第138页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$证明：∵DE//AC，DE=OC$

$∴四边形OCED是平行四边形 $

$∵OE=CD$

$∴平行四边形OCED是矩形$

$∴∠COD=90°$

$∴AC⊥BD$

$∴▱ABCD是菱形$

$解：∵四边形ABCD是菱形$

$∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD$

$∵∠ABC=60°$

$∴△ABC是等边三角形$

$∴AC=AB=4$

$∴OA=OC=2$

$在Rt△OCD中，由勾股定理$

$得OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$

$由(1)可知，四边形OCED是矩形$

$∴CE=OD=2\sqrt{3}，∠OCE=90°$

$∴AE= \sqrt{AC^2+CE^2}= \sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$

$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴∠B=∠D=60°，AB=CD=6a，AD=BC=6b$

$∵BE=\frac{1}{2}AE$

$∴AB=AE+\frac{1}{2}AE$

$∴AE=4a，BE=DG=2a，CG=4a$

$同理AH=CF=2b，DH=BF=4b$

$在△DGH和△BEF中$

$\begin{cases}{DH=BF}\\{∠D=∠B}\\{DG=BE}\end{cases}$

$∴△DGH≌△BEF(SAS)$

$∴GH=EF$

$同理△AEH≌△CGF(SAS)$

$∴EH=GF$

$∴四边形EFGH是平行四边形$

$解：分别过点H，F作HP⊥CD，FQ⊥CD$

$交直线CD于点P、Q $

$∵在平行四边形ABCD中，AD//BC$

$∴∠D=∠BCQ=60°$

$∴∠DHP=∠CFQ=30°$

$∴DP=\frac{1}{2}DH=2b，CQ=\frac{1}{2}CF=b$

$∴PH= \sqrt{DH^2-DP^2}=2\sqrt{3} b$

$FQ=\sqrt{CF^2-CQ^2}=\sqrt{3}b$

$∴PG=DG-DP=2a-2b$

$QG=QC+CG=b+4a$

$∵四边形EFGH是菱形$

$∴GH=GF$

$∴PG^2+PH^2=GQ^2+FQ^2$

$∴(2a-2b)^2+(2\sqrt{3}b)^2=(4a+b)^2+ \sqrt{3}b)^2$

$化简，得12a^2+16ab-12b^2=0$

$ 3b^2-3a^2=4ab$

$两边同除以3ab$

$得\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$

$解：不能。$

$理由如下：若四边形 EFGH是正方形$

$则 HG=FG，∠HGF=90°$

$∴∠HGP+∠FGQ=90°$

$∵HP⊥CD$

$∴∠HGP+∠GHP=90°$

$∴∠FGQ=∠GHP$

$在△PHG和△QGF中$

$\begin{cases}{∠HPG=∠GOF}\\{∠PHG=∠QGF}\\{HG=GF}\end{cases}$

$∴△PHG≌△QGF(AAS)$

$∴HP=GQ，PG=QF$

$∴2\sqrt{3}b=4a+b，2a-2b=\sqrt{3b}$

$解得a=0，b=0$

$∴四边形EFGH不能为正方形$