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$​解：PE=PF​$
$​理由：∵点P(a,b)在y_1=\frac{4}{x}的图像上​$
$​∴b=\frac{4}{a}​$
$​∵B(-4,-1)​$
$​设直线PB的函数表达式为y=mx+n​$
$​∴\begin{cases}{am+n=\frac{4}{a}}\\{-4m+n=-1}\end{cases}​$
$​解得\begin{cases}{m=\frac{1}{a}}\\{n=\frac{4}{a}-1}\end{cases}​$
$​∴直线PB的函数表达式为y=\frac{1}{a}x+\frac{4}{a}-1​$
$​当y=0时，x=a=4​$
$​∴点E的坐标为(a-4,0)​$
$​同理点F的坐标为(a+4,0)​$
$​过点P作PH⊥x轴于点H，如图所示​$
$​∵点P的坐标为(a,b)​$
$​∴点H的坐标为(a,0)​$
$​∴EH=a-(a-4)=4​$
$​同理可得FH=4​$
$​∴EH=FH​$
$​∴PE=PF​$
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$把点A(4,1)代入双曲线y_1=\dfrac{k_1}{x}，得k_1=4$
$∴y_1=\dfrac{4}{x}$
$将A(4,1)代入直线y_2=\dfrac{x}{k_2}，得k_2=4$
$∴y_2=\dfrac{1}{4}x.$
$解：(2)∵点P(a,b)在y_1=\dfrac{4}{x}的图像上​​$
$∴ab=4​​$
$∵4a=b​​$
$∴4a^2=4​​$
$∴a=±1$
$​​∵0＜a＜4$
$​​∴a=1$
$​​∴P(1,4)​​$
$又∵双曲线y_1=\dfrac{4}{x}与直线y_2=\frac{x}{4}的图像交于A，B两点，且A(4，1)​​$
$∴B(-4,-1)​​过点P作PG//y轴交AB于点G$
$把x=1代入y=\dfrac{1}{4}x，得y=\dfrac{1}{4}​​$
$∴G(1,\frac{1}{4})​​$
$∴PG=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}​​$
$∴S_{△ABP}=\dfrac{1}{2}PG·(x_A-x_B)=\dfrac{1}{2}×\dfrac{15}{4}×8=15​$
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