第43页 - 创新优化学案八年级数学江苏版 - 05网零5网 0五网新知语文网

证明：连接$AC.$

由四边形$ABCD$是菱形，可得$∠EAC=∠FAC.$

在$△ACE$和$△ACF $中

$\begin{cases}{AE=AF，}\\{∠EAC=∠FAC，}\\{AC=AC，}\end{cases}$

∴$ △ACE≌△ACF(\mathrm {SAS}). $

∴$ CE=CF.$

证明：$(1) $∵ 四边形$ABCD$是菱形，

∴$ DA=DC，$$∠DAE=∠DCF，$$AB=CB. $

∵$ BE=BF，$

∴$ AE=CF.$

在$△ADE$和$△CDF $中

$\begin{cases}{DA=DC，}\\{ ∠DAE=∠DCF. }\\{AE=CF，}\end{cases}$

∴$ △ADE≌△CDF(\mathrm {SAS}) $

$(2) $由$(1)$知$△ADE≌△CDF，$

∴$ ∠ADM=∠CDN，$$DE=DF. $

∵ 四边形$ABCD$是菱形，

∴$ AD=CD. $

∴$ ∠DAM=∠DCN. $

∵$ ∠ADM=∠CDN$

∴$ ∠DMN=∠DNM. $

∴$ DM=DN. $

∴$ DE-DM=DF-DN. $

∴$ ME=NF.$

证明：$(1) $∵ 四边形$ABCD$为菱形，

∴$ ∠B=∠D，$$AB=BC=CD=DA.$

又 ∵$ CE=CF，$

∴$ BE=DF.$

在$△ABE$和$△ADF $中

$\begin{cases}{AB=AD，}\\{∠B=∠D，}\\{BE=DF，}\end{cases}$

∴$ △ABE≌△ADF(\mathrm {SAS}). $

∴$ AE=AF $

$(2)$如图，连接$AC. $

∵ 四边形$ABCD$为菱形，

∴$ ∠B=∠D=60°，$$AB=BC=CD=DA. $

∴$ △ABC$与$△CDA$为等边三角形.

∴$ AB=AC，$$∠B=∠ACD=∠BAC=60°. $

∵$ ∠EAF=60°，$

∴$ ∠BAE=∠CAF.$

在$△ABE$和$△ACF $中，

$\begin{cases}{∠BAE=∠CAF，}\\{AB=AC，}\\{∠B=∠ACF，}\end{cases}$

∴$ △ABE≌△ACF(\mathrm {ASA}). $

∴$ AE=AF. $

∵$ ∠EAF=60°，$

∴$ △EAF$为等边三角形.

∴$ ∠AEF=60°. $

∵$ ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF.$

∴$ 60°+20°=60°+∠CEF. $

∴$ ∠CEF=20°.$