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解：$(1)∵$点$A(3a-6，a+1)$的横坐标是纵坐标的$2$倍

$∴3a-6=2(a+1)，$$∴a=8$

$∴3a-6=18，a+1=9$

∴点$A$的坐标为$(18，9) $

$(2)∵$点$A$在过点$P(3，-2)$且与$x$轴平行的直线上

$∴a+1=-2，$$∴a=-3，$$∴3a-6=-15$

∴点$A$的坐标为$(-15，-2)$

$∴AP=3-(-15)=18$

$(7，4)$