第55页 - 启东中学作业本八年级数学江苏版宿迁专版

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$2\sqrt {17}$

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$证明:如图，在BO的延长线上取一点F，$

$使OF= CE，连接DF. $

$在△DOF和△DCE中，$

$\begin{cases}{OD=CD，}\\{∠DOF=∠BCD=90°，}\\{OF=CE，}\end{cases}$

$∴△DOF≌△DCE(\mathrm{SAS})， $

$∴DF=DE，∠ODF=∠CDE，$

$ \begin{aligned} ∴∠EDF&=∠ODF+∠ODE \\ &=∠CDE+∠ODE \\ &=90°， \\ \end{aligned}$

$而∠MDN=45°，$

$∴∠MDF=45°=∠MDE. $

$在△MDF和△MDE中， $

$\begin{cases}{DF=DE，}\\{∠MDF=∠MDE，}\\{DM=DM，}\end{cases}$

$∴△MDF≌△MDE(\mathrm{SAS})，$

$∴∠DMF=∠DME， $

$∵∠DMN=∠DME+∠NME=90°，$

$∴∠DMF+∠NMB=90°，$

$∴∠NME=∠NMB，$

$ ∴MN平分∠EMB.$

$解:在OD上存在点P，使四边形MNCP为平行四边形.$

$如图，过点N作NA⊥x轴于点A.$

$∴∠MAN=∠DOM=90°，$

$∴∠AMN+∠ANM=90°.$

$∵∠DMN=90°，$

$∴∠AMN+∠OMD=90°，$

$∴∠ANM=∠OMD.$

$在△AMN和△ODM中，$

$\begin{cases}{∠MAN=∠DOM，}\\{∠ANM=∠OMD，}\\{MN=DM，}\end{cases}$

$∴△AMN≌△ODM(\mathrm{AAS})，$

$∴AM=OD=5，AN=OM=m，$

$∴OA=OM+AM=m+5，$

$∴N(m+5,m).$

$当四边形MNCP为平行四边形时，$

$CP//NM且CP=NM.$

$∵点N向左平移5个单位长度，$

$再向下平移m个单位长度得点M，$

$∴点C向左平移5个单位长度，$

$再向下平移m个单位长度得点P，$

$∴点P(5-5,5-m)，$

$即点P的坐标为(0,5-m).$

$解:GE=BF.\ $

$证明:如答图①，过点A作AH//GE交BC于点H.$

$在正方形ABCD中，$

$AD//BC，AB=BC，$

$∠2+∠3=90°，∠ABC=∠C=90°.$

$\ ∵AH//GE，$

$∴四边形AHEG为平行四边形，\ $

$∴AH=GE.$

$∵BF⊥GE，AH//GE，$

$∴BF⊥AH.$

$∴∠1+∠2=90°，\ $

$∴∠1=∠3，$

$∴△ABH≌△BCF，$

$∴AH=BF，$

$∴GE=BF.$

$解:①:四边形BMGM'是正方形.$

$理由:如答图②，过点M作MN⊥AD于点N，$

$反向延长MN交BC于点Q.$

$∵AC为正方形ABCD的对角线，$

$∴∠DAC=45°，\ $

$∴△ANM为等腰直角三角形，$

$∴AN=NM.\ $

$∵在正方形ABCD中，MN⊥AD，\ $

$∴四边形ABQN是矩形.$

$∴AN=BQ，$

$∴NM=BQ.$

$\ ∵BF⊥GM，$

$∴∠GMN+∠BMQ=90°.\ $

$又∵∠GMN+∠MGN=90°，$

$∴∠MGN=∠BMQ，\ $

$∴△GMN≌△MBQ，$

$∴BM=MG.\ $

$又∵△BMG沿BG翻折，\ $

$∴MG=M'G，BM=BM'，\ $

$∴四边形BMGM'是菱形.$

$∵∠BMG=90°，$

$∴四边形BMGM'是正方形 . $

$②:2 \sqrt{17}$