$

$∵∠AEC=60°$

$∴△ACE是等边三角形$

$∴AE=CE=AC=2OA=10$

$∴四边形AFCE的周长$

$2(AE+CE)=2×(10+10)=40$