$解：∵点D的纵坐标为-2$ $∴将y=-2代入y=\frac{8}{x}，得 -2=\frac{8}{x}$ $∴x=-4$ $∴D(-4,-2)$ $∴S_{△DOC}=S_{△DOB}+S_{△COB}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=2+4=6$ $∴△CDO的面积是6$
$解：设点A的坐标为(m,0)$ $∵BD=BC=5，AB=8$ $∴AD=3$ $∴D、C两点的坐标分别为(m,3)、(m-3,4)$ $∵点C、D都在反比例函数y= \frac{k}{x} (x＞0)的图像上$ $∴3m=4(m-3)$ $∴m=12$ $∴点C的坐标为(9,4)$ $∴OC= \sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$
$解：在y=x+2中$ $令x=0，得y=2$ $令y=0，得x= -2$ $∴A(0,2)，B(-2,0)$ $∵AB=\frac{1}{2}BC$ $∴A为BC的中点$ $∴C(2,4)$ $把C(2,4)代入y=\frac{k}{x}，得 4=\frac{k}{2}，解得k=8$ $∴k的值为8$
$解：作CE⊥AB，垂足为E$ $∵AC=BC，AB=8$ $∴AE=BE=4$ $在Rt△BCE中，BC=5，BE=4$ $∴CE= \sqrt{BC^2-BE^2}= \sqrt{5^2-4^2}=3$ $∵OA=8$ $∴点C的坐标为(5,4)$ $∵反比例函数y=\frac{k}{x}(x＞0)的图像经过点C$ $∴k=5×4=20$
$解：∵AC=BC，CO⊥AB$ $∴O为AB的中点，即OA=OB$ $∵S_{△PBC}=4$ $∴\frac{1}{2}OB·PB=4$ $∵P(n,2)$ $∴PB=2$ $∴OA=OB=4$ $∴P(4,2)，B(4,0)，A(-4,0)$ $将(-4,0)与(4,2)代入y=kx+b$ 得$\begin{cases}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{cases}$ 解得$\begin{cases}{k=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{cases}$ $ ∴一次函数的表达式为y=\frac{1}{4}x+1$ $将(4,2)代入反比例函数y=\frac{m}{x}$ $得2=\frac{m}{4}， 解得m=8$ $∴反比例函数的表达式为y=\frac{8}{x}(x＞0)$
$解：假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形$ $过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，连接PD，BD$ $令一次函数y=\frac{1}{4}x+1中$ $x=0，则y=1$ $∴点C的坐标为(0,1)$ $∵CD//x轴$ $∴设点D的坐标为(x,1)$ $将(x,1)代入反比例函数的表达式y=\frac{8}{x}中$ $得1=\frac{8}{x}，解得x=8$ $∴点D的坐标为(8,1)，即CD=8$ $∵点P的坐标为(4,2)$ $∴BP与CD互相垂直平分$ $∴四边形BCPD为菱形$ $故反比例函数图像上存在点D，使四边形BCPD为菱形$ $此时点D的坐标为(8,1)。$
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