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12°
​$35°$​或​$(\frac {110}{3})°$​
解：(3)不妨设∠B=2∠A，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠A
∵∠A是△ABC中最小的内角
∴0°<∠A≤180°-3∠A
∴0°<∠A≤45°
(4)设∠BAE=x°
∵AD平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAE=x°
∴∠PAC=180°-∠BAE-∠CAE=(180-2x)°
∵∠P=30°
∴∠DCF=∠PCA=180°-∠P-∠PAC=(2x-30)°
∵CD平分∠BCF
∴∠BCD=∠DCF=(2x-30)°
∴∠ACE=180°-∠BCD-∠DCF=(240-4x)°
∴∠AEB=∠CAE+∠ACE=(240-3x)°
∴∠B=180°-∠BAE-∠AEB=(2x-60)°
∵∠BAE是“开心三角形”ABE中的一个“开心角”
∴分类讨论如下：
①当∠BAE与∠AEB互为“开心角”时
∵∠AEB>∠CAE=∠BAE
∴∠AEB=2∠BAE
∴240-3x=2x，解得x=48
∴∠BAE=48°
②当∠BAE与∠B互为“开心角”时
∵∠B<2∠BAE
∴∠BAE=2∠B
∴x=2(2x-60)，解得x=40
∴∠BAE=40°
综上所述，∠BAE的度数为48°或40°
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