第47页 - 创新优化学案八年级数学江苏版 - 05网零5网 0五网新知语文网

证明：∵ 四边形$ABCD$是正方形，

∴$ BC=CD，$$∠BCD=90°. $

∵$ CE⊥BG，$$DF⊥CE，$

∴$ ∠BEC=∠DFC=90°. $

∴$ ∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF. $

∴$ ∠CBE=∠DCF.$

在$△CBE$和$△DCF $中

$\begin{cases}{∠BEC=∠CFD，}\\{∠CBE=∠DCF，}\\{BC=CD，}\end{cases}$

∴$ △CBE≌△DCF(\mathrm {AAS}). $

∴$ BE=CF，$$CE=DF. $

∵$ CE=EF+CF，$

∴$DF=BE+EF.$

证明：$(1) $∵$ AD$是$△ABC$的角平分线，

∴$ ∠EAD=∠FAD. $

∵$ DE⊥AB，$$DF⊥AC，$

∴$ ∠AED=∠AFD=90°.$

在$△AED$和$△AFD$中，

$\begin{cases}{∠EAD=∠FAD，}\\{∠AED=∠AFD，}\\{AD=AD，}\end{cases}$

∴$ △AED≌△AFD(\mathrm {AAS})$

∴$AE=AF. $

∴$ AD⊥EF.$

$(2)△ABC$满足$∠BAC=90°$时，四边形$AEDF$是正方形

理由：∵$ ∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，$

∴四边形$AEDF $是矩形,

∵$ EF⊥AD，$

∴ 矩形$AEDF$是正方形.

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线段AC的中点

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证明：$(1) $∵$ O$是$EF$的中点，$GO=OD，$

∴四边形$EDFG$是平行四边形.

如图，连接$CD.$

在$△ABC$中，∵$ ∠ACB=90°，$$AC=BC，$

∴$ ∠A=∠B=45°. $

∵$ ∠ACB=90°，$$D$是$AB$的中点，

∴$ CD=\frac 12\ \mathrm {AB}=AD，$$∠DCF=\frac 12 ∠ACB=45°，$$CD⊥AB. $

∴$ ∠A=∠DCF.$

在$△ADE $和$△CDF $中，

$\begin{cases}{AE=CF，}\\{∠A=∠DCF，}\\{AD=CD，}\end{cases}$

∴$ △ADE≌△CDF(\mathrm {SAS}). $

∴$ DE=DF，$$∠ADE=∠CDF. $

∵$ ∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，$

∴$ ∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°. $

∴$ ▱EDFG$是正方形.