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证明：∵ 四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$ AB=BC=CD=AD，$​​$∠DAB=∠DCB，$​​$AC$​平分​$∠DAB，$​​$AC$​平分​$∠DCB.$​
∴​$ ∠DAC=∠BAC=\frac 12 ∠DAB，$​​$∠DCA=∠ACB=\frac 12 ∠DCB. $​
∴​$ ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB.$​
∵​$ AE=CF，$​
∴​$ △DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(\mathrm {SAS}). $​
∴​$ DE=BE=BF=DF. $​
∴ 四边形​$DEBF$​是菱形.
证明：​$(1) $​∵​$ AF//BC，$​
∴​$ ∠AFC=∠FCD，$​​$∠FAE=∠CDE. $​
∵​$ E$​是​$AD$​的中点，
∴​$ AE=DE. $​
在​$△FAE$​和​$△CDE$​中，
​$\begin{cases}{∠AFE=∠DCE}\\{∠FAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{cases}$​
∴​$ △FAE≌△CDE(\mathrm {AAS}). $​
∴​$ AF=CD. $​
∵​$ D$​是​$BC$​的中点，
∴​$ BD=CD. $​
∴​$ AF=BD.$​
∴ 四边形​$AFBD$​是平行四边形 
∵​$ ∠BAC=90°，$​​$D$​是​$BC$​的中点，
∴​$ AD=BD=\frac 12\ \mathrm {BC}. $​
∴ 四边形​$ADBF $​是菱形 .
​$(2) $​∵ 四边形​$ADBF$​是菱形，
∴ 菱形​$ADBF$​的面积​$=2△ABD$​的面积. 
∵​$ D$​是​$BC$​的中点，
∴​$ △ABC$​的面积​$=2△ABD$​的面积. 
∴菱形​$ADBF $​的面积​$=△ABC$​的面积​$=40. $​
∴​$ \frac 12\ \mathrm {AB}·AC= 40.$​
∴​$ \frac 12 ×8·AC=40. $​
∴​$ AC=10.$​
证明：​$(1) $​∵ 四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ OA=OC，$​​$BE//DF.$​
∴​$ ∠E=∠F.$​
在​$△AOE$​和​$△COF $​中，
​$\begin{cases}{∠E=∠F，}\\{∠AOE=∠COF.}\\{OA=OC，}\end{cases}$​
∴​$ △AOE≌△COF(\mathrm {AAS}). $​
∴​$ AE=CF. $​
​$(2) $​当​$EF⊥BD$​时，四边形​$BFDE$​是菱形 .
理由：如图，连接​$BF、$​​$DE. $​
∵ 四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ OB=OD. $​
∵​$ △AOE≌△COF，$​
∴​$ OE=OF. $​
∴ 四边形​$BFDE$​是平行四边形. 
∵​$ EF⊥BD $​
∴ 四边形​$BFDE$​是菱形.

解：当点​$P$​运动到​$∠ABC$​的平分线与​$AC$​的交点处时，四边形​$PEBF$​是菱形 
理由：∵​$ PE//BC，$​​$PF//AB，$​
∴ 四边形​$PEBF$​为平行四边形 
∵​$ PE//BC，$​
∴​$ ∠BPE=∠PBF.$​
又 ∵​$ BP $​平分​$∠ABC，$​
∴​$ ∠EBP=∠PBF. $​
∴​$ ∠BPE=∠EBP.$​
∴​$ BE=PE. $​
∴ 四边形​$PEBF$​是菱形.
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